Пешхоев Иса Мусаевич, доцент кафедры «Информационные технологии», кандидат физико-математических наук, доцент
344003, РФ, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
1, Gagarin sq., Rostov-on-Don
Соболь Борис Владимирович, заведующий кафедрой «Информационные технологии», доктор технических наук, профессор
344003, РФ, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
1, Gagarin sq., Rostov-on-Don
Introduction. The problem of critical loads of a compressed orthotropic rectangular plate on an elastic base was considered. The following orthotropy parameters were set for the plate: Poisson coefficients, Young's modules for the main directions, and the shear modulus of the plate material. The components of the compressive load were uniformly distributed along two opposite edges of the plate and acted parallel to the coordinate axes. The edges of the plate were loosely pinched or pivotally supported. Cases were also considered when two parallel edges of the plate were free from loads, and the other two were freely pinched or pivotally supported.
Materials and Methods. The problem was studied on the basis of a system of nonlinear Kármán-type equilibrium equations. The critical values of the load parameter were determined from a linearized problem based on a trivial solution. At the same time, the variational method in combination with the finite difference method was used to solve the boundary eigenvalue problem.
Results. The problem was reduced to solving a parametric linear boundary eigenvalue problem. In case of boundary conditions of a movable hinge support, exact formulas of eigenvalues and eigenfunctions were given. While in case of free edge pinching, a variational method was used in combination with a finite-difference method, and a computer program for solving the problem was built. It was established that one or two eigenfunctions expressing the deflection of the plate could correspond to the critical value of the compressive load parameter at which the stability of the compressed plate was lost. The results of numerical calculations of the critical values of the compressive load at different values of the orthotropy parameters were presented, and graphs of the corresponding equilibrium forms were constructed. For the case of a long orthotropic plate on an elastic base, it was established that the main term of the asymptotic expansion of the solution to the linear eigenvalue problem was determined from the problem of critical loads of a compressed beam on an elastic base with an elastic modulus that coincides with the elastic modulus of the plate in the longitudinal direction.
Discussion and Conclusions. The problem of critical loads of an orthotropic plate compressed in two directions lying on an elastic base was investigated. As the compressive load component increased along one direction, the critical value of the load compressing the plate along the other direction decreased. If an orthotropic plate was compressed by a load along a direction that corresponded to a greater bending stiffness, then the critical value of the loss of stability was greater than the critical value of the compressive load acting along the direction of a lesser bending stiffness. The presence of an elastic foundation increased the bearing capacity of the compressed plate.
Введение. Рассматривается задача о критических нагрузках сжатой ортотропной прямоугольной пластины на упругом основании. Для пластины заданы параметры ортотропии: коэффициенты Пуассона, модули Юнга для главных направлений и модуль сдвига материала пластины. Составляющие сжимающей нагрузки равномерно распределены по двум противоположным краям пластины и действуют параллельно осям координат. Края пластины свободно защемлены или шарнирно оперты. Рассмотрены также случаи, когда два параллельных края пластины свободны от нагрузок, а два других свободно защемлены или шарнирно оперты.
Материалы и методы. Задача рассматривается на основе системы нелинейных уравнений равновесия типа Кармана. Критические значения параметра нагрузки определяются из линеаризованной на тривиальном решении задачи. При этом для решения краевой задачи на собственные значения применяется вариационный метод в сочетании с конечно-разностным методом.
Результаты исследования. Задача сведена к решению параметрической линейной краевой задачи на собственные значения. В случае краевых условий подвижного шарнирного опирания приведены точные формулы собственных значений и собственных функций, а в случае свободного защемления краев применен вариационный метод в сочетании с конечно-разностным методом и построена компьютерная программа решения задачи. Установлено, что критическому значению параметра сжимающей нагрузки, при котором происходит потеря устойчивости сжатой пластины, может соответствовать одна или две собственные функции, выражающие прогиб пластины. Приведены результаты численных расчетов критических значений сжимающей нагрузки при различных значениях параметров ортотропии и построены графики соответствующих форм равновесия. Для случая длинной ортотропной пластины на упругом основании установлено, что главный член асимптотического разложения решения линейной задачи на собственные значения определяется из задачи о критических нагрузках сжатой балки на упругом основании с модулем упругости, совпадающим с модулем упругости пластины по продольному направлению.
Обсуждение и заключения. Исследована задача о критических нагрузках сжатой в двух направлениях ортотропной пластины, лежащей на упругом основании. При повышении составляющей сжимающей нагрузки вдоль одного направления снижается величина критического значения нагрузки, сжимающей пластину вдоль другого направления. Если ортотропная пластина сжимается нагрузкой вдоль направления, которое соответствует большей изгибной жесткости, то критическое значение потери устойчивости больше, чем критическое значение действующей вдоль направления меньшей изгибной жесткости сжимающей нагрузки. Наличие упругого основания повышает несущую способность сжатой пластины.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.