Введение. Лопатки турбины являются наиболее высоконагруженными деталями газотурбинного двигателя, долговечность которых главным образом определяет межремонтный ресурс двигателя [1]. Одним из путей повышения долговечности лопаток турбин является нанесение специальных защитных покрытий на их поверхности [2]. Покрытие представляет собой сложную композитную конструкцию, для выбора материалов которой и определения оптимальных геометрических характеристик необходимо знать условия эксплуатации детали: распределение температур, давлений и сдвиговых напряжений на поверхности лопатки.

К форме лопаток, а также к выбору материалов, технологии их изготовления и специальных покрытий предъявляются самые высокие требования [3]. При проектировании специальных покрытий основной исходной информацией является геометрический профиль поверхности детали, поскольку на его основе задаются параметры технологического процесса нанесения покрытия.

Среди характерных элементов профиля можно выделить: хорду — расстояние между наиболее удаленными точками при горизонтальном расположении лопатки, подобно крылу самолета, спинку (suction side) — верхнюю часть профиля, корытце (pressure side) — нижнюю часть профиля, входные и выходные кромки [4]. Выбор формы профиля сечения лопаток производится как на основе экспериментальных исследований опытных установок и реальных двигателей [5], так и по результатам численных экспериментов на моделях [6]. В процессе численного моделирования возникает задача создания геометрической модели лопатки на основании заданного профиля сечения и передачи ее в соответствующую CAD/CAM-систему [7] или пакет инженерного анализа [8], в котором задаются параметры физических свойств материалов деталей, определяются граничные условия задачи и осуществляются вычисления.

Традиционно при создании чертежа лопатки ее профиль описывается набором дуг окружностей, который затем по точкам передается в модуль создания геометрической модели и генерации сетки конечных элементов. Недостаток данного подхода состоит в том, что при создании каждой новой модели приходится вручную создавать в графическом редакторе ее профиль. В этой связи были предложены методы параметрического моделирования профиля сечения лопатки, позволяющие автоматизировать данную операцию. Одной из наиболее известных таких моделей является девятипараметрическая модель RATD (Rapid Axial Turbine Designe), предложенная в работе [9]. Вместе с тем практика использования RATD выявила и определенные недостатки, свойственные данной модели, в частности неудобство использования при оптимизации геометрии профиля, а также недостаточную точность. На этом основании авторами [10] была предложена модифицированная версия данной модели, включающая в себя большее число параметров. В отечественной практике также активно используются методы параметрического моделирования профилей сечения лопаток. Так, в работах [11][12] были предложены алгоритмы автоматизированного построения профиля лопаток с использованием аппроксимации кривыми из набора парабол и кривыми Bezier второго порядка. В работе [13] на основе данных алгоритмов предложена методика проектирования решетки профилей ГТД. Использование параметрических моделей профилей лопаток при решении задач оптимизации рассматривалось авторами в [14][15].

Вместе с тем следует отметить, что существующие методики параметризации профиля лопаток не лишены ряда недостатков. Основной недостаток традиционных схем параметризации профиля лопаток, основанных на использовании кривых второго порядка, состоит в том, что для обеспечения точности описания приходится использовать различные функции для разных частей детали. При этом данные функции не образуют ортогональную систему, а значения параметров, определяемых аппроксимацией существующего профиля методом наименьших квадратов, оказываются скоррелированными. Это приводит к тому, что не удается построить непрерывного отображения для множества параметров при аппроксимации системой сечений трехмерной поверхности лопатки двойной кривизны.

Также необходимо отметить, что универсальной методики параметрического моделирования профилей лопаток ГТД в настоящий момент не существует, а выбор конкретной методики зависит как от целей моделирования, так и от особенностей конкретного типа проектируемого двигателя. Вместе с тем формы входной информации могут существенно различаться. Это может быть и геометрическая модель в виде файла в формате одной из CAD-систем, и просто набор точек из базы данных профилей типа [16].

Таким образом, дополнительным требованием к методике параметрического моделирования профиля лопаток, обусловленным назначением модели, является универсальность по отношению к формату исходных данных.

Целью настоящей работы явилось создание методики аппроксимации профиля лопаток ГТД, свободной от вышеперечисленных недостатков и удобной для использования при последующем анализе условий работы специальных покрытий поверхности лопаток, что продемонстрировано на примере решения задачи газовой динамики для трех различных моделей лопаток, профиль которых параметризован с применением предлагаемой методики.

