доцент кафедры «Прикладная математика», кандидат физико-математических наук
доцент кафедры «Прикладная математика», кандидат экономических наук, доцент
заведующий кафедрой «Прикладная математика», доктор физико-математических наук, профессор
заведующий кафедрой, директор научно-исследовательского института Математического моделирования и прогнозирования сложных систем, доктор физико-математических, профессор
аспирант кафедры «Прикладная математика»
Introduction. The paper presents a theoretical study on binary salt ion transport considering the water dissociation/recombination reaction. The work objectives are as follows: to build a mathematical model; to develop an algorithm for the numerical solution to the boundary value problem corresponding to the mathematical model; to work out the similarity theory including the transition to a dimensionless form using characteristic quantities; to determine a physical meaning of trivial similarity criteria; to find nontrivial similarity criteria; to build and analyze the volt-ampere characteristic (VAC).
Materials and Methods. The theoretical study and numerical analysis of the transport of binary salt ions consider the dissociation/recombination reaction of water. In this case, the heat transfer equation and the mathematical model of electrodiffusion of four types of ions simultaneously (two salt ions, as well as ????+ and ????????−ions) in the diffusion layer of electromembrane systems with a perfectly selective membrane are used. For the first-order differential equations, a singularly perturbed boundary-value problem is set. In the equation for the electric field, the right side is independent of the intensity. In the numerical solution to the digitized system of equations by the Newton-Kantorovich method, this causes the stability of the method. In this regard, the boundary-value problem is reduced for numerical solution: a transition to a system of the second-order equations is provided, and the missing boundary conditions for the electric field strength are calculated.
Research Results. A new mathematical model, a numerical algorithm to solve a boundary value problem, and software are developed. A numerical analysis is carried out, and fundamental laws of the transport of salt ions are determined considering the dissociation/recombination reaction of water molecules, temperature effects, and Joule heating. The VAC is built and analyzed.
Discussion and Conclusions. The transport of binary salt ions through a diffusion layer near a cation exchange membrane is considered. A mathematical model of this process is proposed. It takes into account the temperature effects due to dissociation/recombination reactions of water molecules and Joule heating in a solution. The basic laws of the transport of salt ions are established considering the dissociation/recombination reaction of water molecules and temperature effects. The temperature effects of the dissociation/recombination reaction and the Joule heating in the electroneutrality region (ENR) are almost imperceptible (with the exception of the recombination region, RR). The Joule heating in the space-charge region (SCR) is by two orders of magnitude larger than the cooling effect of the water dissociation reaction. Upon recombination, approximately the same heat is released in the RR as during Joule heating in the expanded SCR. However, due to the small size of the RR, the effect of this heat is imperceptible. Therefore, we can assume that there is only one heat source at the interface in the SCR, which, due to its noticeable size, causes a significant increase in temperature in the entire diffusion layer. It follows that the emergence and development of gravitational convection is possible. General conclusions, following from the results obtained, open up the possibility of intensifying the process of transport of salt ions in the electrodialysis machines.
Введение. Статья посвящена теоретическому изучению переноса ионов бинарной соли с учетом реакции диссоциации (рекомбинации) воды. Цели исследования: построение математической модели; разработка алгоритма численного решения краевой задачи, соответствующей математической модели; развитие теории подобия, включая переход к безразмерному виду с использованием характерных величин; определение физического смысла тривиальных критериев подобия; нахождение нетривиальных критериев подобия; построение и анализ вольтамперной характеристики (ВАХ).
Материалы и методы. При теоретическом исследовании и численном анализе переноса ионов бинарной соли учитывается реакция диссоциации (рекомбинации) воды. При этом используются уравнение теплопроводности и математическая модель электродиффузии одновременно четырех видов ионов (двух ионов соли, а также ионов ????+ и ????????−) в диффузионном слое электромембранных систем с идеально селективной мембраной. Для дифференциальных уравнений первого порядка ставится сингулярно возмущенная краевая задача. В уравнении для напряженности электрического поля правая часть не зависит от напряженности. При численном решении дискретизированной системы уравнений методом Ньютона — Канторовича это обусловливает проблемы устойчивости метода. В связи с этим краевая задача приводится к виду, удобному для численного решения: обеспечивается переход к системе уравнений второго порядка, рассчитываются недостающие краевые условия для напряженности электрического поля.
Результаты исследования. Разработаны новая математическая модель, алгоритм численного решения краевой задачи, программное обеспечение. Проведен численный анализ и определены фундаментальные закономерности переноса ионов соли с учетом реакции диссоциации (рекомбинации) молекул воды, температурных эффектов и Джоулева разогрева. Построена и проанализирована ВАХ.
Обсуждение и заключение. Рассмотрен перенос ионов бинарной соли через диффузионный слой у катионообменной мембраны. Предложена математическая модель названного процесса, которая учитывает температурные эффекты, обусловленные реакциями диссоциации (рекомбинации) молекул воды и Джоулевым нагревом в растворе. Установлены основные закономерности переноса ионов соли с учетом реакции диссоциации (рекомбинации) молекул воды и температурных эффектов. Температурные эффекты от реакции диссоциации (рекомбинации) и Джоулева разогрева в ОЭН практически незаметны (исключение — область рекомбинации, ОР). Джоулев нагрев в области пространственного заряда (ОПЗ) на два порядка больше охлаждающего эффекта реакции диссоциации воды. При рекомбинации в ОР выделяется примерно столько же тепла, сколько при Джоулевом нагреве в расширенной ОПЗ. Однако из-за малых размеров ОР влияние этого тепла незаметно. Значит, можно считать, что есть только один источник тепла на межфазной границе в ОПЗ, который благодаря своему заметному размеру обусловливает значительное повышение температуры во всем диффузионном слое. Отсюда следует, что возможно возникновение и развитие гравитационной конвекции. Общие выводы, следующие из полученных результатов, открывает возможность интенсификации процесса переноса ионов соли в электродиализных аппаратах.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.