Введение. Л. М. Зубов в работе [1] вывел уравнения равновесия упругой пластинки, содержащей источники внутренних напряжений в виде дислокаций и дисклинаций, являющиеся модификацией уравнений Кармана. В этой работе также решена задача об изгибе тонкой пластинки (мембраны) под действием внутренних напряжений, обусловленных дефектами. В работах [2–5] теория дислокаций и дисклинаций применяется в исследовании поведения пластин и оболочек. В статье [6] построено общее решение уравнения колебаний прямоугольной ортотропной пластины со свободными краями. В работах [7][8] строятся асимптотические решения задач статики и динамики узких пластин.

В работе [9] рассмотрена задача о ветвлении равновесий под влиянием малого нормального давления сжатой в одном направлении прямоугольной пластины, содержащей дислокации и дисклинации. Рассмотрен случай, когда продольные края пластины свободны от нагрузок, а два других края закреплены. В [10] для задачи о критических нагрузках сжатой узкой пластины строится асимптотическое решение с помощью разложения по малому параметру относительной ширины пластины. В [11] исследована задача о ветвлении равновесий упругой прямоугольной пластины с внутренними источниками напряжений для случая, когда сжимающие нагрузки неравномерно распределены по краям. Установлено, что при четных формах функции несовместности и четных формах распределения по краям сжимающих усилий наличие малой нормальной нагрузки не снижает несущую способность пластины.

В работе Морозова Н. Ф., Беляева А. К., Товстика П. Е., Товстик Т. П. [12] представлен асимптотический вывод двумерных уравнений равновесия тонкой упругой неоднородной пластины, изготовленной из анизотропного материала общего вида. В [13] сформулированы выводы о формах потери устойчивости сжатой пластины на упругом мягком основании. В работе [14] исследована жесткость на изгиб тонкой упругой многослойной пластины с трансверсально изотропными слоями. Проводится сравнение двух моделей учета влияния поперечного сдвига.

В работе [15] построена модель термоупруговязкопластической деформации композита, который перекрестно армирован непрерывными волокнами в произвольных направлениях.

В [16] в рамках прямого подхода к теории пластин рассматривается задача о гиперупругой пластине с неоднородно распределенными начальными напряжениями. Пластина рассматривается как материальная поверхность с пятью степенями свободы (три перемещения и два вращения). В работе [17] в рамках нелинейной упругости анализируется устойчивость равномерно сжатой круглой двухслойной пластины с первоначально сжатым или растянутым слоем. Для определяющего соотношения материала используется модель несжимаемого неогуковского материала. Представлен анализ зависимости результирующих критических напряжений от начальных деформаций и параметров жесткости. В работе [18] исследуется изгиб трехслойной пластины, содержащей поверхностные и межфазные напряжения, рассмотрена теория пластин с деформациями сдвига первого порядка и модель поверхностных напряжений Гуртина-Мердока. Анализируется зависимость параметров жесткости пластины от модулей поверхностной упругости. В работе [19] рассматривается задача о неустойчивости трехслойной нелинейно-упругой прямоугольной пластины с предварительно напряженным средним слоем.

В настоящей работе исследуется влияние параметров материала пластины и параметра упругого основания на критические нагрузки потери устойчивости сжатой упругой прямоугольной ортотропной пластины на упругом основании.

Материалы и методы. Рассмотрим лежащую на линейно упругом основании ортотропную прямоугольную пластину, которая сжимается усилиями P и Q вдоль осей X и Y. Уравнения равновесия можно записать в виде [7]:

(1)

Краевые условия запишем в виде:

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь ν1, ν2, E1, E2, G — коэффициенты Пуассона, модули Юнга для главных направлений и модуль сдвига материала пластины; D1, D2 — жесткости изгиба по главным направлениям; Dk — жесткость кручения; функция W(X,Y) выражает прогиб, а F(X,Y) обозначает функцию напряжений; h — толщина пластины; KW — реакция основания; K — коэффициент постели; начало координат X, Y располагается в центре пластины и оси параллельны ее краям; — частная производная n-го порядка по переменной X. Мы полагаем, что края пластины свободно защемлены (2) или шарнирно оперты (3). При этом сжимающие усилия P и Q равномерно распределены по краям X = ±a/2 и Y = ±b /2 соответственно. Рассматриваются также случаи, когда два параллельных края пластины Y = ±b /2 свободны от нагрузок, а два других свободно защемлены (4) или шарнирно оперты (5). В этих случаях сжимающая нагрузка приложена только к краям X = ±a/2.