Материалы и методы. Авторами использован вариант параметрических моделей профиля лопаток, основанный на использовании ортогональных полиномов Лежандра [17]. Для автоматизированной обработки исходных профилей было создано приложение на языке Python, позволяющее вычислять коэффициенты аппроксимирующих полиномов для линий контура лопатки, визуализировать результаты расчета в форме графиков исходных точек и аппроксимационных кривых для спинки и корытца лопатки, сохранять исходные точки профиля, массив коэффициентов аппроксимирующих полиномов и коэффициент детерминации модели в базе данных и создавать по точкам аппроксимирующих функций dxf-файл для передачи его в CAD-систему и пакет инженерного анализа.

Построенные двумерные геометрические модели лопаток использовали для решения задачи обтекания лопатки стационарным аэродинамическим потоком в приближении потенциального обтекания. Вычисленные в результате решения этой задачи распределения скоростей в потоке использовали при исследовании влияния профиля лопатки на ее остывание в аэродинамическом потоке.

Методика расчета. Системы ортогональных многочленов, используемые в качестве основы предлагаемого метода, обеспечивают линейную независимость коэффициентов аппроксимации и лишены недостатка, приводящего к затруднениям при построении моделей, непрерывных по параметрам. Степень полиномов выбрана достаточно высокой — девятого порядка, так что набор из двух полиномов для двух частей профиля (спинки и корытца) составляет двадцать параметров, что является достаточным для аппроксимации весьма сложных профилей. Ниже описаны вид аппроксимирующей функции и методика вычисления оценок ее коэффициентов.

Обозначим аппроксимирующую линию профиля лопатки посредством функции y(x). Выражение данной линии в случае ряда полиномов Лежандра девятой степени представим в виде:

 (1)

где ai — коэффициенты, являющиеся параметрами модели; Li(x) — полиномы Лежандра, вычисляемые по формулам:

(2)

Пусть координаты исходного профиля лопатки заданы набором точек  Подставляя значения xi в функции (2), получим матрицу X размером N × 10. Коэффициенты аппроксимирующего полинома для заданных профилей лопаток находили методом наименьших квадратов из условия минимума суммы квадратов отклонений заданных значений  и рассчитанных по уравнению регрессии (1):

(3)

Оценки коэффициентов  вычисляли с помощью известной формулы регрессионного анализа:

(4)

где a — обозначение для вектора оценок коэффициентов; y — для вектора точек заданного профиля 

Точность аппроксимации оценивалась по коэффициенту детерминированности модели (коэффициент детерминации R2), который при хорошей аппроксимации должен быть близким к единице:

(5)

где  — среднее значение 

В конструкторской практике принято входную и выходную кромки контура лопаток описывать радиусами окружностей. В связи с этим в данной работе рассматривались координаты точек аппроксимируемых профилей между дугами окружностей входной и выходной кромок. Для целей аппроксимации расположение контура рассматриваемой лопатки было принято горизонтальным, так, чтобы линия хорды лопатки совпадала с осью абсцисс декартовой системы координат. Для сохранения условия ортогональности моделей обязательным является нормировка размеров. В связи с этим все размеры нормировались на длину хорды лопатки, так что абсциссы точек профиля лежали в интервале 0,1. Это обеспечивало ортогональность функций (2) с коэффициентами, вычисленными по формулам (4).

Результаты исследования. В таблице 1 приведены коэффициенты аппроксимирующих полиномов для профилей лопаток, относящихся к разным типам ГТД: профиль лопатки компрессора С8626 [13], профиль NASA лопатки высокоэффективного ГТД высокого давления [18] и профиль лопатки-имитатора, использованной в работе [19] для исследования термической усталости теплозащитного покрытия, состоящего из двух металлических и керамического слоев.

На рис. 1 приведены исходные точки данных профилей и соответствующие аппроксимирующие линии

Как было указано выше, целью параметризации в настоящей работе является аппроксимация профиля непрерывной функцией с последующим моделированием распределения внешних параметров по поверхности лопатки. Для иллюстрации возможности решения данной задачи рассмотрим простую двумерную модель лопатки в стационарном аэродинамическом потоке, в приближении потенциального обтекания. В этом случае распределение скоростей потока v(x, y) описывается уравнением:

 (6)

где функция ψ находится из решения уравнения Лапласа:

(7)

которое в данном случае отвечает условию несжимаемости (∇ ∙ v = 0) и безвихревому потоку (∇ × v = 0).

Граничным условием для функции ψ будет являться равенство нулю скорости в нормальном направлении поверхности лопатки, что означает постоянство ψ на этой поверхности.

Обозначим линию профиля поверхности лопатки посредством S и будем искать решение уравнения (7) в области Ω, ограниченной внешней частью по отношению к S и внутренней частью по отношению к окружности C достаточно большого диаметра, по сравнению с длиной хорды лопатки, так что на поверхности C поток является однородным. То есть на границе области  заданы условия:

(8)

где  — вектор скорости однородного потока.

