Математическая модель. Опишем изменения концентраций компонентов в зависимости от времени реакций. Для этого используются уравнения химической кинетики, которые представляют собой систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (СОНДУ):

(1)

(2)

Здесь начальные условия: yi(0) = yi0 при τ = 0; τ ∊ [0, τ*]; yi — концентрации реагентов, молярные доли; τ — условное время контакта реакционной смеси с катализатором, кг∙мин/моль; J — количество стадий; I — количество веществ; νij — стехиометрическая матрица; wj — скорость j-й стадии, 1/мин или моль/(кг∙мин); kj, k–j — константы скоростей стадий (приведенные), 1/мин; aij — отрицательные элементы матрицы νij; bij — положительные элементы νij; Aj, A–j — предэкспоненциальные множители, 1/мин; Ej+, Ej– — энергии активации прямой и обратной реакций, ккал/моль; R — газовая постоянная, 2 кал/(моль∙K); T — температура, K; τ* — продолжительность реакции, кг∙мин/моль.

Модель каталитического гидрирования ПАУ учитывает динамику мольного состава и объема реакционной смеси. Следовательно, принимаются во внимание изменения концентрации компонентов в каждый момент времени [3]:

(3)

Для описания нестационарной реакции, которая происходит с изменением объема реакционной смеси, необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений в каждый момент времени. Прямая кинетическая задача представляет собой решение СОНДУ (1)–(3).

В процессе гидрирования полициклических ароматических углеводородов из исходных ароматических углеводородов получают нафтены, которые обладают более высокой плотностью и могут использоваться в качестве топлива для реактивных ракет. С этой целью применяются никелевые катализаторы, а управляющим или варьируемым параметром является температура процесса, которая должна быть в пределах 200–500 К. Критерии оптимальности — максимизация выхода целевых нафтенов в конце реакции и максимизация конверсии исходного сырья.

Алгоритм исследования. Многокритериальная оптимизация — это выбор из множества альтернатив наилучшего решения с учетом нескольких критериев. Важность каждого из них определяется весом (приоритетом).

Допустим, f(x) — это целевая функция, а ограничения, заданные в виде равенств h1(x)…hm(x) и неравенств gm+1(x)…gp(x), представлены вектором-столбцом компонент x = [x1,…, xn]T в n-мерном Евклидовом пространстве.

Сформулируем задачу нелинейного программирования [5].

Оптимизировать

(4)

при m линейных или нелинейных ограничениях в виде равенств:

(5)

и при (p – m) линейных или нелинейных ограничениях в виде неравенств:

(6)

Декомпозиция (4)–(6) представляет собой постановку и решение задачи линейного и квадратичного программирования. Каждая из них определяется видом уравнений (4)–(6). Так, в случае квадратичной функции (4) и линейных уравнений (5), (6) — это описанная ниже задача квадратичного программирования.

Определим экстремум функции

(7)

с ограничениями:

(8)

В уравнениях (7), (8) Q — неотрицательно определенная квадратичная симметричная матрица; a, b, c — матрицы коэффициентов.

При постановке многокритериальной Паретовой задачи оптимизации (4)–(6) будет иметь вид:

(9)

В уравнении (9)  — вектор-функция критериев оптимальности f1 и f2. Множество x* — искомое решение задачи в области параметров варьирования. Множество F* представляет собой искомое решение задачи в области критериев оптимальности, неулучшаемое в смысле аппроксимации Парето. Тогда x* определяет множество Парето, F* — фронт Парето.

Для решения (9) применили априорные и апостериорные алгоритмы аппроксимации Парето. Один из них — метод идеальной точки, которая представляет собой лучшее решение по всем критериям [6]. Чтобы ее найти, нужно сначала определить минимальные и максимальные значения каждого критерия всех рассматриваемых решений. Затем для каждого критерия выбирается максимальное значение из всех минимальных и минимальное из всех максимальных.

Однако у данного подхода есть недостатки. Во-первых, он может быть неэффективным, если идеальная точка находится вне области допустимых значений критериев. В таком случае используются другие методы решения задач многокритериальной оптимизации. Кроме того, метод идеальной точки не учитывает взаимосвязь между критериями и может привести к выбору компромиссного решения, которое не является оптимальным по всем критериям. Поэтому при использовании данного метода необходимо дополнительно анализировать и проверять оптимальность полученных решений [7].

В решении задач многокритериальной оптимизации используется также метод лексикографического упорядочивания. При этом критерии упорядочиваются по приоритету и рассматриваются последовательно. Если решения не могут быть отсортированы по первому критерию, то они сортируются по следующему критерию и т. д. [7]. Преимущества лексикографического упорядочивания — простота и прозрачность. С помощью этого метода можно получить единственное оптимальное решение, которое легко интерпретируется. Что касается недостатков, отметим, во-первых, невозможность учесть компромиссные решения, которые могут оказаться оптимальными по всем критериям. Во-вторых, есть риск выбора невыгодного решения, если первый критерий имеет большой вес, но не является самым важным для данной задачи [8].

