References

donstu

Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don)

2687-1653

Don State Technical University

10.12737/16052

donstu-50

Research Article

INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE AND MANAGEMENT

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

On Toeplitz matrices construction algorithm with a given number of connected components of the limitary spectrum complement[1]

Об алгоритме построения тёплицевых матриц с заданным числом компонент связности дополнения предельного спектра

Золотых

Светлана Андреевна

Zolotykh

Svetlana A.

Svetlana.zolotyx@mail.ru

Донской государственный технический университетРоссия1Don State Technical UniversityRussian Federation

2015

30122015

154116122

2015

Золотых С.А.

Zolotykh S.A.

Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

https://www.vestnik-donstu.ru/jour/article/view/50

The simplest topological properties of the approximate spectrum, namely the connectivity of its complement in the complex plane, are studied. A numerical verification of the lower bounds for the maximum number of the connected components of the limitary spectrum complement of the band Toeplitz matrices whose symbol is Laurent polynomial of the specified degree, is carried out. The algorithm for computation of the Toeplitz matrix symbol parameters with its approximate spectrum dividing the complex plane into a given number of connected components is adduced. The examples of polynomials which are Toeplitz matrices symbols with the limitary spectrum dividing the complex plane into a given set of connected components are numerically investigated. Graphs of the limitary spectra of Toeplitz matrices illustrating the results obtained are given. The obtained limitary spectra are compared to the Toeplitz matrices spectra of large size with a given symbol.

Исследуются простейшие топологические свойства предельного спектра, а именно связность его дополнения в комплексной плоскости. В работе проведена численная проверка оценок снизу для максимального числа компонент связности дополнения предельного спектра ленточных тёплицевых матриц, символ которых - полином Лорана заданной степени. Приведён алгоритм вычисления параметров символа тёплицевой матрицы, предельный спектр которой разбивает комплексную плоскость на заданное число компонент связности. Численно исследованы примеры полиномов, являющихся символами тёплицевых матриц, предельный спектр которых делит комплексную плоскость на заданное множество компонент связности. Приведены графики предельных спектров тёплицевых матриц, иллюстрирующие полученные в работе результаты. Проведено сравнение полученных методами работы предельных спектров и спектров тёплицевых матриц больших размеров с заданным символом.

ленточная тёплицева матрицасимвол тёплицевой матрицыпредельный спектрчисло компонент связностиbanded Toeplitz matrixToeplitz matrix symbollimitary spectrumnumber of connected components

References1

Boettcher, A. Spectral properties of banded Toeplitz matrices / A. Boettcher, S. Grudsky. - Philadelphia : SIAM, 2005. - 422 р.

Boettcher, A., Grudsky, S. Spectral properties of banded Toeplitz matrices. Philadelphia: SIAM, 2005, 422 р.

Schmidt, P. The Toeplitz matrices of an arbitrary Laurent polynomial / P. Schmidt, F. Spitzer // Math. Scand. - 1960. - V. 8. - P. 15-38.

Schmidt, P., Spitzer, F. The Toeplitz matrices of an arbitrary Laurent polynomial. Mathematica Scandinavica, 1960, vol. 8, pp. 15–38.

Ullman, J. L. A problem of Schmidt and Spitzer / J. L. Ullman // Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. - V. 73. - P. 883-885.

Ullman, J.L. A problem of Schmidt and Spitzer. Bull. Amer. Math. Soc., 1967, vol. 73, no. 6, pp. 883–885.

Batalshikov, A. Asymptotics of eigenvalues of large symmetric banded Toeplitz matrices / A. Batalshikov, S. Grudsky, V. Stukopin // Linear Algebra and its Applications. - 2015. - V. 469. - P. 464-486.

Batalshikov, A., Grudsky, S., Stukopin, V. Asymptotics of eigenvalues of large symmetric banded Toeplitz matrices. Linear Algebra and its Applications, 2015, vol. 469, pp. 464–486.

Золотых, С. А. О вычислении предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С. А. Золотых, В. А. Стукопин // Математический форум. (Итоги науки. Юг России.) -2013. - Т. 7. - С. 80-87. Золотых, С. А. Об описании предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С. А. Золотых, В. А. Стукопин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2012. - №8(69). - С. 5-11.

