Введение. Механизмы с некруглыми зубчатыми колесами известны давно, однако их экспериментальные исследования и практическое внедрение долгое время были затруднены из-за узкой специализации таких механизмов, сложности и высокой стоимости их изготовления. В настоящий момент наблюдается повышение интереса исследователей к данной тематике. При этом большинство научных работ в области проектирования передач некруглыми зубчатыми колесами основано на анализе геометрии [1] и кинематики [2] с целью получения требуемой передаточной функции для практического применения [3]. В [4] и [5] разработаны и изучены механизмы для синтеза функций угловой скорости; исследователями предложена робототехника с некруглыми колесами, например, прыгающий робот [6], робот-гексапод [7], механизм экзоскелета для реабилитации коленного сустава [8]; исследованы с точки зрения кинематики [9] и динамики [10] более эффективные посадочные машины для сельскохозяйственной промышленности; разработаны и спроектированы многие другие устройства.

Обзор источников показал, что наиболее распространены зубчатые колеса с эллиптической центроидой [11][12]. Созданы машины [10] и устройства [4] с эллиптическими колесами, изучена геометрия [13], решены некоторые вопросы проектирования [14] и изготовления [15].

Эллиптические зубчатые колеса в основном применяются с целью передачи вращательного движения между параллельными неподвижными осями [16]. Однако такое использование некруглых колес позволяет получить лишь одностороннее неравномерное вращательное движение, что ограничивает сферу их применения. Планетарные передачи обладают более широкими возможностями для реализации сложных видов движения рабочих органов, а создание приводов на их основе позволит разработать и внедрить более эффективные и компактные машины различного технологического назначения.

По результатам анализа научной литературы в области передач некруглыми зубчатыми колесами в качестве объекта исследования предлагается планетарный механизм с эллиптическими колесами. Цель работы состоит в экспериментальном кинематическом анализе планетарной передачи и обосновывается необходимостью верификации теоретических положений для их корректного использования на следующих этапах проектирования — при динамическом, силовом анализе и расчетах на прочность.

Материалы и методы. Кинематическая модель механизма строится на основе плана скоростей его звеньев (рис. 1).

Аналог угловой скорости выходного вала определяется следующим образом [17]:

(1)

Отрезки BD, BC и DE определяются через полярное уравнение эллипса [17]:

(2)

где φ — угол поворота; e и a — эксцентриситет и большая полуось эллипса.

Определим радиусы зацепления колес 5 и 6:

(3)

(4)

где e1 и e2 — эксцентриситеты для каждой пары эллиптических колес, углы поворота которых и  получены следующим образом:

(5)

(6)

Опираясь на план скоростей и учитывая уравнения (3), (4), определим искомые отрезки как:

(7)

(8)

(9)

Опираясь на (2)–(9), получим выражение для определения аналога угловой скорости выходного вала:

(10)

Угол поворота определяется интегрированием уравнения (10) по обобщенной координате :

(11)

Вариациями кинематической схемы механизма является замена эллиптических колес на цилиндрические в одной из пар, для исследования которых необходимо в полученной математической модели функции радиусов заменить на фиксированные значения.

Рассмотрим механизмы с парой эллиптических колес 3–6 (e = 0,28), и цилиндрическими колесами 4 и 5 следующих размеров:

На рис. 2 показаны графики функций положения, полученные с использованием (11).

Анализ графиков показывает (на рис. 2 цифрами обозначены исследуемые варианты), что изменение размеров зубчатых колес позволяет получить различные виды движения выходного вала: возвратно-вращательное (вариант 1), прерывистое (вариант 2) и одностороннее неравномерное вращательное движение (вариант 3).

Результаты исследования. Анализ кинематики подтвердил реализацию различных передаточных функций, а изменение размеров зубчатых колес позволяет проводить кинематический синтез новых механизмов.

Объектом экспериментального исследования служит прототип, детали которого показаны на рис. 3.

Углы поворота измеряются абсолютными энкодерами (таблица 1).

Сигнал регистрируется контроллером Arduino и обрабатывается на ПК (рис. 4).

Обработка и анализ результатов измерений осуществлялись в прикладном пакете MathCAD. Схемы исследуемых вариантов и результаты эксперимента показаны на рис. 5. φ3,°.

Как видно из графиков, измеренные значения углов поворота выходного вала адекватны построенной модели. Оценим результаты эксперимента инструментами статистического анализа.

Определим среднее значение ошибок измерения [18]:

(12)

где n — количество независимых наблюдений qk.

Вычислим выборочную дисперсию:

(13)

Оценку дисперсии среднего значения получим следующим образом:

(14)

Стандартная неопределенность измерений по типу А определится [19]:

(15)

Принимая за значения qk ошибки измерения и обрабатывая их согласно (12)–(15), вычислим неопределенность измерения. Результаты статистического анализа приведены в таблице 2.

Доверительный интервал определяется как для уровня достоверности 95 % и составляет –0,16 ± 0,08 (вариант 1), 0,57 ± 0,22 (вариант 2), 0,08 ± 0,26 (вариант 3). Таким образом, построенная математическая модель кинематики адекватна физическим прототипам.

Обсуждение и заключение. Представлена планетарная передача с эллиптическими колесами, позволяющая реализовать неравномерное, прерывистое и возвратно-вращательное движение выходного вала. Вид движения определяется параметрами зубчатых колес.

Построена кинематическая модель передачи, получен закон движения выходного вала. Анализ механизмов с различными параметрами зубчатых колес показал реализуемость широкого спектра передаточных функций и видов движения выходного вала.

Соответствие результатов проведенного кинематического анализа реальным механизмам подтверждено экспериментальным исследованием функций положения выходного вала для трех вариантов физического прототипа. Проведенная оценка адекватности математической модели позволяет использовать ее при динамическом и силовом анализе машин на базе предлагаемых передач. Исследуемые варианты механизма могут применяться в приводах компактных и простых в уравновешивании технологических машин.