Введение. В настоящий момент сохраняет свою актуальность направление разработки высокоточных систем определения положения тел в пространстве (навигационные комплексы, НК), основанных на датчиках (волновые твердотельные гироскопы, ВТГ), принцип действия которых связан с эффектом прецессии упругой волны (эффект Брайана) — ВТГ [1][2]. Актуальность применения ВТГ для построения НК различного назначения прежде всего обусловлена очевидными преимуществами таких приборов по сравнению с устройствами, использующими иные физические принципы: лучшими массогабаритными характеристиками, устойчивостью к механическим воздействиям, энергоэффективностью, большим ресурсом и временем готовности и др. [3]. В условиях тенденции к увеличению требуемого назначенного ресурса при создании новых подвижных объектов перечисленные преимущества дают возможность увеличить массу полезной нагрузки, оптимизировать компоновку и, что важнее, снизить накопленную погрешность НК и нагрузку на энергетические системы.

С развитием методов проектирования и моделирования, а также технологий изготовления ВТГ улучшаются и их технические характеристики, что позволяет создавать НК различных классов точности и, соответственно, применять их в самых разных областях науки и техники, в том числе в космическом приборостроении [4]. Большое число работ, опубликованных ведущими отечественными научными коллективами, посвящено вопросам разработки, конструирования и технологии изготовления ВТГ [5]. Это стимулируется как достижениями иностранных компаний в части реализованных технических показателей ВТГ [6], так и созданием НК на их основе [7].

Несмотря на фундаментальные труды и передовые результаты наших соотечественников и их учеников — академиков В.Ф. Журавлева и Д.М. Климова [8], профессоров Б.С. Лунина, М.А. Басараба и В.А. Матвеева [9], И.В. Меркурьева [10], К.В. Шишакова [4] — а также достижения зарубежных групп под руководством D.D. Lynch [11], D. Roselle [12], B.J. Shaw [13], S. Zotov, A. Trusov и A. Shkel [14] — остаются направления и способы дальнейшего совершенствования ВТГ. Это позволяет следовать передовому тренду современного точного приборостроения — разработке высокоточных НК, на базе различных чувствительных элементов [1], [15], в том числе на базе ВТГ [16].

Одним из направлений является минимизация влияния несовершенств главного чувствительного элемента ВТГ — резонатора [8] на ключевые параметры изделия, в частности на расщепление его рабочей собственной частоты [9]. При обсуждении влияния несовершенств встает вопрос о способе их идентификации. Большинство существующих работ и исследований [3], [5] посвящены оценке уровня несовершенства и его компенсации на этапах механической и электрической балансировки; при этом практически отсутствуют исследования, предлагающие методику идентификации на более ранних стадиях производства, например, при контроле качества технологической заготовки. Возможность определения функции распределения свойств материала, например, плотности, по объему на стадии отбора заготовок позволяет сократить производственные затраты за счет селекции по критерию допустимой величины амплитуды несовершенства и выбора оптимального направления формообразования. Это, в свою очередь, уменьшает продолжительность технологического цикла механической балансировки и, как следствие, снижает расщепление рабочей частоты. Необходимость контроля разноплотности дополнительно продиктована существующими методами оценки качества материала, которые ориентированы на его основное применение — кварцевое стекло прежде всего рассматривается как оптический материал, поэтому фокус контроля смещен в сторону соответствующих параметров.1 Однако, рассматривая кварцевое стекло как материал чувствительного элемента ВТГ, целесообразно контролировать свойства и их распределение по объему, определяющие динамические характеристики (плотность, модуль упругости и др.). В связи с этим в настоящей работе предлагается методика идентификации разноплотности, которой ранее не было.

Цель настоящей работы — разработка метода идентификации несовершенства типа «разноплотность» на основе измерения оптических свойств материала резонатора ВТГ, предназначенного для использования на этапе контроля качества технологической заготовки резонатора. В рамках работы будет проверена возможность определения функции распределения плотности по объему посредством прямого измерения интенсивности светового луча, прошедшего через заготовку, ввиду существующей связи между плотностью и оптическими свойствами кварцевого стекла.

