Введение. Исследование поверхности земной коры показало распространение структурно неустойчивых просадочных лёссовых грунтов по всему миру. Преобладают они в России [1], Китае [2] и Средней Азии [3]. Лёссами покрыто около 17 % территории России. Наиболее часто лёссовые грунты встречаются на Северном Кавказе, юге России, в Крыму и на других территориях.

В планетарном масштабе лёсс представляет собой горную породу четвертичного периода. Ему характерны жёлтые, жёлто-коричневые или жёлто-палевые цвета [4]. Лёссы имеют низкую плотность и высокую макропористость, что позволяет воде глубоко проникать в структуру грунта. Это приводит к быстрому размоканию [5] и просадкам [6]. Рассчитанные просадки от собственного веса достигают значений 2,5  м [7].

Возведение безопасных и прочных зданий и сооружений на просадочных грунтах не представляется возможным. Проектирование и строительство объектов на лёссах, а также недостаточное исследование их физико-механических свойств приводят к деформациям зданий и сооружений, снижая срок их безопасной эксплуатации. Как следствие, увеличиваются финансовые затраты и стремительно возрастает угроза безопасности.

Устранение просадочности осуществляется различными методами, выбор которых зависит от условий их реализации. В данной работе рассматривается метод уплотнения лёссов глубинными гидровзрывами, показывающий экономическую эффективность при низких производственных затратах [8].

Инженерно-технологический процесс уплотнения осуществляется на основе всестороннего детального исследования физико-механических свойств просадочных лёссовых грунтов, которые широко представлены в современной литературе. Проведены исследования проницаемости просадочных грунтов [9], деформационных характеристик лёсса [10] с различной влажностью, энергии уплотнения [11], ползучести [12] и механической устойчивости глин [13]. Прочностные и деформационные свойства глинистых грунтов с точки зрения физико-химической теории проанализированы под действием внешних нагрузок, сжимающей нагрузки, противодавления [14]. Однако математическое описание физико-механических свойств просадочных глин и суглинков, а также их изменения в результате уплотнения глубинными взрывами в отмеченных работах не проведено. Исследования осуществляются на основе полевых и компрессионных испытаний лёссовых грунтов.

Математизация отдельных свойств уплотняемых взрывом грунтов, а именно их прочностных характеристик, приведена в отчётах об инженерно-геологических изысканиях [15]. Реализована адаптация прочностных показателей к значениям для численных расчётов. Исследования показателей удельного сцепления и угла внутреннего трения уплотняемых глубинными взрывами грунтов методом регрессионного анализа проводятся в [16]. Реализовано моделирование коэффициента вертикальной диффузии газа в лёссовых грунтах, уплотняемых взрывом [17]. Построены регрессионные модели отдельных физических параметров грунтов, таких как пористость, проницаемость, водонасыщенность [18], фильтрация в зависимости от давления [19]. Эти исследования позволяют оценить физико-механические свойства лёссовых грунтов после их уплотнения глубинными взрывами, но не описывают особенности реализации инженерно-технологического процесса уплотнения лёссов.

Математическое моделирование уплотнения лёссовых грунтов глубинными гидровзрывами требует решения отдельных обратных прикладных задач — оценки мощности заряда взрывчатого вещества, глубины его заложения, дисперсионных координатных изменений атомов газа, образуемого при взрыве, в грунтах и другие. Одна из этих задач задаёт цель статьи — математическое моделирование мощности заряда взрывчатого вещества с учётом физико-механических свойств уплотняемых геологических систем, их анизотропности и изотропности.

Создание модели позволит не только улучшить качество уплотнения, но и сократить финансовые затраты на реализацию инженерно-технологического процесса. Уплотнение лёсса с использованием предложенной модели исключает этап пробных предварительных взрывов на строительной площадке, который проводится для определения оптимальной мощности заряда взрывчатого вещества и достижения требуемых механических свойств непросадочных грунтов.

Достижение цели исследования реализуется на основе применения инструментария математического моделирования (аналитически и численно). Будут построены аналитические представления для оценки мощности заряда взрывчатого вещества, исходя из решения начально-граничных задач с полуэмпирическим уравнением диффузии. Учтутся физико-механические свойства уплотняемых грунтов. Для получения оценки мощности заряда будут применены средства численного моделирования. Проведение вычислительного эксперимента позволит установить адекватность предлагаемого решения обратной задачи экспериментальным данным.

Материалы и методы. Обратная задача оценки мощности заряда взрывчатого вещества возникает в рамках математического моделирования уплотнения просадочных грунтов глубинными взрывами. Процесс уплотнения лёссов с целью устранения их просадочности описывается моделью, основанной на заданном дифференциальном полуэмпирическом уравнении диффузии, а также с учетом начальных и граничных условий. Математическая постановка плотностной модели уплотняемых грунтов имеет вид [17]:

, (1)

, (2)

, , (3)

, , (4)

здесь q(t, x, y, z) — плотность уплотнённого грунта при глубинном взрыве в момент времени t; u — параметр горизонтального распространения газа; Kxx, Kyy, Kzz — коэффициенты диффузии; α — параметр взаимодействия газа, появившегося в результате взрыва, и лёссового просадочного грунта; Q — мощность заряда взрывчатого вещества (т.е. количество газа, выброшенного зарядом в момент времени t0 в точке x0, y0, z0); δ — дельта-функция Дирака.

