Введение. Мобильные роботы (или всенаправленные платформы), способные осуществлять движение в любом направлении, широко применяются в военной, медицинской, образовательной и промышленной областях человеческой деятельности [1][2]. Возможность всенаправленного движения может быть достигнута за счет оснащения мобильной платформы омни-колёсами различного вида (меканум-колёса, классические омни-колёса). Для обеспечения высокой точности позиционирования всенаправленных платформ требуется разработать их детальные математические модели, используемые при построении системы управления движением. Необходимость обеспечения высокой точности движения связана с потребностью обеспечить автономное функционирование всенаправленных платформ.

Зачастую при математическом моделировании кинематики меканум-колёс принимаются допущения, упрощающие описание движения таких колёс, об этом, например, идет речь в [3–5]. Так, в работах [3][4] рассматривается динамика меканум-платформы с учетом сил сухого трения качения и условий непроскальзывания точек контакта, выражающихся неголономными связями. А в статье [5] отмечается, что интерес представляет исследование влияния конечных линейных размеров роликов и вибраций, связанных с этим эффектом, на динамику меканум-платформы.

Актуальными направлениями исследований всенаправленных колёс являются моделирование влияния конструкции роликов меканум-колёс и оптимизация формы роликов [6–9]. Необходимость оптимизации формы роликов связана с тем, что при некоторых формах роликов омни-колёс могут возникать вертикальные вибрации точек контакта при движении всенаправленных платформ (подробнее см. в обзоре патентов [10]).

Другим фактором, существенно влияющим на точность позиционирования меканум-платформы, является проскальзывание точек контакта меканум-колёс с опорной поверхностью. Одним из способов учета проскальзывания точек контакта при описании кинематики является использование допущения, что скорость скольжения пропорциональна произведению угловой скорости вращения колеса и радиуса меканум-колеса, причем коэффициент пропорциональности считается постоянным [11][12]. Это допущение позволяет свести уравнения кинематики к задаче с неголономными связями. Однако результаты экспериментов показывают, что указанный коэффициент изменяется при движении платформы [13][14].

Стоит отметить, что из-за непростой конструкции меканум-колёс при построении меканум-платформ могут возникать различные погрешности изготовления, в том числе погрешность установки меканум-колёс на платформу, малые отклонения формы роликов и др. Влияние погрешностей установки меканум-колес на точность движения платформы ранее не исследовалось. В рамках данной работы будет исследовано влияние неточностей установки меканум-колёс на точность позиционирования всенаправленной платформы и её кинематику.

Для достижения поставленной в статье цели, то есть для оценки ошибок позиционирования, возникающих из-за конструкционных погрешностей в установке меканум-колёс, и анализа их влияния на точность движения всенаправленной меканум-платформы, необходимо построить математическую модель движения такой платформы с учетом конструкционных погрешностей в установке меканум-колёс. Полученная математическая модель позволит исследовать их влияние на точность позиционирования мобильной платформы. Эта модель может быть применена для формирования управления, компенсирующего погрешности позиционирования платформы.

Материалы и методы. Описание конструкции робота. Как основа для данного исследования рассматривается модель робота в виде прямоугольной платформы с четырьмя меканум-колёсами при его движении по горизонтальной плоскости (рис. 1). При этом учитываются погрешности, связанные с неортогональностью осей вращения колёс и продольной оси платформы.

Для описания кинематики робота вводится подвижная система координат , связанная с платформой робота и началом в геометрическом центре платформы.

При математическом моделировании используются следующие обозначения:

— половина расстояния между осями колёсных пар (при ортогональных осях колёс);

— половина ширины платформы;

и — абсцисса и ордината точк и крепления привода i-го колеса к платформе;

— геометрический центр i-го меканум-колеса;

— продольная и поперечная скорости геометрического центра платформы;

— длина вала привода;

— угловая скорость верчения платформы;

— угол между осью и осью вращения i-го колеса (параллельной вектору ) (рис. 1).

Номера колёс платформы указаны на схеме на рис. 1, а эллипсами на колёсах показано расположение контактирующих роликов каждого колеса.

Описание метода построения кинематической модели. Движение платформы будем описывать в рамках неголономной постановки задачи, используя упрощенную модель меканум-колёс: колесо моделируется диском радиусом , а точка контакта может проскальзывать относительно направления, перпендикулярного оси контактирующего ролика. При этом в случае отсутствия погрешности в расположении осей колёс существует связь между угловыми скоростями вращения колёс вокруг собственной оси и скоростями платформы [15]:

(1)

где — угол между направлением оси контактирующего ролика и плоскостью меканум-колеса.

Для исследования влияния конструкционных погрешностей необходимо описать зависимость между угловыми скоростями колёс и скоростями платформы при учете погрешностей, связанных с расположением осей колёс. Параметры конструкции платформы и расположения колёс приведены в таблице 1.

Здесь

— угол, характеризующий неортогональность осей колёс и продольной оси платформы ;

— проекция вектора на собственную ось вращения i-го колеса.