Положим. Тогда для функции Φ справедливы однородные краевые условия ΦXY = ΦYY = 0 при |X| = a/2. ΦXY = ΦXX = 0 при |Y| = b/2. Эти условия можно заменить на эквивалентные краевые условия Φ = ΦX = 0 при |X| = a/2. Φ = ΦY = 0 при |Y| = b/2. Перейдем к безразмерным переменным по формулам:

Тогда систему уравнений (1) и краевые условия (2), (3) можно переписать в виде:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

При любых значениях параметров k, p, q нелинейной краевой задаче (6) с любым из условий (7)–(10) удовлетворяет тривиальное решение

Обозначим через E2 множество вектор-функций f = (f1, f2) с конечной нормой, которая определяется с помощью скалярного произведения:

(11)

Через E1 обозначим пространство бесконечно дифференцируемых в области вектор-функций , которые удовлетворяют на границе области одному из краевых условий (5) или (6). Норму в E1 определим с помощью скалярного произведения:

(12)

Краевая задача (6) с одним из краевых условий (7)–(10) может быть рассмотрена как нелинейное операторное уравнение:

(13)

где

(14)

Здесь M0 — линейный, а П — нелинейный операторы, так как:

Из результатов работ И. И. Воровича и Н. Ф. Морозова следует [9], что операторы M0 и П действуют из пространства E1 в E2. Пусть k = 0, p = 0, q = 0. Тогда уравнение (9) имеет единственное тривиальное решение. При малых изменениях величин параметров p, q и k тривиальное решение остается единственным. Если при любых малых значениях числа ε > 0 и фиксированном значении k существуют значения параметров p, q, которые удовлетворяют неравенству и для которых существуют хотя бы два решения уравнения (9), то точку (p0, q0,) называют точкой ветвления (или точкой бифуркации) [9] этого уравнения. В работе [9] показано, что для нахождения точки бифуркации (p0, q0) надо решить краевую задачу на собственные значения, которая представляет собой линеаризованное на тривиальном решении уравнение:

(15)

Собственные значения (p0, q0,) являются критическими значениями параметров сжимающей нагрузки (p, q). Учитывая (13) и (14), уравнение (15) можно записать как следующую краевую задачу на собственные значения: найти такие значения параметра p, что для фиксированных значений параметра основания (коэффициента постели) k и параметра q нагрузки вдоль оси y, следующая задача имеет нетривиальное решение:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

При этом критическому значению потери устойчивости сжатой пластины отвечает минимальное собственное значение параметра p, а соответствующая этому значению собственная функция показывает форму равновесия после потери устойчивости. Для случая шарнирного опирания краев (18) для уравнения (16) можно записать точные решения:

(21)

где m и n произвольные натуральные числа.

Из анализа формул (21) следует, что при различных отношениях длин краев пластины δ, физических параметров ортотропности материала пластины c3, c2, параметра q сжимающей нагрузки по оси y, и коэффициента постели k (характеризующего реакцию основания) критическому значению нагрузки может соответствовать одна или несколько полуволн в форме равновесия (21). При этом возможно так называемое выпучивание по двум собственным формам, когда, например, . Ниже приводятся такие случаи. Для решения задачи (16) с краевыми условиями свободного защемления краев (17) применяется вариационный метод в сочетании с конечно-разностным методом, который был обоснован в работах [9][10] и легко переносится на случай ортотропной пластины. При этом разработанная для этой задачи компьютерная программа тестировалась на решении задачи (16), (18).

Кроме этого, разработана компьютерная программа решения вариационным методом в сочетании с конечно- разностным методом задачи (16) с каждым из краевых условий (19), (20). Для этих случаев были сконструированы тестовые примеры соответствующих краевых задач.

В работе [7] в задаче об асимптотическом интегрировании уравнения малых колебаний длинной (b << a) прямоугольной ортотропной пластины построено разложение решения по степеням малого параметра δ = b/a и показано, что главный член разложения определяется из уравнения колебаний балки с модулем упругости E = E1. Повторяя рассуждения работ [7] и [10] будем искать решение задачи (16) с краевыми условиями (19) или (20) в виде рядов:

(22)

Можно показать, что главный член асимптотического разложения (22) решения задачи (16) с краевыми условиями (19) или (20) определяется из задачи в безразмерных переменных о критических нагрузках сжатой упругой балки на упругом основании со свободно защемленными или подвижно шарнирно опертыми краями:

(23)

(24)

(25)

Здесь штрихом обозначена обыкновенная производная функции, зависящей от переменной x. Можно построить алгоритм определения всех коэффициентов слагаемых разложений (22), но авторы не будут этого делать в данной работе.