Материалы и методы. В качестве объекта испытаний (в рамках виртуального эксперимента) была рассмотрена заготовка (кубик) из кварцевого стекла марки КУ-1 с длиной ребра 30 мм. Определение разноплотности по объему заготовки осуществлялось через серию экспериментов по измерению интенсивности светового луча, прошедшего через заготовку. При этом, для упрощения, рассматривалось прохождение луча в поперечном сечении заготовки (т.е. плоская задача). На рис. 1 представлена расчетно-экспериментальная схема, использованная для идентификации несовершенства в виде разноплотности.

В рамках методики была проведена дискретизация сечения заготовки на q элементов, каждому из которых соответствовало свое значение плотности в пределах установленного допуска, характерного для материала. При этом минимальный размер элемента определялся минимальным диаметром светового луча, генерируемого источником света. Для упрощения вычислений в каждом из измерений предполагалось, что световой луч падал по нормали к поверхности заготовки. На основе генерации светового луча постоянной частоты (длины волны) и заданной интенсивности, проводилось измерение интенсивности прошедшего света, что позволило определить поглощающую способность материала. Длина волны выбиралась вдали от оптического резонанса, чтобы сохранить справедливость ранее представленных соотношений для нерезонансного участка [17]. Величина коэффициента поглощения учитывала габариты заготовки, что позволяло фиксировать изменения интенсивности светового луча. В результате измерений интенсивности света, прошедшего через заготовку, на основе закона Бугера формировалась система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которой позволяло получить искомое распределение плотности материала.

Известно, что в рамках электромагнитной оптики [18] интенсивность светового луча, прошедшего через сплошную среду, может быть описана законом Бугера-Ламберта-Берра (в гауссовой системе единиц) [19]:

где δ — коэффициент поглощения; z — расстояние, прошедшее световым лучем. Учитывая дисперсию света — зависимость оптических свойств среды от частоты проходящей электромагнитной волны, принимая за основу модель дисперсии по Лоренцу, основанную на осцилляторной модели атома, возможно определить связь плотности и коэффициента поглощения:

где m и e — масса и заряд возбужденного световой волной электрона; c — скорость света; ω0 — резонансная частота колебаний электрона; ω — частота световой волны (возбуждения); Г — коэффициент затухания колебаний;  — количество атомов в единице объема (Na — число Авогадро; M — молярная масса; ρ — плотность среды).

В силу прямо-пропорциональной зависимости коэффициента поглощения от плотности в дальнейшем рассматривалось именно его распределение по объему, подразумевая, что изменение плотности также может быть найдено.

В обеспечение формирования СЛАУ закон Бугера представляется в виде:

где Iu, δh — интенсивность прошедшего луча через заготовку для u-го эксперимента и среднее значение показателя поглощения для h-го элемента в u-ом эксперименте, соответственно; z = const — габарит заготовки; I0 = const — интенсивность генерируемого светового луча. Отметим, что рассматривалась система из q элементов с равным количеством элементов на ребре, из чего следует, что количество уравнений u при количестве неизвестных l = h = q. Записывая СЛАУ в матричной форме, получили:

где, Au×l — основная матрица системы; xl — вектор неизвестных; bu — вектор свободных членов.

Предполагая непрерывность и плавность распределения плотности по объему, распределение коэффициента поглощения представляется в виде двумерного полинома p-ой степени. В таком случае количество неизвестных не будет зависеть от количества элементов и будет составлять l = (p + l)². Наоборот, степень дискретизации системы и количество элементов будет определяться установившимся решением СЛАУ и соответствующей требуемой степенью полинома. Другими словами, появляется возможность управлять данными для решения неопределенной СЛАУ, что важно для анализа получаемых результатов в обеспечение нахождения приближенного решения.

Записывая полином Лежандра при помощи формулы Родрига [20] для каждой из координат (x, y):

где t = (0, …, p) — константа; Pv, Pw — тензоры первого рода (v = w = (1, …, t + 1)); CVp, CWp — неизвестные коэффициенты при полиноме; x(xh), y(yh) — координаты h-го элемента, искомое распределение показателя поглощения представляется через поэлементную сумму соответствующего тензора второго ранга:

Псевдорешение (приближенное решение) полученной неопределенной системы уравнений может быть найдено при помощи метода наименьших квадратов [21]:

где, A+ — псевдообратная матрица Мура-Пенроуза, определенная путем сингулярного разложения (SVD) [21] основной матрицы A.

