donstuAdvanced Engineering Research (Rostov-on-Don)Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don)2687-1653Don State Technical University10.12737/10369donstu-225Research ArticleMECHANICSМЕХАНИКАBifurcations of stationary manifolds formed in the neighborhood of equilibrium in the dynamic cutting systemБифуркации стационарных многообразий, формируемых в окрестности равновесия в динамической системе резанияЗаковоротныйВилор ЛаврентьевичZakovorotnyVilor Lavrentyevichvzakovorotny@dstu.edu.ruГубановаАлександра АнатольевнаGubanovaAlexandra Anatolyevnaanatoliya81@mail.ruХристофороваВероника ВладимировнаKhristoforovaVeronika Vladimirovnanikaapp@rambler.ruДонской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская ФедерацияРоссияDon State Technical University, Rostov-on-Don, Russian FederationRussian Federation2015300320151511122Copyright © Zakovorotny V.L., Gubanova A.A., Khristoforova V.V., 20152015Заковоротный В.Л., Губанова А.А., Христофорова В.В.Zakovorotny V.L., Gubanova A.A., Khristoforova V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.vestnik-donstu.ru/jour/article/view/225

The work objective is to study the formation of orbitally asymptotically stable limit cycles and two-dimensional invariant tori including bifurcations near the attracting sets. The investigators use primarily methods based on the mathematic simulation of the dynamic systems. Some problems of the nonlinear dynamics of the material cutting are considered. A mathematical model of the dynamic system considering the dynamic link formed by the cutting process is offered. Here, the following key features of the dynamic coupling are taken into account: dependence of the cutting forces on the area of a cut-off layer, delay of forces towards the elastic deformation shifts of the tool in relation to the workpiece, restrictions imposed on the tool movements when the back of the instrument is approaching the treated part of the workpiece, forces - cutting velocity relation. The dynamic subsystem of the tool is presented by a linear dynamic system in the plane orthogonal to a cutting surface. Following the research, some guidelines for designing systems with the required stationary manifold in the state space are provided. Importantly, in the neighborhood of equilibrium, various criteria of set causing regular or irregular features of the formed in-cut surface can develop depending on the models interacting under processing.

Рассмотрены проблемы нелинейной динамики процесса обработки материалов резанием. Предложена математическая модель динамической системы, учитывающая динамическую связь, формируемую процессом резания. Динамическая подсистема инструмента представлена линейной динамической системой в плоскости, нормальной к поверхности резания. На основе выполненных исследований даются рекомендации по проектированию систем, имеющих требуемые стационарные многообразия в пространстве состояния. Полученные данные позволяют сделать следующие выводы. Динамическая система резания может служить примером сложного поведения, зависящего от параметров подсистемы инструмента и представления сил в координатах состояния. Представление сил в координатах состояния зависит от множества физических процессов, сопровождающих обработку. Важно отметить, что в зависимости от моделей, взаимодействующих через процесс обработки, в окрестности равновесия могут формироваться различные критерии множества, вызывающие регулярные или нерегулярные свойства формируемой при резании поверхности .

процесс резания материаловдинамическая системаинвариантные многообразиябифуркацииmaterials cuttingdynamic systeminvariant manifoldbifurcationsReferencesДроздов, Н. А. К вопросу о вибрациях станка при токарной обработке / Н. А. Дроздов // Станки и инструмент. - 1937. - № 12. - С. 12-17.Drozdov, N.А. K voprosu o vibratsiyakh stanka pri tokarnoy obrabotke. [On machine vibrations under turning.] Stanki i instrument,1937, no. 12, pp. 12–17 (in Russian).Каширин, А. И. Исследование вибраций при резании металлов / А. И. Каширин. - Москва ; Ленинград : АН СССР, 1944. - 282 с.Kashirin, А.I. Issledovanie vibratsiy pri rezanii metallov. [Study on vibrations under metal cutting.] Moscow; Leningrad: AN SSSR, 1944, 282 p. (in Russian).Соколовский, А. П. Вибрации при работе на металлорежущих станках / А. П. Соколовский // Исследование колебаний при резании металлов. -Москва : Машгиз, 1958. - С. 15-18.Sokolovskiy, А.P. Vibratsii pri rabote na metallorezhushchikh stankakh. Issledovanie kolebaniy pri rezanii metallov. [Vibrations when operated at machine- tools. Vibration analysis under metal cutting.] Moscow: Mashgiz, 1958, pp. 15–18 (in Russian).