Павлов Валентин Дмитриевич, начальник научно-информационного отдела, кандидат технических наук
600901, г. Владимир, ул. Ноябрьская, 127
Valentin D. Pavlov
Vladimir
Введение. Механические колебания широко распространены в технологических процессах. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические, поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии. Этим обусловлены важность учета механической реактивной мощности и, как следствие, актуальность представленной работы. Цель исследования — детализация видов механической мощности при гармонических колебаниях.
Материалы и методы. Изучена литература, в которой освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические, преимущественно математические методы исследования.
Результаты исследования. Математически осмыслены мощности, развиваемые при упругих деформациях, вынужденных гармонических колебаниях инертного тела и колебаниях, связанных с гравитационным воздействием, а также реактивная, активная, полная мощности в комплексном представлении и механические мощности в векторном представлении.
Обсуждение и заключения. При механических гармонических колебаниях наряду со знакоположительной тепловой мощностью, развиваются знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий. Полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора. Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях обобщает соответствующие понятия о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.
Introduction. Mechanical vibrations are widespread in the production processes. The drives of machines and mechanisms are mainly electromechanical, so mechanical reactive power is transformed into electrical reactive power of the network, impairing the quality of electricity. This explains the significance of considering the mechanical reactive power, and, as a consequence, the urgency of the presented study. The research objective is to detail the types of mechanical power under harmonic vibrations.
Materials and Methods. The literature on the issues of dynamics, kinematics, vibrations, transformation of motion in oscillatory systems, etc., has been studied. Theoretical, mainly mathematical methods of research are used.
Results. The powers developed under elastic deformations, forced harmonic vibrations of an inert body, and vibrations associated with gravitational influence, as well as reactive, active, full powers in the complex formulation, and mechanical powers in the vector representation are mathematically interpreted.
Discussion and Conclusions. Under the mechanical harmonic vibrations, along with the sign-positive thermal power, sign-variable reactive powers develop, characterizing the reversibility of kinetic and potential energies. The total mechanical power satisfies the Pythagorean formula. The concept of mechanical reactive, active, and total powers generalizes the corresponding concepts of power from electrical engineering, and thus manifesting electromechanical dualism.
Введение. Механическая энергия бывает обратимой (потенциальная и кинетическая), а также необратимой (например, тепловая при трении). Временную производную от последней принимают за механическую мощность. Отметим, что в силу необратимости тепловой энергии ее производная принимает только положительные значения. Вместе с тем производные получают как от потенциальной, так и от кинетической энергии. Особый интерес представляют гармонические колебания [1–4], при которых производные (мгновенные мощности) будут знакопеременными функциями, что принципиально отличает их от тепловой мощности.
Аналог кинетической энергии в электротехнике — энергия магнитного поля катушки индуктивности, аналог потенциальной энергии — энергия электрического поля конденсатора, а аналог механической тепловой энергии — тепловая же энергия, рассеиваемая резистором. Механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5–8]. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические [9–12], поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии [
Материалы и методы. Рассмотрены механические мощности при гармонических колебаниях. В качестве литературной базы изучены отечественные и зарубежные источники, в которых освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические (преимущественно математические) методы исследования.
Мощность, развиваемая при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела. Движение тела описывается известным выражением:
x=l sinwt
Соответственно, скорость:
Для гармонической величины действующее значение меньше амплитудного в 2 :
(1)
Формула для силы имеет вид:
(2)
Формула для силы трения:
(3)
Результирующая сила:
Обозначим:
(4)
С учетом этого:
Очевидно, что
Действующее значение результирующей силы:
(5)
Мгновенная результирующая мощность:
(6)
В электротехнике есть выражение, аналогичное (6), с заменами F → U V → I. Из него определяют активную мощность:
Поэтому активную (тепловую) механическую мощность тоже следует определить, как:
(7)
Очевидно, что гармонические сила и скорость совершают колебания со сдвигом фаз, равным .
Из вышеназванной формулы электротехники определяют реактивную мощность:
Поэтому реактивную (инерционную) механическую мощность тоже следует определить, как:
(8)
Из (6) следует, что под активной мощностью понимается среднее за полпериода значение мгновенной мощности, а под реактивной — амплитудное значение. В электротехнике аналогично.
Еще одно обобщение из электротехники — полная механическая мощность:
(9)
Она примечательна тем, что, с одной стороны, описывается формулой Пифагора, а с другой — равнапроизведению действующих значений гармонических величин.Имея в виду (1), (5) и (8),
(10)
При этом:
(11)
Это соответствует выражениям (6) и (10).
Имея в виду (1), (5) и (7),
(12)
При этом:
(13)
Это соответствует выражениям (6) и (12).
Имея в виду (9), (10) и (12),
Мощность, развиваемая при упругих деформациях. Выражение для силы имеет вид:
(14)
С учетом (3) результирующая сила равна:
Обозначим:
Значит,
Очевидно, что:
Действующее значение результирующей силы равно:
(15)
Мгновенная результирующая мощность:
(16)
Имея в виду (6), (7) и (12), активная механическая мощность равна:
Принимая во внимание (15), (1), (8) и (16), механическая реактивная (упругая) мощность равна:
(17)
При этом:
(18)
Это соответствует выражениям (16) и (17).
Очевидно, что полная мощность равна:
Мощность при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием. При отклонении подвешенного груза на угол возникает момент:
Пусть
Тогда
Мгновенная мощность имеет вид:
Ее амплитуда и, соответственно, реактивная мощность гравитационного воздействия определяется, как:
Реактивная, активная и полная мощности в комплексном представлении. В [
Мгновенная скорость при этом равна:
Формулы для действующих значений величин принципиально не отличаются:
В электротехнике подробно описана особенность комплексного представления: при вычислении полной мощности один из перемножаемых векторов должен быть сопряженным.
Это выражение для инертной нагрузки. Упругая нагрузка отличается тем, что реактивная мощность имеет противоположный знак:
При этом:
Механические мощности в векторном представлении. В основе комплексного представления лежит идея вращающихся в комплексной плоскости векторов. Тот же принцип может быть реализован в трехмерном Декартовом базисе.
Из (7)–(9) следует:
Математическая абстракция с проекциями вращающихся векторов имеет конкретную материальную основу в виде кривошипно-кулисных механизмов.
Обсуждение и заключения. Математическими методами исследованы мощности:
Показано, что при механических гармонических колебаниях развивается не только знакоположительная тепловая мощность, но и знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий.
При этом полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора.
Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях является обобщением соответствующих понятий о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.