Результаты исследования. Описывая кинематику меканум-платформы в рамках неголономной механики, как это было сделано в работах [3–5], при отсутствии конструкционных погрешностей (), определяем условие непроскальзывания точки контакта вдоль оси контактирующего ролика:

(2)

где — проекции скорости точки контакта i-го колеса с опорной поверхностью, которые определяются из векторного уравнения:

(3)

Здесь

— вектор скорости точки контакта i-го колеса с опорной поверхностью в проекциях на оси подвижной системы координат ;

— вектор скорости геометрического центра платформы в проекциях на оси ;

— вектор угловой скорости платформы в проекциях на оси ;

— радиус-вектор, соединяющий геометрические центры платформы и i-го колеса , в проекциях на оси ;

— вектор угловой скорости в проекциях на оси ;

— радиус-вектор, соединяющий геометрический центр i-го колеса и точку контакта ролика .

Переписывая векторное уравнение (3) и используя кососимметрические матрицы для вычисления векторных произведений, перепишем уравнение (3) в матричной форме:

(4)

После проведения вычислений:

(5)

После переноса параметров платформы из таблицы 1 в уравнения связей (2) с учетом (5) их можно представить в виде:

(6)

Отметим, что в при отсутствии погрешностей крепления осей двигателей колёс уравнения (6) принимают вид:

(7)

И совпадают с известными результатами [6].

В матричной форме уравнения (6) и (7) можно представить в виде:

(8)

(9)

где

— вектор псевдоскоростей платформы;

— вектор угловых скоростей колёс;

— матрица коэффициентов при псевдоскоростях в уравнениях (6); а

.

При формировании управления на кинематическом уровне по желаемым значениям псевдоскоростей платформы рассчитываются значения угловых скоростей платформы по формуле.

(10)

где верхний индекс d указывает на желаемые (программные) значения скоростей. Полученные значения угловых скоростей подаются на вход системе управления двигателями колёс.

Однако при наличии неточностей крепления осей двигателей колёс по результатам отработки программных значений угловых скоростей колёс будет реализовано движение платформы в виде:

(11)

По найденному выражению можно оценить погрешность отработки программного движения платформы, обусловленную наличием неточностей крепления осей двигателей колёс, по формуле:

(12)

где — единичная матрица порядка 3.

Поскольку псевдоскорости платформы связаны с координатами геометрического центра в неподвижной системе отсчета соотношениями [15],

(13)

то, учитывая погрешности псевдоскоростей, можно переписать указанные выражения в виде:

(14)

где

, — законы изменения скоростей геометрического центра платформы в неподвижной системе отсчета, соответствующие программному движению;

— закон изменения угла курса платформы, соответствующий программному движению;

— погрешность угла курса.

С учетом введенных обозначений получим формулы для ошибок позиционирования в виде:

(15)

В качестве числового примера для оценки погрешностей рассмотрим параметры робота KUKA youBot [16]:

В качестве примера примем погрешности крепления осей двигателей колёс равными

Ниже приведем результаты расчета погрешностей скоростей платформы при простых движениях платформы. В качестве примеров простых движений платформы рассмотрим:

Погрешности псевдоскоростей платформы при указанных движениях рассчитаем по формулам (12):

;

;

.

Полученные значения погрешностей псевдоскоростей являются значительными для мобильных роботов с меканум-колёсами, поскольку приводят к отклонениям по координатам порядка 10 см за 2 минуты движения робота. Это делает недопустимым функционирование меканум-платформы в автономном режиме в случае отсутствия компенсации указанных погрешностей позиционирования. Отметим, что наличие ненулевой погрешности угловой скорости вращения платформы приводит к нелинейному росту ошибки позиционирования платформы (формулы (15)) при рассмотрении управления на кинематическом уровне.

Данные результаты позволяют сделать вывод о необходимости учета неточностей крепления осей колёс при построении системы управления. Отметим, что, поскольку погрешности крепления осей двигателей колёс являются неизвестными величинами, то для их определения требуется разрабатывать методики идентификации параметров математической модели движения робота [16].

Применение разработанной кинематической модели меканум-платформы, учитывающей неточности крепления осей двигателей колёс, даст возможность построить управление на кинематическом уровне с большей точностью позиционирования.

Таким образом, в рамках данной работы представлена модель кинематики мобильной платформы с меканум-колёсами при наличии погрешности установки осей двигателей колёс. Получена формула для оценки погрешностей псевдоскоростей платформы при программном управлении, формируемом на кинематическом уровне. Проведены оценки погрешностей отработки программного движения для простых движений меканум-платформы (движение вперед, боковое движение влево и вращение на месте).

Обсуждение и заключение. Полученная кинематическая модель мобильной платформы с меканум-колёсами может быть использована для повышения точности позиционирования за счет формирования управления движением платформы, компенсирующего влияние неточностей установки колёс. Для использования полученной модели в задачах управления меканум-платформой необходимо разработать в будущем методики идентификации параметров математической модели.

В качестве направления для дальнейших исследований в этой области можно назвать разработку математической модели динамики меканум-платформы с учетом погрешностей установки осей двигателей колёс.