Мурашкин, Л. С. Прикладная нелинейная механика станков / Л. С. Мурашкин, С. Л. Мурашкин. - Ленинград : Машиностроение, 1977. - 192 с.Murashkin, L.S., Murashkin, S.L. Prikladnaya nelineynaya mekhanika stankov. [Applied nonlinear tooling mechanics.] Leningrad: Mashinostroenie, 1977, 192 p. (in Russian).Альбрехт, П. Динамика процесса резания металла / П. Альбрехт // Конструирование и технология машиностроения : тр. Американского общества инженеров-механиков (ASME). -1965. - Т. 87, серия В, № 4.- С. 40-54.Albrecht, P. Dinamika protsessa rezaniya metalla. [Dynamics of Metal-Cutting Process.] Konstruirovanie i tekhnologiya mashinostroeniya: tr. Amerikanskogo obshchestva inzhenerov-mekhanikov (ASME). [Construction and Building Design: Proc. Amer. Soc. of Mech. Engineers (ASME).] J. Manuf. Sci. Eng., 1965, vol. 87, iss. 4, pp. 40–54 (in Russian).Жарков, И. Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом / И. Г. Жарков. - Ленинград : Машиностроение, 1987. - 184 с.Zharkov, I.G. Vibratsii pri obrabotke lezviynym instrumentom. [Vibrations under edge tool cutting.] Leningrad: Mashinostroenie, 1987, 184 p. (in Russian).Тлустый, И. Автоколебания в металлорежущих станках / И. Тлустый. - Москва : Машгиз, 1956. - 395 с.Tlusty, I. Avtokolebaniya v metallorezhushchikh stankakh. [Self-oscillations in machine tools.] Moscow: Mashgiz, 1956, 395 p. (in Russian).Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. - Москва : Машиностроение, 1967. -359 с.Kudinov, V.А. Dinamika stankov. [Dynamics of machines.] Moscow: Mashinostroenie, 1967, 359 p. (in Russian).Эльясберг, М. Е. Автоколебания металлорежущих станков: теория и практика / М. Е. Эльясберг. - Санкт-Петербург : ОКБС, 1993. - 182 с.Elyasberg, М.Е. Avtokolebaniya metallorezhushchikh stankov: teoriya i praktika. [Self-oscillations of machine tools: theory and practice.] St. Petersburg: OKBS, 1993, 182 p. (in Russian).Вейц, В. Л. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества при механической обработке маложестких заготовок / В. Л. Вейц, Д. В. Васильков // Станки, инструмент. - 1999. - № 6. - С. 9-13.Veyts, V.L., Vasilkov, D.V. Zadachi dinamiki, modelirovaniya i obespecheniya kachestva pri mekhanicheskoy obrabotke malozhestkikh zagotovok. [Problems of dynamics, modeling and quality assurance for machining slender workpieces.] Stanki, instrument, 1999, no. 6, pp. 9–13 (in Russian).Заковоротный, В. Л. Динамика процесса резания. Синергетический подход / В. Л. Заковоротный, М. Б. Флек // Ростов-на-Дону : Изд-во ДГТУ, 2006. - 876 с.Zakovorotny, V.L., Flek, M.B. Dinamika protsessa rezaniya. Sinergeticheskiy podkhod. [Dynamics of the cutting process. Synergetic approach.] Rostov-on-Don: DSTU Publ. Centre, 2006, 876 p. (in Russian).Заковоротный, В. Л. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки / В. Л. Заковоротный, Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. - 2011. - № 2. - С. 38-46. - (Технические науки).Zakovorotny, V.L., Pham Dinh Tung, Nguyen Xuan Chiem. Matematicheskoe modelirovanie i parametricheskaya identifikatsiya dinamicheskikh svoystv podsistemy instrumenta i zagotovki. [Mathematical simulation and parametric identification of dynamic properties of the tool and workpiece subsystem.] Izvestiya vuzov. Severo- Kavkazskiy region. Technical Sciences. 2011, no. 2, pp. 38–46 (in Russian).Заковоротный, В. Л. Динамический мониторинг состояния процесса резания / В. Л. Заковоротный, Е. В. Бордачев, М. И. Алексейчик // Станки, инструмент. - 1998. - № 12. - С. 6-12.Zakovorotny, V.L., Bordachev, E.V., Alexeychik, M.I. Dinamicheskiy monitoring sostoyaniya protsessa rezaniya. [Dynamic monitoring of the cutting process state.] Stanki, instrument, 1998, no. 12, pp. 6–12 (in Russian).Заковоротный, В. Л. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении / В. Л. Заковоротный, Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2010. - Т. 10, № 7. - С. 1005-1015.Zakovorotny, V.L., Pham Dinh Tung, Nguyen Xuan Chiem. Modelirovanie deformatsionnykh smeshcheniy instrumenta otnositel'no zagotovki pri tochenii. [Modeling of tool deformation offsetting to workpiece in turning.] Vestnik of DSTU, 2010, vol. 10, no. 7, pp. 1005–1015 (in Russian).Altintas, Y. Analytical prediction of stability lobes in milling / Y. Altintas, E. Budak // CIRP Annals. - 1995. - Vol. 44. - P. 357-362.Altintas, Y., Budak, E. Analytical prediction of stability lobes in milling. CIRP Annals, 1995, vol. 44, pp. 357– 362.Balachandran, B. Non-linear dynamics of milling process/ B. Balachandran // Philosophical Transactions of the Royal Society. - 2001. - Vol. 359. - P. 793-820.Balachandran, B. Non-linear dynamics of milling process. Philosophical Transactions of the Royal Society, 2001, vol. 359, pp. 793–820.Davies, M.