Zolotykh, S.А., Stukopin, V.A. O vychislenii predel'nogo spektra lentochnykh teplitsevykh matrits. [On calculation of the limitary spectrum of band Toeplitz matrices.] Matematicheskiy forum (Itogi nauki. Yug Rossii).2013, vol. 7, pp. 80–87 (in Russian).

Батальщиков, А. А. О распределении собственных чисел тёплицевых матриц с символом Хартвига-Фишера / А. А. Батальщиков, В. А. Стукопин // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2011. - № 3. - С. 812-819.

Zolotykh, S.А., Stukopin, V.A. Ob opisanii predel'nogo spektra lentochnykh teplitsevykh matrits. [On formulation of limitary spectrum of banded Toeplitz matrices.] Vestnik of DSTU, 2012, no. 8(69), pp. 5–11 (in Russian).

Widom, H. Eigenvalue distribution of nonselfadjoint Toeplitz matrices and the asymptotics of Toeplitz determinants in the case of nonvanishing index / H. Widom // Oper. Theory: Adv. Appl. - 1990. - V. 48. - P. 387-421.

Batalshchikov, A.A., Stukopin, V.A. O raspredelenii sobstvennykh chisel teplitsevykh matrits s simvolom Khartviga Fishera. [On distribution of eigen values of Toeplitz matrices with Hartwig-Fisher symbol.] Vestnik of DSTU, 2011, no. 3, pp. 812–819 (in Russian).

Золотых, С. А. Об оценках снизу для максимального числа компонент дополнения предельного спектрпоследовательности тёплицевых матриц с символом заданной степени / С. А. Золотых // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования : сб. трудов междунар. науч. конф. - Владикавказ, 2015. - С. 72 - 73.

Widom, H. Eigenvalue distribution of nonselfadjoint Toeplitz matrices and the asymptotics of Toeplitz determinants in the case of nonvanishing index. Oper. Theory: Adv. Appl., 1990, vol. 48, pp. 387–421.

Золотых, С. А. Об оценке числа компонент связности предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С.А. Золотых, В. А. Стукопин // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-III : сб. трудов междунар. науч. конф. - Ростов-на-Дону, 2013. - С. 20.

Zolotykh, S.А. Ob otsenkakh snizu dlya maksimal'nogo chisla komponent dopolneniya predel'nogo spectra posledovatel'nosti teplitsevykh matrits s simvolom zadannoy stepeni. [On lower bounds for the maximum number of complement components of the limit spectrum of a sequence of Toeplitz matrices with symbol of given degree.] Poryadkovyy analiz i smezhnye voprosy matematicheskogo modelirovaniya: sb. trudov mezhdunar. nauch. konf. [Ordinal analysis and related issues of mathematic simulation: Proc. Int. Sci. Conf.] Vladikavkaz, 2015, pp. 72–73 (in Russian).

Золотых, С. А. Об оценке числа компонент связности предельного спектра ленточных тёплицевых матриц / С. А. Золотых, В. А. Стукопин //Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - III". - 2013. - С. 20.

Zolotykh, S.А., Stukopin, V.A. Ob otsenke chisla komponent svyaznosti predel'nogo spektra lentochnykh teplitsevykh matrits. [On estimation of number of connected components of the limitary spectrum of the band Toeplitz matrices.] Sovremennye metody i problemy teorii operatorov i garmonicheskogo analiza i ikh prilozheniya–III: sb. trudov mezhdunar. nauch. konf. [Modern methods and problems of the theory of operators and harmonic analysis and their applications-III: Proc. Int. Sci. Conf.] Rostov-on-Don, 2013, p. 20 (in Russian)

Boettcher, A. Spectral properties of banded Toeplitz matrices / A. Boettcher, S. Grudsky. - Philadelphia : SIAM, 2005. - 422 р.

Schmidt, P. The Toeplitz matrices of an arbitrary Laurent polynomial / P. Schmidt, F. Spitzer // Math. Scand. - 1960. - V. 8. - P. 15-38.

Ullman, J. L. A problem of Schmidt and Spitzer / J. L. Ullman // Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. - V. 73. - P. 883-885.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.