После вычисления скоростей можно вычислить распределение давлений по уравнению Бернулли:

(9)

где ρ — плотность газа; B — постоянная Бернулли, которую можно положить равной  где  — давление на бесконечном удалении от лопатки.

Вариационная постановка задачи (7) выглядит следующим образом:

(10)

Решение данной задачи осуществлялось методом конечных элементов. Для сравнения расчет был проведен для трех вариантов профилей лопаток, приведенных в таблице 1, с одной и той же длиной хорды l.

Полученные результаты использовались далее при решении задачи остывания лопатки в аэродинамическом потоке. Такая задача имеет смысл при термоциклических испытаниях покрытий на лопатках-имитаторах. В этом случае постановка задачи выглядела следующим образом:

(11)

где T — температура; t — время; κ — коэффициент температуропроводности.

Начальное распределение температуры:

(12)

было принято следующим: внутри лопатки постоянная температура 400 °С, температура окружающей среды 0 °С. Граничные условия отвечали отсутствию теплового потока на внешнем контуре C:

(13)

Распределение скоростей потока в задаче (11) вычислялось при решении задачи (10), при этом скорость на контуре C принята равной v = 10[l/c] (размерность длины в единицах длины хорды). Коэффициенты теплопроводности лопатки и газа приняты равными 0,1 и 0,01 [l2/c] соответственно.

Программный код для решения задач (10), (11) был написан на входном языке универсального конечно-элементного пакета FreeFem++ [20].

На рис. 2 приведены рассчитанные в результате решения задач (11), (12) распределения давления и температуры при остывании лопатки в течение 25 с. в аэродинамическом потоке для трех изученных профилей лопаток, представленных на рис. 1. В таблице 2 приведены вычисленные по ним значения минимальных относительных давлений вблизи поверхностей лопаток и максимальные температуры лопаток.

Обсуждение и заключение. Судя по данным, представленных в таблице 1, коэффициенты детерминации  для всех изученных профилей лопаток близки к единице несмотря на то, что формы профилей существенно различались. Это подтверждает хорошее качество аппроксимации и иллюстрируется также данными на рис. 1. Таким образом, предложенный метод позволяет с высокой точностью построить аппроксимирующие линии профилей лопаток для различных типов ГТД.

В работе также проиллюстрирована возможность использования аппроксимирующих функций при расчете распределения давлений и температур на поверхности лопатки на основании решения задачи газовой динамики. Далее данное распределение может быть использовано при оптимизации структуры специальных покрытий лопатки, например теплозащитных покрытий. Данные, представленные на рис. 2 и в таблице 2, подтверждают, что данная задача также может быть успешно решена. Характеры распределений давлений и температур для разных профилей лопаток имеют общие черты, но детальная картина различается. Видно в частности, что лопатка профиля [19], имеющая большую, по сравнению с остальными, площадь сечения, характеризуется большим значением относительного давления в зоне выходной кромки и меньшей скоростью остывания. Это иллюстрируется также данными, приведенными в таблице 2. Поскольку с точки зрения прочности адгезионной связи покрытия с подложкой наиболее опасными являются усилия, направленные нормально от поверхности лопатки, то актуальным является относительное минимальное давление вблизи поверхности, значения которого представлены в таблице 2. На основании полученного расчета можно обоснованно подойти к проектированию специального покрытия поверхности лопатки конкретного профиля: регулировать материалы и толщину покрытия в зависимости от степени нагруженности отдельных зон поверхности.

Заметим, что данные результаты расчетов представлены лишь в качестве иллюстрации возможностей предложенной методики аппроксимации профилей. Поэтому использованная в работе модель газовой динамики была достаточно упрощенной. В конкретной задаче необходимо использовать более строгую модель с параметрами, отвечающими заданному типу и режиму работы ГТД.

Таким образом, предлагаемая методика аппроксимации профиля лопатки ГТД, основанная на использовании ортогональных многочленов, является удобным инструментом, позволяющим автоматизировать создание геометрической модели лопатки и проводить сравнение различных типов и профилей лопаток, решая соответствующие задачи газовой динамики. При этом для заданного профиля лопаток и условий работы ГТД можно получить распределение температур и усилий, действующих на поверхности лопатки, что необходимо для прогнозирования долговечности специальных покрытий [21]. На основе данного расчета можно оптимизировать технологию нанесения покрытия, варьируя его толщину и/или состав, увеличивая коэффициент запаса долговечности в наиболее опасных областях.