Павел Артурович Оганесян, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования Института математики, механики и компьютерных наук
344006, РФ, г. Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, 105/42
Pavel A. Oganesyan, Cand.Sci. (Phys.-Math.), associate professor of the Mathematical Modeling Department, Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics, and Computer Science
105/42, Bolshaya Sadovaya St., Rostov-on-Don, 344006, RF
Ольга Олеговна Штейн, ассистент кафедры прикладной математики и программирования Института математики, механики и компьютерных наук
344006, РФ, г. Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, 105/42
Olga O. Shtein, teaching assistant of the Applied Mathematics and Programming Department, Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics, and Computer Science
105/42, Bolshaya Sadovaya St., Rostov-on-Don, 344006, RF
Introduction. The widespread use of piezoelectric materials in various industries stimulates the study of their physical characteristics and determines the urgency of such research. In this case, modal analysis makes it possible to determine the operating frequency and the coefficient of electromechanical coupling of piezoelectric elements of various devices. These indicators are of serious theoretical and applied interest. The study was aimed at the development of numerical methods for solving the problem of determining resonance frequencies in a system of elastic bodies. To achieve this goal, we needed new approaches to the discretization of the problem based on the finite element method and the execution of the software implementation of the selected method in C# on the .net platform. Current solutions were created in the context of the ACELAN-COMPOS class library. The known methods of solving the generalized eigenvalue problem based on matrix inversion are not applicable to large-dimensional matrices. To overcome this limitation, the presented scientific work implemented the logic of constructing mass matrices and created software interfaces for exchanging data on eigenvalue problems with pre- and postprocessing modules.
Materials and Methods. A platform was used to implement numerical methods .net and the C# programming language. Validation of the research results was carried out through comparing the values found with solutions obtained in well-known SAE packages (computer-aided engineering). The created routines were evaluated in terms of performance and applicability for large-scale tasks. Numerical experiments were carried out to validate new algorithms in small-dimensional problems that were solved by known methods in MATLAB. Next, the approach was tested on tasks with a large number of unknowns and taking into account the parallelization of individual operations. To avoid finding the inverse matrix, a modified Lanczos method was programmatically implemented. We examined the formats for storing matrices in RAM: triplets, CSR, СSC, Skyline. To solve a system of linear algebraic equations (SLAE), an iterative symmetric LQ method adapted to these storage formats was used.
Results. New calculation modules integrated into the class library of the ACELAN-COMPOS complex were developed. Calculations were carried out to determine the applicability of various formats for storing sparse matrices in RAM and various methods for implementing operations with sparse matrices. The structure of stiffness matrices constructed for the same task, but with different renumbering of nodes of a finite element grid, was graphically visualized. In relation to the problem of the theory of electroelasticity, data on the time required to perform basic operations with stiffness matrices in various storage formats were summarized and presented in the form of a table. It has been established that the renumbering of grid nodes gives a significant increase in performance even without changing the internal structure of the matrix in memory. Taking into account the objectives of the study, the advantages and weaknesses of known matrix storage formats were named. Thus, CSR was optimal when multiplying a matrix by a vector, SKS was optimal when inverting a matrix. In problems with the number of unknowns of the order of 103, iterative methods for solving a generalized eigenvalue problem won in speed. The performance of the software implementation of the Lanczos method was evaluated. The contribution of all operations to the total solution time was measured. It has been found that the operation of solving SLAE takes up to 95% of the total time of the algorithm. When solving the SLAE by symmetric LQ method, the greatest computational costs were needed to multiply the matrix by a vector. To increase the performance of the algorithm, parallelization with shared memory was resorted to. When using eight threads, the performance gain increased by 40–50%.
Discussion and Conclusion. The software modules obtained as part of the scientific work were implemented in the ACELAN-COMPOS package. Their performance for model problems with quasi-regular finite element grids was estimated. Taking into account the features of the structures of the stiffness and mass matrices obtained through solving the generalized eigenvalue problem for an electroelastic body, the preferred methods for their processing were determined.
