Введение. Рациональные методы подтверждения заданных уровней надежности актуальны для экспериментальной отработки сложной технической системы, когда принимается решение о возможности ее испытания в составе более крупной структуры или о завершении экспериментальной отработки и начале серийного производства. Такие же задачи возникают и при серийном производстве, если нужно:

Цель работы — получить приемлемое решение для планирования и сокращения объема испытаний с помощью методов интервального оценивания показателей надежности последовательных технических систем.

Для реализации заявленной цели необходимо определить, принимается или отклоняется гипотеза Но.

Материалы и методы. Задачу подтверждения требований целесообразно формулировать в терминах теории проверки статистических гипотез [1–4]. Пусть Р — надежность технической системы, РТ — некоторый фиксируемый (требуемый) уровень для Р. До проведения испытаний относительно Р можно выдвинуть три исходных предположения: 

Каждое из них называется нулевой гипотезой, если записано виде:

Множество содержит лишь один элемент, поэтому гипотеза называется простой. Гипотезы вида и называются сложными. Наряду с нулевой гипотезой, выражающей заранее сформулированную точку зрения, задают альтернативную гипотезу Н, выражающую противоположное высказывание Задействуем понятийный аппарат теории информации [1], вероятности и статистики, применимый к решению подобных задач. Рассмотрим две совокупности множеств Но и Н:

Гипотезу Но в (1) будем называть жесткой, или гипотезой недоверия. Действительно, в случае (1) первоначально (до испытания) исходят из позиции недоверия к уровню качества системы. Показатель надежности Р принимается не выше некоторого фиксируемого уровня Р’Т . Гипотезу Но в (2) будем называть гипотезой доверия, так как в этом случае первоначально исходят из положения, что показатель надежности Р не меньше некоторого фиксируемого значения РТ.

Смысл величин Р’Т и РТ различен. В (1) Р’Т — такое браковочное значение, что при Р Р’Т система считается неприемлемой. В (2) РТ — такое значение, что при Р Р’Т система считается приемлемой для использования. Очевидно, что РТ>Р’Т.

Результаты исследования. Итак, необходимо определить, принимается или отклоняется гипотеза Но. В теории статистических гипотез для этого по результатам испытаний строится критическая область. Она описывается некоторым неравенством. Причем нулевой гипотезы (вследствие исходного доверия к ней) придерживаются до тех пор, пока это разумно с точки зрения принятого уровня значимости α. Поэтому заранее ясно, что процедура контроля надежности в случае (1) будет существенно отличаться по сравнению со случаем (2).

Действительно, далее убедимся, что для отклонения гипотезы Но в (1) и принятия гипотезы о выполнении требования к показателям надежности следует использовать критическую область (или условие):

(3)

где — нижняя граница доверительного интервала для Р при значении доверительной вероятности γ = 1 – α; — нижняя граница браковочного интервала для Р при значении доверительной вероятности γ = 1 – α.

В случае (2) для принятия гипотезы Но о соответствии значения параметра Р предъявляемому требованию следует использовать условие:

(4)

где — верхняя граница доверительного интервала для Р при значении доверительной вероятности γ = 1 – α.

В (3) и (4) под требованием к показателю надежности одного параметра Р понимается совокупность величин или  задаваемых до проведения испытаний.

Пусть в условиях схемы Бернулли проведено одно успешное испытание. Тогда, используя соотношения Клоппера — Пирсона, находим нижнюю и верхнюю границы одного параметра при значении, например, γ = 0,95:

При этом даже для весьма умеренных значений условие (3) не выполняется, в то время как (4) выполняется при любом РТ. Покажем справедливость принятого положения.

Первое положение. Если допустимо использование нулевой гипотезы доверия при альтернативе , то для подтверждения требований к показателю надежности одного параметра при любых достаточно одного безотказного испытания.

Если исходная гипотеза Но — это гипотеза недоверия из (1), то необходимо существенно большее число испытаний. Так, при m = 0, получаем  Это вполне справедливо, т. к. при проверке гипотез первоначально исходят из справедливости нулевой гипотезы Но.

На этапе экспериментальной отработки нет достаточно полных данных о технической системе, поэтому целесообразно использовать правило контроля (3). На этапе серийного производства можно исходить из гипотезы доверия и использовать существенно более легкое правило контроля (4). Это допустимо, если, по данным экспериментальной отработки, условие (3) оказалось выполненным.