-A. The stability of low immersion milling / M.-A. Davies, J.-R. Pratt // CIRP Annals. - 2000.- Vol. 49. - P. 37-40.Davies, M.-A., Pratt, J.-R. The stability of low immersion milling. CIRP Annals, 2000, vol. 49, pp. 37–40.Stability prediction for low radial immersion milling / M.-A. Davies [et al.] // The Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2002. - Vol. 124. - P. 217-225.Davies, M.-A., et al. Stability prediction for low radial immersion milling. The Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2002, vol. 124, pp. 217–225.Prediction of regenerative chatter by modeling and analysis of high-speed milling / R.-P.-H. Faassen [et al.] // The International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2003. - Vol. 43. - P. 1437-1446.Faassen, R.-P.-H, et al. Prediction of regenerative chatter by modeling and analysis of high-speed milling. The International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2003, vol. 43, pp. 1437–1446.Corpus, W.-T. Added stability lobes in machining processes that exhibit periodic time variation. Part 1: An analytical solution / W.-T. Corpus, W.-J. Endres // The Journal of Manufacturing Science and Engineering. - 2004. Vol. 126. - P. 467-474.Corpus, W.-T., Endre, W.-J. Added stability lobes in machining processes that exhibit periodic time variation. Part 1: An analytical solution. The Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2004, vol. 126, pp. 467–474.Floquet, M.-G. Equations diff´erentielles lin´eaires a coefficients peridiques / M.-G. Floquet // Annales scientifiques de l'École normale supérieure. 1883. - Vol. 12 - P. 47-89.Floquet, M.-G. Equations diff´erentielles lin´eaires a coefficients peridiques. Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 1883, vol. 12, pp. 47–89.Заковоротный, В. Л. Параметрическое самовозбуждение динамической системы резания / В. Л. Заковоротный, Фам Тхы Хыонг // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 5/6 (74/75). - С. 97-104.Zakovorotny, V.L., Pham Thu Huong. Parametricheskoe samovozbuzhdenie dinamicheskoy sistemy rezaniya. [Parametric self-excitation of cutting dynamic system.] Vestnik of DSTU, 2013, no. 5/6 (74/75), pp. 97–104 (in Russian).Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays / A. M. Gouskov [et al.] // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2002. - Vol. 7. - P. 207-221.Gouskov, A.M., et al. Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2002, vol. 7, pp. 207–221.Impact of the cutting dynamics of small radial immersion milling operations on machined surface roughness / G. Peigne [et al.] // The International Journal of Machine Tools and Manufacture. - 2004. - Vol. 44. - P. 1133-1142.Peigne, G., et al. Impact of the cutting dynamics of small radial immersion milling operations on machined surface roughness. The International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2004, vol. 44, pp. 1133–1142.Szalai, R. Global dynamics of low immersion high-speed milling / R. Szalai, G. Stepan, S.-J. Hogan // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2004. - Vol. 14. - P. 1069-1077.Szalai, R., Stepan, G., Hogan, S.-J. Global dynamics of low immersion high-speed milling. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2004, vol. 14, pp. 1069–1077.Меркин, Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д. Р. Меркин. - Москва : Наука, 1971.- С. 304.Merkin, D.R. Vvedenie v teoriyu ustoychivosti dvizheniya. [Introduction to the stability theory.] Moscow: Nauka, 1971, 304 p. (in Russian).Лихаданов, В. М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения / В. М. Лихаданов // Прикладная математика и механика. - 1974. - Т. 38. - С. 246-253.Likhadanov, V.M. O vliyanii struktury sil na ustoychivost' dvizheniya. [On effect of force structure on stability of motion.] Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1974, vol. 38, pp. 246–253 (in Russian).Лихаданов, В. М. О стабилизации потенциальных систем / В. М. Лихаданов // Прикладная математика и механика. - 1975. - Т. 39. - С. 53-58.Likhadanov, V.M. O stabilizatsii potentsial'nykh sistem. [Stabilization of direct-current systems.] Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1975, vol. 39, pp. 53–58 (in Russian).Остафьев, В. А. Диагностика процесса металлообработки / В. А. Остафьев, В. С. Антонюк, Г. С. Тымчик // Киев : Тэхника, 1991. - С. 54-55.Ostafyev, V.A., Antonyuk, V.S., Tymchik, G.S. Diagnostika protsessa metalloobrabotki. [Diagnostics of metalworking process.] Kiev: Tekhnika, 1991, pp. 54–55 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.