Сухинов Александр Иванович, заведующий кафедрой «Математика и информатика», доктор физико-математических наук, профессор
ScopusAuthorID: 8573972700, WoSResearcherID: I-1091-2016
РФ, 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Sukhinov, Alexander I. - head of the Mathematics and Computer Sciences Department, Dr.Sci. (Phys.-Math.), professor
ScopusAuthorID: 8573972700, WoSResearcherID: I-1091-2016
1, Gagarin sq., Rostov-on-Don, 344000, RF
Сидорякина Валентина Владимировна, заведующая кафедрой «Математика», кандидат физико-математических наук, доцент
РФ, 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48
Sidoryakina,Valentina V. - head of the Mathematics Department, Cand. Sci. (Phys.-Math.), associate professor
48, Initsiativnaya St., Taganrog, 347936, RF
Introduction. The paper is devoted to the study on the three-dimensional model of transport and suspension sedimentation in the coastal area due to changes in the bottom relief. The model considers the following processes: advective transfer caused by the aquatic medium motion, micro-turbulent diffusion, and gravity sedimentation of suspended particles, as well as the bottom geometry variation caused by the particle settling or bottom sediment rising. The work objective was to conduct an analytical study of the correctness of the initial-boundary value problem corresponding to the constructed model.
Materials and Methods. The change in the bottom relief aids in solution to the initial-boundary value problem for a parabolic equation with the lowest derivatives in a domain whose geometry depends on the desired function of the solution, which in general leads to a nonlinear formulation of the problem. The model is linearized on the time grid due to the “freezing” of the bottom relief within a single step in time and the subsequent recalculation of the bottom surface function on the basis of the changed function of the suspension concentration, as well as a possible change in the velocity vector of the aquatic medium.
Research Results. For the linearized problem, a quadratic functional is constructed, and the uniqueness of the solution to the corresponding initial boundary value problem is proved within the limits of an unspecified time step. On the basis of the quadratic functional transformation, we obtain a prior estimate of the solution norm in the functional space L2 as a function of the integral time estimates of the right side, and the initial condition. Thus, the stability of the solution to the initial problem from the change of the initial and boundary conditions, the right-hand side function, is established.
Discussion and Conclusions. The model can be of value for predicting the spread of contaminants and changes in the bottom topography, both under an anthropogenic impact and due to the natural processes in the coastal area.
Введение. Настоящая работа посвящена исследованию пространственно-трехмерной модели транспорта и осаждения взвеси в прибрежной зоне с учетом изменения рельефа дна. Модель учитывает следующие процессы: адвективный перенос, обусловленный движением водной среды, микротурбулентную диффузию и гравитационное осаждение частиц взвеси, а также изменение геометрии дна, вызванное осаждением частиц взвеси или подъемом частиц донных отложений.
Целью работы являлось проведение аналитического исследования корректности начально-краевой задачи, соответствующей построенной модели.
Материалы и методы. Изменение рельефа дна приводит к необходимости решать начально-краевую задачу для уравнения параболического типа с младшими производными в области, геометрия которой зависит от искомой функции решения, что приводит, в общем случае, к нелинейной постановке задачи. Выполнена линеаризация модели на временной сетке за счет «замораживания» рельефа дна в пределах одного шага по времени и последующего пересчета функции поверхности дна на основе изменившейся функции концентрации взвешенного вещества, а также возможного изменения вектора скорости движения водной среды.
Результаты исследования. Для линеаризованной задачи построен квадратичный функционал и энергетическим методом доказана единственность решения соответствующей начально-краевой задачи в пределах произвольного шага по времени. На основе преобразования квадратичного функционала получена априорная оценка нормы решения в функциональном пространстве L2 в зависимости от интегральных оценок по времени правой части, граничных условий и начального условия, и, таким образом, доказана устойчивость решения исходной задачи при изменении начального и граничных условий, функции правой части.
Обсуждение и заключения. Модель может представлять ценность при прогнозе распространения загрязнений и изменения рельефа дна, как при антропогенном воздействии, так и в силу естественно протекающих природных процессов в прибрежной зоне.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.