Деундяк Владимир Михайлович - доцент Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета; старший научный сотрудник Южного регионального аттестационного центра ФГАНУ НИИ "Спецвузавтоматика", кандидат физико-математических наук, доцент.
344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8А; 344002, Ростов-на-Дону, пер. Газетный, 51.
Deundyak, Vladimir M. - associate professor of the Algebra and Discrete Mathematics Department, Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics, and Computer Science, Southern Federal University; Senior Research Scholar, Southern Regional Certification Centre, Research Institute “Spetsvuzavtomatika”, Cand(Phys-Math), associate professor.
8-a, ul. Milchakova, Rostov-on-Don, 344090; 51, Gazetny per., Rostov-on-Don, 344002.
Могилевская Надежда Сергеевна - доцент Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, кандидат технических наук, доцент.
344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.
Mogilevskaya, Nadezhda S. - associate professor of Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics, and Computer Science, Cand(Eng), associate professor.
8-a, ul. Milchakova, Rostov-on-Don, 344090.
Introduction. Polynomials in several variables over Galois fields provide the basis for the Reed-Muller coding theory, and are also used in a number of cryptographic problems. The properties of such polynomials specified over the derived Galois fields of fuzzy cardinality are studied. For the results obtained, two real-world applications are proposed: partitioning scheme and Reed-Muller code decoder.
Materials and Methods. Using linear algebra, theory of Galois fields, and general theory of polynomials in several variables, we have obtained results related to the differentiation and integration of polynomials in several variables over Galois fields of fuzzy cardinality. An analog of the differentiation operator is constructed and studied for vectors.
Research Results. On the basis of the obtained results on the differentiation and integration of polynomials, a new decoder for Reed-Muller codes of the second order is given, and a scheme for organizing the partitioned transfer of confidential data is proposed. This is a communication system in which the source data on the sender is divided into several parts and, independently of one another, transmitted through different communication channels, and then, on the receiver, the initial data is restored of the parts retrieved. The proposed scheme feature is that it enables to protect data, both from the nonlegitimate access, and from unintentional errors; herewith, one and the same mathematical apparatus is used in both cases. The developed decoder for the second-order Reed-Muller codes prescribed over the derived odd Galois field may have a constraint to the recoverable error level; however, its use is advisable for a number of the communication channels.
Discussion and Conclusions. The proposed practical applications of the results obtained are useful for the organization of reliable communication systems. In future, it is planned to study the restoration process of the original polynomial by its derivatives, in case of their partial distortion, and the development of appropriate applications.
Введение. Полиномы нескольких переменных над полями Галуа лежат в основе теории кодов Рида-Маллера, а также используются в ряде криптографических задач. В работе изучаются свойства таких полиномов, заданных над произвольными полями Галуа нечетной мощности. Для полученных результатов предложены два практических приложения: схема разделения данных и декодер кодов Рида-Маллера.
Материалы и методы. С использованием линейной алгебры, теории полей Галуа и общей теории полиномов нескольких переменных получены результаты, связанные с дифференцированием и интегрированием полиномов нескольких переменных над полями Галуа нечетной мощности. Для векторов построен и изучен аналог оператора дифференцирования.
Результаты исследования. На основе полученных результатов о дифференцировании и интегрировании полиномов предложен новый декодер для кодов Рида-Маллера второго порядка и предложена схема организации разделенной передачи конфиденциальных данных, т.е. такой системы связи, в которой исходные данные на стороне отправителя разделяются на несколько частей и, независимо друг от друга, передаются по различным каналам связи, а на стороне получателя из принятых частей восстанавливаются исходные данные. Особенностью предлагаемой схемы является то, что она позволяет защищать данные, как от нелегитимного доступа, так и от непреднамеренных ошибок, при этом в обоих случаях используется один и тот же математический аппарат. Разработанный декодер для кодов Рида-Маллера второго порядка, заданных над произвольным нечетным полем Галуа, может иметь некоторое ограничение по числу исправляемых ошибок, однако, его использование целесообразно для ряда каналов связи.
Обсуждение и заключения. Предложенные практические приложения полученных результатов представляются полезными для организации надежных систем связи. В дальнейшем планируется исследование процесса восстановления исходного полинома по его производным, в случае их частичного искажения, и разработка соответствующих приложений.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.