В представленной работе приводится решение задачи многокритериальной оптимизации процесса гидрирования полициклических ароматических углеводородов с применением известного метода NSGA-II. Он основан на генетическом алгоритме и использует несколько техник для решения проблемы недоминирования [9]. Ниже описаны основные шаги алгоритма [10].

NSGA-II позволяет точно и оперативно работать с задачами многокритериальной оптимизации. Он эффективно решает проблему недоминирования, что позволяет получать оптимальные решения для всех критериев.

NSGA-II основан на генетическом алгоритме с отбором родителей и выживания. Особи выбираются по фронтам, при этом фронт разделяется, если не все особи могут выжить. Решения в разделенном фронте выбираются на основе расстояния между ними, которое является манхэттенским расстоянием в пространстве критериев [9]. Крайние точки сохраняются на каждом поколении и им присваивается условно бесконечное расстояние для использования в последующих итерациях [11] (рис. 1).

На рис. 1 — пример множества решений для задачи многокритериальной оптимизации с использованием критериев f1 и f2. Красные точки обозначают фронт Паретто. Показан расчет расстояния скопления для решения i — это средняя длина стороны кубоида, в котором находится решение i (отмечено синей рамкой).

Для усиления воздействия на отбор родителей NSGA-II использует двоичный турнирный отбор [9]. Каждая особь сначала сравнивается по рангу, а затем по расстоянию между ними.

Результаты исследования. Программа, реализующая алгоритм решения задачи многокритериальной оптимизации, написана на языке Python.

В ходе исследования решена система дифференциальных уравнений (1–3). Для реакции гидрирования полициклических ароматических углеводородов она имеет вид [12]:

При τ = 0; y1(0) = 0,025; y2(0) = 0,9; y6(0) = 0,067; y9(0) = 0,008; yi(0) = 0, I = 3–5,7,8,10–20; Q(0) = 1.

На рис. 2 приведено рассчитанное множество решений, удовлетворяющих ограничениям системы, и фронт Парето, где f1 — это выход целевых нафтенов, а f2 — конверсия исходного сырья.

Управляемый параметр — температура процесса [13]. Критерии оптимальности — максимизация выхода целевых нафтенов в конце реакции и максимизация конверсии исходного сырья [14]. Расчеты по предлагаемому алгоритму дали результаты соответствия критериев оптимальности и значений параметра температуры, которые обобщены в таблице 1.

Итак, при увеличении температуры выход целевых нафтенов увеличивается, а конверсия исходного сырья уменьшается. Каждое из этих решений является неулучшаемым, выбор конкретных значений зависит от лица, принимающего решение.

Для успешной работы NSGA-II необходимо правильно выбирать параметры алгоритма. В частности, следует оптимизировать критерии размера популяции, количества поколений, вероятности кроссинговера и мутации. При запуске алгоритма на модели процесса гидрирования полициклических ароматических углеводородов использовались следующие параметры: размер популяции — 100, количество поколений — 100. Недостаточно большая популяция может обусловить преждевременную сходимость алгоритма к локальному оптимуму. Слишком большая способна замедлить процесс оптимизации [15]. Чрезмерное количество поколений потенциально ведет к переобучению алгоритма, тогда как при недостаточном количестве поколений может не хватить времени для достижения оптимальных решений.

Обсуждение и заключение. Создана программа, реализующая алгоритм многокритериальной оптимизации NSGA-II. Работа с соответствующей задачей в рамках этого метода включает решение системы дифференциальных уравнений, визуализацию множества решений, удовлетворяющих ограничениям системы, и построение фронта Парето. Кроме того, найдены значения варьируемых параметров для достижения целей оптимизации. Для процесса гидрирования ПАУ на основе кинетической модели рассчитано множество значений температуры, оптимальных для получения неулучшаемых значений двух критериев оптимальности: выход нафтенов и конверсия исходного сырья. С повышением температуры растет скорость реакции и выход нафтенов. Однако уменьшается конверсия сырья. К тому же слишком высокие температуры могут стать причиной побочных реакций и разложения продуктов.

Данные, полученные в рамках представленной работы, могут быть полезны для оптимизации процесса гидрирования ПАУ в промышленных условиях. Важно учитывать влияние температуры на выход нафтенов и конверсию сырья при разработке стратегии производства. Кроме того, следует принимать во внимание и другие параметры, от которых зависит кинетика реакции. Это, например, давление, скорость потока реагентов и роль катализаторов.

Таким образом, разработанная программа и предложенный алгоритм позволяют проводить одновременный анализ нескольких критериев оптимальности процесса на основе кинетической модели и формировать множество неулучшаемых значений варьируемых параметров.