Introduction. The work objective is to develop a new universal numerical method for solving boundary value problems for linear elliptic equations. Materials and Methods . The proposed method is based on the transformation of the original mathematical physics equation to a simpler inhomogeneous equation with the known fundamental solution. From this equation, the transition to an inhomogeneous integral equation with the kernel expressed by the known fundamental solution is carried out. The obtained integral equation with boundary conditions is solved numerically. An approximate solution, the field potential being in an analytical form, is resulted. That allows not only find an approximate value of the field potential at any point in the solutions domain, but also differentiate this potential, and all without perceptible loss of accuracy. This property of the developed numerical method sets it apart from the traditional numerical methods for solving boundary value problems, such as the finite element method. Research Results . To confirm the effectiveness of the proposed numerical method, the two-dimensional and three-dimensional boundary value problems with the known solutions are solved. The dependences of the numerical solution error on the number of linear equations in the resulting system are obtained. It is shown that even at a small number of equations in the system (some hundreds) the solution accuracy is achieved at the level of hundredths of a percent. Another major illustration of the proposed method effectiveness is the solution to quantum mechanical problems for the one-dimensional and two-dimensional quantum oscillators. It is shown that the given method allows finding the energy eigenvalues and eigenfunctions with an acceptable accuracy. The developed numerical technique allows greatly extend the application domain of the traditional point source method in solving applied problems for modeling fields of different physical nature, including the eigenvalue problems. Discussion and Conclusions. The results obtained confirm that a physical field described by any linear elliptic equation can be represented as a superposition of point source fields satisfying a simpler equation, the solution of which is obtained through the method of point source of the field. Therefore, the numerical method presented in this paper can be considered as a generalized point source method.
Введение. Целью работы является разработка нового универсального численного метода решения краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа. Материалы и методы. Предложенный метод основан на приведении исходного уравнения математической физики к более простому неоднородному уравнению с известным фундаментальным решением. Затем предлагается произвести переход к неоднородному интегральному уравнению с ядром, выражаемым через известное фундаментальное решение. Полученное интегральное уравнение совместно с граничными условиями решается численно. В результате было получено искомое приближенное решение, потенциал поля в аналитическом виде, что позволило не только находить приближенное значение потенциала поля в любой точке области решения, но и дифференцировать этот потенциал, причем без заметной потери точности. Это свойство разработанного численного метода выгодно отличает его от традиционных численных методов решения краевых задач, таких, например, как метод конечных элементов. Результаты исследования . Для подтверждения эффективности предложенного численного метода решена двумерная и трехмерная краевые задачи с известными решениями. Получены зависимости погрешности численного решения от числа линейных уравнений в результирующей системе. Показано, что даже при небольшом числе уравнений в системе (порядка нескольких сотен) достигается точность решения на уровне сотых долей процента. Еще одной важной иллюстрацией эффективности предложенного метода является решение квантово-механической задачи для одномерного и двумерного квантового осциллятора. Показано, что рассматриваемый метод позволяет находить собственные значения энергии и собственные функции с приемлемой точностью. Разработанный численный метод позволяет существенно расширить область применения традиционного метода точечных источников поля при решении прикладных задач моделирования полей различной физической природы, включая задачи на собственные значения. Обсуждение и заключения. Полученные результаты подтверждают, что физическое поле, описываемое практически любым линейным уравнением эллиптического типа, можно представить в виде суперпозиции полей точечных источников, удовлетворяющих более простому уравнению, решение которого находится с помощью метода точечных источников поля. Таким образом, представленный в данной работе численный метод можно рассматривать как обобщенный метод точечных источников поля.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.