Начально-граничная задача (1)–(3) соответствует процессу уплотнения лёсса глубинными взрывами с выбросом грунта на поверхность. Задача (1), (2), (4) — уплотнение лёсса без выброса на поверхность. Аналитические решения задач (1)–(3) и (1), (2), (4) представимы, соответственно, в виде [17]:

(5)

(6)

В решениях (5) и (6) (0, 0, H) — координаты расположения сосредоточенного заряда взрывчатого вещества с мощностью Q = const > 0, действующего в момент времени t0; Н — глубина заложения заряда взрывчатого вещества; , , — дисперсионные изменения координат атомов газа в грунте.

Постановка обратной задачи об оценке мощности заряда взрывчатого вещества: пусть установлены средние значения плотности грунта q1 и q2 уплотнённого методом глубинного взрыва зарядов взрывчатого вещества, соответствующие соотношениям (5) и (6) для случаев уплотнения грунтов с выбросом и без выброса на поверхность; известно значение глубины расположения заряда взрывчатого вещества Н; определена величина дисперсионных координатных изменений атомов газа в грунте σ. Требуется оценить мощность заряда взрывчатого вещества Q.

Результаты исследования. Решения обратных прикладных задач об оценке мощности заряда при уплотнении просадочных лёссов глубинными гидровзрывами реализуем на основе аналитического и численного методов математического моделирования.

Согласно (5) и (6) возможны два случая: уплотнение с выбросом на поверхность и без выброса. В первом случае на основе (5) получим уравнение:

(7)

Во втором случае на основе (6) приходим к уравнению:

(8)

Для геологических систем характерными физико-механическими свойствами являются анизотропность и изотропность.

Если исследуемая геологическая система является анизотропной, то фильтрационные свойства грунта зависят от направления движения грунтовой воды. При реализации уплотнения грунтов взрывами с поверхностным выбросом искомый корень Q уравнения (7) примет аналитическое представление:

(9)

Если исследуемая система является изотропной, тогда фильтрационные свойства грунта не зависят от направления движения грунтовой воды. Предположим, что дисперсионные координатные изменения равны по всем направлениям σz = σy = σx, тогда при уплотнении грунтов с выбросом на поверхность искомый корень Q уравнения (7) примет аналитическое представление:

(10)

Теперь рассмотрим случай уплотнения грунта глубинными взрывами без выброса на поверхность. Если рассматриваемая геологическая система является анизотропной, то искомый корень Q уравнения (8) примет аналитический вид:

(11)

Если рассматриваемая система является изотропной, то σz = σy = σx и тогда искомый корень Q уравнения (8) запишем в виде:

(12)

Построенные соотношения (9)–(12) аналитически задают мощность заряда взрывчатого вещества в зависимости от физико-механических свойств уплотняемых грунтов и глубины заложения заряда. Для оценки значений мощности применим средства численного моделирования.

Вычислительный эксперимент. Проведём вычислительный эксперимент по решению обратных задач, возникающих при математическом моделировании уплотнения лёссов глубинными взрывами с целью численной оценки мощности заряда взрывчатого вещества. Расчёты будут основаны на данных натурного строительного объекта.

На строительном объекте «Строительство товарно-сырьевого склада СУГ ООО «Ставролен» (г. Будённовск) проведено уплотнение глубинными взрывами просадочных грунтов [8], мощность которых равна 28 м. Суммарная просадка грунта под собственным весом составила от 43 до 78 см. На глубине 29–31 м были зафиксированы грунтовые воды [20]. Средняя плотность сухого грунта до уплотнения равнялась 1,43 г/см³.

На строительной площадке для проведения уплотнения пробурили дренажно-взрывные скважины диаметром 20 см по сетке см. В них поместили на глубину H = 600 см заряды водостойкого аммонита массой по 10 000 г. Через месяц после уплотнения было выполнено бурение контрольных скважин с отбором монолитов. Плотность сухого грунта приняла значения в интервале от 1,60 г/см³ до 1,75 г/см³. Средняя плотность сухого уплотнённого грунта составила 1,66 г/см³ [8]. Лёсс относится к грунтам со столбчатой структурой и является ортотропным в вертикальном направлении [20]. Учитывая физические показатели грунта, рассчитаем коэффициент вертикальной диффузии газа в грунте Kz, согласно [17]. По Kz определим дисперсионные координатные изменения атомов газа в грунте, которые равны σz = 0,726. Параметр горизонтального распространения газа равен нулю ux = 0. Расчёт значений мощности заряда взрывчатого вещества будет произведён по формуле (12). Уплотнение лёсса реализовано без выброса грунта на поверхность.