Рассмотрим систему, состоящую из N независимых последовательно соединенных элементов, которые могут испытываться отдельно. Тогда вероятность успешного исхода при испытании технических систем:

(5)

Здесь Рi — вероятность того же события для i-го элемента. К величине Р заданы требования в виде совокупности значений . Нужно спланировать процедуру контроля надежности одного параметра для каждого элемента системы, т. е. задать , пару

Вследствие перемножения Рi в формуле (5) должно выполняться соотношение . Кроме того, γ=γi.

В результате требуемый объем испытаний ni каждого элемента резко возрастает и даже при безотказных исходах всех испытаний становится неприемлемым. При

Такому способу планирования логически противоречит неравенство , следующее из при mi = 0. Понятно, что при безотказных исходах требуемый объем испытаний nоi i-го элемента, проводимых отдельно от системы, должен быть равен требуемому объему испытаний системы nо. Во избежание этого противоречия следует использовать теоремы А. Д. Соловьева и Р. А. Мирного [5–7]. Итак, при m = 0,

Здесь — нижняя граница доверительного интервала для показателя надежности технической системы по одному параметру, при значении γ доверительной вероятности; i — значение нижней границы доверительного интервала для показателя надежности i-го элемента системы при той же доверительной вероятности; n — минимальное число испытаний элементов системы; f (n, 0, γ) — корень уравнения Клоппера — Пирсона:

Во всех упомянутых случаях (9) не перемножаются нижние границы, а система вырождается в один слабейший элемент. Это позволяет подтвердить следующее положение.

Второе положение. Рассмотрим последовательную систему с N независимыми элементами, которые испытываются отдельно от системы по схеме Бернулли для одного параметра. Требования, задаваемые к системе в виде совокупности величин ( Т, γ) , и требования к любому ее элементу ( Тi, γ)  совпадают, если планируемый исход испытаний соответствует упомянутым случаям выполнения соотношения (9), а нулевая альтернативная гипотеза выбирается, исходя из (1) и (2).

Следствие. В случае (3) выполнение (9) — планируемый объем безотказных испытаний (N – 1) элементов определяется из:

Отсюда:

Соотношения (10) и (15) позволяют планировать необходимый объем испытаний i-го элемента технической системы при определенной последовательности экспериментальной отработки системы. Весь процесс экспериментальной отработки делится условно на два периода: поиск и подтверждение требований надежности для решения о переходе к следующему этапу испытаний или о принятии технической системы к серийному производству. В первом периоде возможны доработки, и целесообразно использовать модели с переменной вероятностью Р успешного исхода испытания системы.

Данные, полученные в первом периоде, могут использоваться для расчета величины РН. Во втором периоде имеем дело с установившимся вариантом конструкции технической системы и технологического процесса. Это позволяет использовать рассмотренные выше модели испытаний биномиального типа с постоянной вероятностью Р.

Пусть первый период отработки N элементов технической системы закончен и ставится вопрос о подтверждении требований к показателю надежности системы по одному параметру. Целесообразно подтвердить надежность, если положительное решение принимается только в случае безотказного исхода испытаний последней серии для каждого из N элементов. Эта стратегия удобна тем, что она основана на минимально возможном числе испытаний элементов технической системы и допускает простые аналитические решения (10) и (15).

В общем случае есть смысл исследовать стратегию, допускающую отказы элементов при проведении испытаний и основанную на оптимизации некоторой целевой функции. Но здесь ограничимся рассмотрением лишь упомянутой стратегии с безотказными заключительными сериями.

Обсуждение и заключения. Результаты научных изысканий позволили сформулировать приведенные ниже выводы.

1. Даже при большом числе N элементов системы возможно планирование объема их испытаний. В этом случае методы интервального оценивания показателей надежности последовательных технических систем позволяют получить приемлемое решение, однако только по одному параметру.

2. Стратегия экспериментальной отработки технических систем тесно связана с методом подтверждения надежности элементов. Рациональная стратегия экспериментальной отработки предусматривает после поискового периода подтверждение надежности элементов заключительной серией безотказных испытаний. В этом случае планируемый объем испытаний каждого из N элементов не зависит от N и определяется по соотношению (15), в которое входят требования (Т, γ) к показателям надежности одного параметра технической системы в целом и РН. Получаемый по (15) объем испытаний каждого элемента технической системы при любом их числе невелик, если на систему из N элементов заданы умеренные требования (Т = 0,80 …0,95; γ = 0,90 … 0,95), однако только по одному параметру. При этом объем убывает с ростом величины РН.

3. В серийном производстве при испытаниях модернизированных технических систем можно использовать метод контроля со сменой нулевой и альтернативной гипотез. Если допустимо использование нулевой гипотезы доверия, то для подтверждения требований к показателю надежности достаточно одного безотказного испытания.