При переходе к размерным переменным из (23)–(25) получаем задачу о критических нагрузках сжатой балки с модулем упругости E = E1. Задача на собственные значения (23) с краевыми условиями (25) имеет точное решение:

(26)

В случае краевых условий (24) задача (23) решается вариационно-разностным методом.

Результаты исследования. Проведены численные расчеты критических значений параметра нагрузки p, сжимающей вдоль направления оси x при фиксированных значениях коэффициента постели k, и фиксированных значениях параметра нагрузки q, сжимающей вдоль направления оси y и заданных значениях параметров ортотропии материала пластины. Построены соответствующие критическим нагрузкам формы равновесия пластины.

Пример 1. Рассмотрим пример квадратной ортотропной пластины из работы [16] «фанера первого типа» — трехслойная фанера: если направить ось x вдоль волокон рубашки (верхнего и нижнего из трех слоёв), то модули Юнга вдоль волокон и поперек соответственно равны ; коэффициенты Пуассона — ν1 = 0,46 и ν2 = 0,46 /12; модуль сдвига для главных направлений упругости . Тогда для задачи в безразмерных переменных (16) получим ;

учитывая приведенные выше формулы перехода к безразмерным переменным. Пусть края пластины шарнирно оперты. Тогда из (21) при k = 0, q = 8,193 следует

Этому критическому значению отвечают две формы равновесия

и

В таблице 1 приведены значения критической нагрузки p* потери устойчивости ортотропной пластины с защемленными краями, сжатой по оси x, для различных значений коэффициента постели k и различных значениях сжимающей нагрузки по оси y. Таблица 1 показывает, что при повышении значения коэффициента постели критическая нагрузка потери устойчивости сжатой ортотропной пластины также повышается.

Пример 2. Рассмотрим ту же ортотропную пластину из примера 1 и направим ось x поперек волокон рубашки. Тогда модули Юнга вдоль осей x и y соответственно равны

;

коэффициенты Пуассона — ν1 = 0,46 /12 и ν2 = 0,46; модуль сдвига для главных направлений упругости . Тогда для задачи в безразмерных переменных (12) получим

;

Пусть выполняются краевые условия (13) — края пластины свободно защемлены. В результате численных расчетов с помощью компьютерной программы решения задачи (12), (13) для данной ортотропной пластины построены зависимости между нагрузкой q по оси y и критическим значением p* нагрузки p по оси x при фиксированных значениях остальных параметров этой задачи. В таблице 2 приведены значения (q, p*) при k = 0.

Отметим, что всем шести точкам (q, p*) отвечает форма равновесия, постепенно трансформирующаяся от вида, представленного на рис. 1 а, до вида на рис. 1 в. На рис. 1 проиллюстрированы первая, третья и шестая собственные функции, соответствующие критическим точкам (q, p*) таблицы 1. Эти собственные функции показывают формы равновесия пластины после потери устойчивости (формы потери устойчивости).

В результате численных расчетов с помощью компьютерной программы решения краевой задачи (16), (17) для данной ортотропной пластины найдены значения параметров k = 200, q = 0 при которых собственному значению p* = 255,6 отвечают две собственные функции w1 и w2. Этот случай соответствует потере устойчивости пластины по двум собственным формам. На рис. 2 представлены графики соответствующих этому случаю форм потери устойчивости.

Пример 3. Рассмотрим ортотропную пластину с параметрами

коэффициенты Пуассона — ν1 = 0,46 и ν2 = 0,46 /12; модуль сдвига для главных направлений упругости . Пусть длина пластины a = 5, ширина b = 1, края — защемлены, а края свободны, параметр (пластину можно считать длинной), коэффициент постели k = 350. Численный расчет решения задачи (16) с краевыми условиями (17) дает значение критической нагрузки p = 37,42, график соответствующей собственной функции представлен на рис. 3 a. Численный расчет решения задачи (23), (24) при ν1 = 0,46 и k = 350 для балки длиной a = 5 дает p0 = 39,01, при этом собственная функция имеет вид, представленный на рис. 3 б. Как видим, критическая нагрузка потери устойчивости пластины совпадает с критической нагрузкой балки с погрешностью . Собственные функции задач (16), (17) и (23), (24) имеют одинаковое число полуволн.

Обсуждение и заключения. Исследована задача о критических нагрузках сжатой в двух направлениях ортотропной пластины, лежащей на упругом основании. Задача сведена к решению параметрической линейной краевой задачи на собственные значения. В случае краевых условий подвижного шарнирного опирания приведены точные формулы собственных значений и собственных функций, а в случае свободного защемления краев применен вариационный метод в сочетании с конечно-разностным методом и построена компьютерная программа решения задачи. Получены следующие выводы: