Евгений Евгеньевич Дерюгин, доктор физико-математических наук, профессор лаборатории физической мезомеханики и неразрушающих методов контроля института физики прочности и материаловедения
534055, г. Томск, Академический пр., 2/4
Evgeny E. Deryugin, Dr.Sci. (Phys.-Math.), Professor, Leading Researcher of the Laboratory of Physical Mesomechanics and Non-Destructive Testing Methods
2/4, Akademicheskii Ave., Tomsk, 634055
Introduction. Published studies on the rigidity of consoles under load focus on the issues of their deformation and destruction. Calculations of the inertia moment, fundamentally important characteristic of the strength of the rod, are described. However, the problem of significant time consumption for such calculations has not been solved. The presented study meets the lack. The objective of the work is to describe a new rapid method for analytical calculation of the shear stress distribution in the section of the console corresponding to the action of an external applied force. For the first time, tangential stresses are considered, and examples of calculating the inertia moment for two non-standard sections of the console are given in this context.
Materials and Methods. To develop a new method, the console was presented as a pack of plates oriented parallel to the vector of external force. The source calculations were based on the scheme of a console beam with a dedicated plate. The deformation of the rod elements was modeled taking into account the effect of a uniform shear stress field in the plate section. To validate the simplified calculation of the inertia moment of the sections, schemes of a square, ellipse, triangle, hexagon, six-pointed star, and a figured cross were used. Analytical and mathematical research methods were applied, specifically, the Huygens–Steiner theorem.
Results. A rapid valid method for calculating the inertia moment of the cross section of the console under loading has been developed. Its difference is the rejection of calculations for each section, taking into account the shape and other features. For any shape of the section, the beam is represented as a bundle of infinitely thin plates, their inertia moments are integrated, and a well-known solution for deflection of a thin plate is used. The method allows us to unambiguously show the distribution of tangential stresses at the end of the console, providing a given deflection, and tangential stresses are used for such solutions for the first time. Their profiles are obtained depending on the direction of the external applied force. Formulas for the inertia moments of complex sections — a six-pointed star and a figured cross — are derived for the first time. Each section is correlated with the stress distribution curve and its maximum value. This data is visualized in the form of diagrams. It is found that the inertia moment and the rigidity of the console do not change when the external applied force is rotated by 30° for a star-shaped section and by 45° for a square and a figured cross. In general, the tangent field depends on the geometry and on the orientation of the section relative to the external applied force.
Discussion and Conclusion. The proposed simplified approach to calculating the inertia moment of the cross sections of the consoles makes it possible to uniquely determine the field of tangential stresses at the end, which provides the appropriate value of the external applied force for the given deflection. Engineers and mechanics can use the results of the presented work in the calculations and modeling of deformation of rod structural elements.
Введение. Опубликованные исследования жесткости консолей под нагрузкой фокусируются на вопросах их деформации и разрушения. Описаны расчеты момента инерции — принципиально важной характеристики прочности стержня. Однако не решена проблема значительных затрат времени для таких вычислений. Представленное исследование восполняет данный пробел. Цель работы — описание нового быстрого метода аналитического расчета распределения напряжения сдвига в сечении консоли, соответствующего действию внешней приложенной силы. Впервые в таком контексте рассматриваются касательные напряжения и приводятся примеры расчета момента инерции для двух нестандартных сечений консоли.
Материалы и методы. Для создания нового метода консоль представили как пачку пластинок, ориентированных параллельно вектору внешней силы. Исходные расчеты строили по схеме консольной балки с выделенной пластинкой. Деформацию стержневых элементов моделировали с учетом действия однородного поля напряжения сдвига в сечении пластинки. Для обоснования упрощенного расчета момента инерции сечений задействовали схемы квадрата, эллипса, треугольника, шестиугольника, шестиконечной звезды и фигурного креста. Использовали аналитические и математические методы исследования, в частности теорему Гюйгенса–Штейнера.
Результаты исследования. Создан быстрый универсальный метод вычислений момента инерции поперечного сечения консоли под нагрузкой. Его отличие — отказ от расчетов для каждого сечения с учетом формы и других особенностей. При любой форме сечения балка представляется как пачка бесконечно тонких пластинок, моменты их инерции интегрируются, и используется известное решение для прогиба тонкой пластинки. Метод позволяет однозначно показать распределение касательных напряжений на торце консоли, обеспечивающих заданный прогиб, причем впервые для таких решений используются касательные напряжения. Получены их профили в зависимости от направления внешней приложенной силы. Впервые выведены формулы для моментов инерции сложных сечений — шестиконечной звезды и фигурного креста. Каждое сечение соотнесено с кривой распределения напряжения и его максимальным значением. Эти данные визуализированы в виде диаграмм. Установлено, что момент инерции и жесткость консоли не меняются при повороте внешней приложенной силы на 30° для сечения в виде звезды и на 45° — для квадрата и фигурного креста. В общем случае поле касательных зависит от геометрической формы и от ориентации сечения относительно внешней приложенной силы.
Обсуждение и заключение. Предложенный упрощенный подход к расчету момента инерции поперечных сечений консолей дает возможность однозначно определить поле касательных напряжений на торце, обеспечивающее при заданном прогибе соответствующее значение внешней приложенной силы. Инженеры и механики могут использовать результаты представленной работы при расчетах и моделировании деформации стержневых элементов конструкций.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.