Введение. Широкое использование пьезоматериалов в различных отраслях стимулирует изучение их физических характеристик и обусловливает актуальность таких изысканий. В рассматриваемом случае модальный анализ позволяет определить рабочую частоту и коэффициент электромеханической связи пьезоэлементов различных устройств. Эти индикаторы представляют серьезный теоретический и прикладной интерес. Цель исследования — разработка численных методов для решения задачи определения частот резонанса в системе упругих тел. Для достижения цели нужны новые подходы к дискретизации задачи на основе метода конечных элементов и выполнение программной реализации выбранного метода на языке С# на платформе .net. Актуальные решения созданы в контексте библиотеки классов комплекса ACELAN-COMPOS. Основанные на обращении матриц известные методы решения обобщенной задачи на собственные значения неприменимы к матрицам большой размерности. Для преодоления этого ограничения в представленной научной работе реализована логика построения матриц масс и созданы программные интерфейсы для обмена данными о задачах на собственные значения с модулями пре- и постпроцессинга.
Материалы и методы. Для реализации численных методов задействовали платформу .net и язык программирования C#. Валидация результатов исследования проводилась путем сравнения найденных значений с решениями, полученными в известных CAЕ-пакетах (англ. computer-aided engineering — компьютеризированная инженерия). Созданные подпрограммы оценивались с точки зрения производительности и применимости для задач большой размерности. Проводились численные эксперименты с целью валидации новых алгоритмов в задачах малой размерности, которые решаются известными методами в MATLAB. Далее подход тестировали на задачах с большим числом неизвестных и с учетом распараллеливания отдельных операций. Чтобы избежать нахождения обратной матрицы, программно реализовали модифицированный метод Ланцоша. Рассмотрели форматы хранения матриц в оперативной памяти: триплеты, CSR, СSC, SKyline. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) задействовали итерационный симметричный метод LQ, адаптированный к этим форматам хранения.
Результаты исследования. Разработаны новые расчетные модули, интегрированные в библиотеку классов комплекса ACELAN-COMPOS. Проведены расчеты для определения применимости различных форматов хранения разреженных матриц в оперативной памяти и различных методов реализации операций с разреженными матрицами. Графически визуализирована структура матриц жесткости, построенных для одной и той же задачи, но с различной перенумерацией узлов конечноэлементной сетки. Применительно к задаче теории электроупругости обобщены и представлены в виде таблицы данные о времени, необходимом на выполнение базовых операций с матрицами жесткости в различных форматах хранения. Установлено, что перенумерация узлов сетки дает существенный прирост производительности даже без изменения внутренней структуры матрицы в памяти. С учетом поставленных задач исследования названы преимущества и слабые стороны известных форматов хранения матриц. Так, CSR оптимален при умножении матрицы на вектор, SKS — при обращении матрицы. В задачах с числом неизвестных порядка 103 выигрывают в скорости итерационные методы решения обобщенной задачи на собственные значения. Оценивалась производительность программной реализации метода Ланцоша. Измерялся вклад всех операций в общее время решения. Выяснилось, что операция решения СЛАУ занимает до 95 % от общего времени работы алгоритма. При решении СЛАУ симметричным методом LQ наибольшие вычислительные затраты нужны для умножения матрицы на вектор. Для увеличения производительности алгоритма прибегли к распараллеливанию с общей памятью. При использовании восьми потоков производительность выросла на 40–50 %.
Обсуждение и заключение. Полученные в рамках научной работы программные модули были внедрены в пакет ACELAN-COMPOS. Оценена их производительность для модельных задач с квазирегулярными конечноэлементными сетками. С учетом особенностей структур матриц жесткости и масс, получаемых при решении обобщенной задачи на собственные значения для электроупругого тела, определены предпочтительные методы для их обработки.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.