В таблице 1 представлен результат оценки мощности заряда взрывчатого вещества при известных значениях плотности уплотнённого грунта, дисперсионных координатных изменениях атомов газа в грунте и глубине заложения заряда. Расчёты проводились с использованием авторской программы, разработанной на языке программирования высокого уровня Python, предназначенной для расчёта мощности заряда взрывчатого вещества.

Проведём анализ результатов, представленных в таблице 1. Для исключения свойства просадочности и достижения плотности сухого уплотнённого грунта значения ≥1,60 г/см³ мощность заряда взрывчатого вещества может принимать значения в интервале от 9 797,53 до 10 243,71 г. Согласно экспериментальным данным, мощность заряда взрывчатого вещества равна 10 000 г [8]. Абсолютная погрешность вычислений для значений плотности грунта от 1,60 г/см³ до 1,75 г/см³ не превышает значения 0,244. При средней плотности грунта q = 1,66 г/см³ абсолютная погрешность равна 3,28 г.

Рассмотрим уплотнение лёсса с выбросом грунта на поверхность. Расчёт значений мощности заряда взрывчатого вещества произведём по формуле (10) при σz = 0,726 и плотности сухого грунта от 1,60 г/см³ до 1,75 г/см³. Полученные результаты представлены в таблице 2.

Анализ значений мощности заряда взрывчатого вещества, представленных в таблице 2, показал, что расчётная мощность заряда может принимать значения от 9 852,18 г до 10 301,24 г. Абсолютная погрешность вычислений не превышает 0,301. При средней плотности грунта q = 1,66 г/см³ абсолютная погрешность равна 123,92 г. Минимальная абсолютная погрешность 0,02113 при q = 1,63 г/см³.

На рис. 1, 2 приведена графическая интерпретация расчётных значений мощности заряда взрывчатого вещества при различных показателях плотности сухого уплотнённого грунта и экспериментальных данных о мощности заряда. Отмечены значения мощности заряда в соответствии с рекомендациями по уплотнению просадочных грунтов большой мощности гидровзрывным методом1 (сплошная линия). При заложении заряда взрывчатого вещества на указанную глубину его мощность равна 9 960 г. На рис. 1 представлен случай уплотнения лёсса глубинным взрывом без выброса на поверхность. На рис. 2 — с выбросом на поверхность.

По окончании проведения инженерно-технологического процесса уплотнения лёссов глубинными взрывами, в соответствии с [8], после сброса воды из котлована верхние буферные слои строительной площадки доуплотняются поверхностными методами.

Обсуждение. Построенная математическая модель мощности заряда взрывчатого вещества описана аналитически (9)–(12). Модель предназначена для проведения численных расчётов и оценки значений мощности заряда. Формулы показывают характер и степень зависимости мощности заряда и физико-механических свойств грунтов, их изотропности и анизотропности. Увеличение мощности заряда влечёт рост плотности грунта, снижение просадочности и пористости.

Полученные представления позволили провести теоретический эксперимент по численной оценке значений мощности заряда взрывчатого вещества. Расчётные значения имеют абсолютную вычислительную погрешность в интервалах (3,28; 243,71) г — уплотнение без выброса грунта на поверхность и (21,13; 301,24) г — уплотнение с выбросом грунта на поверхность строительной площадки.

Недостатком предложенного подхода является то, что плотность уплотняемого лёсса, величина дисперсионных координатных изменений атомов газа в грунте определяются на основе полевых и лабораторных испытаний. Глубина расположения заряда взрывчатого вещества также указывается заранее. Таким образом, при оценке мощности заряда будут содержаться штамповые и компрессионные данные. Предложенная модель учитывает изотропность и анизотропность грунтов. Полученные в настоящем исследовании результаты адекватны экспериментальным данным и подтверждают возможность их практического применения при планировании инженерно-технологического процесса уплотнения просадочных грунтов глубинными гидровзрывами.

Заключение. Основным результатом исследования является математическая модель оценки мощности заряда взрывчатого вещества. Получены аналитические выражения мощности заряда. Учтены физико-механические свойства грунтов, их изотропность и анизотропность. Численно значения мощности найдены с использованием программы, разработанной в Python. Полученные результаты хорошо согласуются со значениями натурного эксперимента и рекомендуемыми значениями, основанными на эмпирических данных.

Практическая значимость исследования состоит в возможности применения математической модели в качестве расчётной методики в исследовательских и проектных организациях, занимающихся теоретическим исследованием и практической реализацией уплотнения просадочных лёссовых грунтов. Дальнейшие исследования будут направлены на построение решений средствами математического моделирования и других обратных задач в рамках инженерно-технологического процесса уплотнения грунтов.

1. Рекомендации по уплотнению просадочных грунтов большой мощности гидровзрывным методом. Москва: Стройиздат, 1984. 56 с. URL: https://meganorm.ru/Data2/1/4293782/4293782665.pdf (дата обращения: 01.06.2025).