Необходимо отметить, что при нахождении δh, ввиду свойств примененного полинома Лежандра, в частности его ортогональности на интервале [ –1, 1], начало системы координат (X, Y) было определено в геометрическом центре заготовки, а решение находилось в безразмерном виде по координате:

Расчетная оценка распределения разноплотности по объему заготовки (виртуальный эксперимент) была проведена с использованием программного комплекса Matlab. Результаты решений СЛАУ различной размерности приводятся для исходных данных, приведенных в таблице 1.

В качестве результатов эксперимента, а также для обеспечения возможности контроля достоверности искомого решения, использовался массив данных для Ii (интенсивность луча, прошедшего через заготовку), полученный для следующего распределения коэффициента поглощения:

Выбранный для примера вариант распределения обусловлен наибольшим влиянием 4-й гармоники возмущения (разноплотности) на расщепление рабочей частоты резонатора ВТГ [9].

Результаты исследования. На рис. 2–5 представлены графики сравнения полученного решения неопределенных СЛАУ различной размерности. На каждом из рисунков (здесь и далее для аналогичных рисунков) зеленым цветом представлено распределение коэффициента поглощения, основанное на точках эксперимента (линейно соединённых) и связанных с дискретизацией в направлении оси X для значения Y, синим — результат решения СЛАУ, т.е. аппроксимации полиномом, что также справедливо для поверхностей распределения. Индекс i при y на подписи рисунков обозначает i-ю координату по y.

В дополнение, на рис. 6–9 представлены дополнительные расчетные случаи для обсуждения вопроса разрешимости неопределенных СЛАУ, а также применения предложенного метода при наличии макродефектов заготовки.

На рис. 10 по результатам проведенного эксперимента представлены отличия распределения искомой величины от полученного распределения по результатам решения СЛАУ.

Обсуждение. Анализируя полученные данные с использованием предложенного метода идентификации (рис. 2–5), можно отметить, что при достаточном количестве измерений (дискретизации системы) возможно получить решение неопределенной системы с необходимой точностью. Результаты для переопределенных систем оказались сопоставимыми с результатами недоопределенных [23] систем, при этом в некоторых случаях значения уступили им по точности. Например, данные, представленные на рис. 4, продемонстрировали меньшую точность по сравнению с результатами для размерности матрицы A — [ 38×49], полученной с использованием полинома 6-й степени (рис. 6).

В случае значительного перекоса между количеством уравнений и неизвестных (например, для случая сильной переопределенности — рис. 7) удовлетворительное решение в рамках представленных вычислений найти не удалось. Даже при получении приближенного решения с минимальной ошибкой некоторые отличия между восстановленным распределением и экспериментальным все же присутствовали. Это может быть связано с особенностями предложенной методики, что требует отдельного изучения. Для наглядности на рис. 10 представлено сравнение распределений в цветовом градиенте.

Одновременно было установлено, что предложенный метод чувствителен к наличию макродефектов (поры, пузырьки) в заготовке. На рис. 8 представлен результат, полученный на основе экспериментальных данных с тремя точечными дефектами, которым соответствует нулевой коэффициент поглощения. При сравнении с рис. 5 (где представлены результаты с наибольшей точностью) видно, что распределение искажается, на графике появляется дополнительная низкочастотная гармоника, свидетельствующая о возможных дефектах. При повышении степени полинома решение продолжает меняться, описывая более сложное распределение (рис. 9).

Следует отметить, что в случае физического измерения наличие макродефектов может значительно повлиять на результаты, так как это нарушает допущение о нормальном падении луча на границу раздела оптически прозрачных сред (поры и пузырьки часто имеют криволинейные поверхности). Несмотря на это, представленный метод может быть усовершенствован, учитывая указанные аспекты.

Использование полинома повысило устойчивость решения прямоугольных СЛАУ. Однако следует помнить, что реальные системы, построенные на базе экспериментальных данных с определенными погрешностями измерений, создают дополнительные сложности, требующие применения других методов расчета СЛАУ, например, с регуляризацией решения [24]. Поэтому целесообразно избегать существенной недоопределенности и переопределенности системы. В защиту используемого метода решения СЛАУ необходимо отметить, что требуется оптимизация соотношения между степенью полинома и уровнем дискретизации для нахождения приближенного решения с минимальными затратами. Анализ полученной системы уравнений показывает, что даже для двумерного случая с уменьшением размера элемента система остается прямоугольной и становится все более недоопределенной — в таких системах количество уравнений (u) меньше количества неизвестных (l). Подобные СЛАУ имеют более одного решения и характеризуются высоким числом обусловленности основной матрицы системы (матрицы A), что может привести к существенным трудностям при нахождении корней. Учитывая это, в целях управления соотношением количества уравнений и неизвестных было принято допущение о плавности и непрерывности распределения искомой величины по объему. Это допущение основано на использовании кварцевого стекла наивысшего качества для изготовления резонатора ВТГ, в котором не допускается наличие макродефектов3 (пузыри, раковины, трещины) [25]. Данное предположение согласуется с определяющими соотношениями, которые действуют как для постоянного значения показателя преломления, так и для медленно меняющейся, непрерывной функции в оптической среде [19].

Говоря о практической реализуемости, необходимо оценить требуемую погрешность физических измерений. Как отмечалось ранее [22], максимальный разброс плотности для кварцевого стекла по объему заготовки (резонатора), обусловленный неидеальностью геометрических параметров элемента ячейки периодичности, составляет ±3 % от номинального значения. Из-за пропорциональной зависимости коэффициента поглощения от плотности разброс коэффициента поглощения по объему будет аналогичным. При этом степень влияния разброса коэффициента поглощения на значение интенсивности светового луча, прошедшего через заготовку, можно оценить на уровне 0,03 %. Следовательно, степень точности измерений должна составлять не менее 0,005 %. Достижение такой точности требует определенного подхода к организации натурного эксперимента, в частности, использования стабильных источников света (лазеров) с активной обратной связью для термической и токовой стабилизации, светоприемников (фотодетекторов) с низким темновым током, а также подавления шумов различных источников (колебания температуры, вибрация, электромагнитные помехи и пр.), что в итоге позволит достичь точности порядка 0,001 %.

Заключение. Таким образом, в настоящей работе был предложен и апробирован метод идентификации несовершенства в виде разноплотности кварцевого стекла на стадии заготовки, предназначенной для изготовления чувствительного элемента ВТГ — резонатора. Идентификация основывалась на оптических свойствах кварцевого стекла, а именно на комплексном коэффициенте преломления, мнимая часть которого связана с коэффициентом поглощения и, следовательно, с плотностью материала. Показано, что, проведя серию экспериментов по измерению интенсивности светового луча, прошедшего через заготовку, возможно восстановить неизвестное распределение коэффициента поглощения и плотности по объему с высокой точностью (не менее 0,005 % от измеряемой величины). При этом распределение представляется с использованием ортогонального полинома Лежандра достаточной степени, соблюдая оптимальное соотношение между количеством коэффициентов полинома и степенью дискретизации системы, определяемой величиной гармоники распределения несовершенства. Установлено, что для идентификации 4-й гармоники разноплотности (как ключевого параметра) можно использовать полином 9-й степени при 100 испытаниях. Важно отметить, что проведение таких работ на ранних стадиях производства может оптимизировать процесс формообразования, позволяя выбирать наиболее эффективные направления распределения плотности по объему для минимизации воздействия на расщепление рабочей частоты резонатора.

1. ГОСТ 15130–86. Стекло кварцевое оптическое. Электронный фонд правовых и нормативно-технических документов. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200023786 (дата обращения: 10.10.2025). 2. ГОСТ 15130–86. Стекло кварцевое оптическое. Электронный фонд правовых и нормативно-технических документов. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200023786 (дата обращения: 10.10.2025). 3. ГОСТ 15130–86. Стекло кварцевое оптическое. Электронный фонд правовых и нормативно-технических документов. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200023786 (дата обращения: 31.10.2025).