Введение. Стремительное внедрение беспилотных технологий обусловило взрывной рост мирового рынка беспилотных летательных аппаратов. Прогнозы указывают на его увеличение более чем в 3–4 раза к 2030 году. Например, по данным GlobalData1, рынок вырастет с 32,2 в 2024 году до 89,8 млрд долларов к 2030 году. Отчет Research Nester2, в свою очередь, дает еще более масштабный прогноз на долгосрочную перспективу — рост с 42,39 в 2025 году до 191,89 млрд долларов к 2035 году.

При этом объемы применения автономных систем в различных отраслях увеличиваются более чем на 10–20 % ежегодно. Так, по данным Market Report Analytics3, на январь 2026 года рынок автономной сельскохозяйственной техники растет с совокупным среднегодовым темпом (CAGR) почти на 18,5 % при том, что сегмент автономных сельскохозяйственных роботов демонстрирует динамику в 18–20 %. Согласно прогнозам Fortune Business Insights и GM Insights4, рынок автоматизированной логистики и автономных мобильных роботов в 2025–2026 годах вырастет на 12,8–17,9 %, а рынок автономного строительного оборудования, по оценкам The Business Research Company5, к 2026 году покажет стабильный рост CAGR почти на 9,1 %.

Столь интенсивное применение беспилотных технологий требует высокой точности систем автономной навигации, ключевую роль в которой играет оценка параметров собственного движения видеокамеры [1–3], сопряженных с линейными и угловыми скоростями беспилотного объекта [4][5], используемыми для определения его положения и ориентации в пространстве, вычисления траектории движения на основе анализа смещения пикселей в видеопотоке. Тем самым обеспечиваются независимость от внешних датчиков и привязка к визуальным ориентирам на подстилающей поверхности (что критически важно, например, для точности зависания и посадки), мгновенное реагирование на изменения в движении аппарата, что наиболее значимо для высокоскоростных объектов, где малейшая ошибка в оценке собственного движения ведет к катастрофе. При этом требуемая погрешность определения параметров оптического потока [6][7] для современных автономных объектов не превышает 1–2 %. Такие показатели точности позволяют удерживать траекторию в допустимых пределах на длинных дистанциях, выполнять безаварийный облет препятствий на высокой скорости, достигать стабильного положения в одной точке в режиме зависания без использования спутниковой навигации, что говорит о надежности функционирования в реальных, а не лабораторных условиях.

Достижение этого уровня точности требует продвинутых алгоритмов, устойчивых к шумам различного рода. В реальных же условиях измерения интенсивности оптического потока сопровождаются помехами с неизвестными вероятностными характеристиками, что существенно затрудняет идентификацию данных параметров, особенно в условиях искусственно созданных помеховых воздействий.

Современные подходы к идентификации оптического потока преимущественно ориентированы на оценку векторного поля скоростей в условиях известных помех. Так, стохастические методы, включающие в себя применение фильтров Калмана и байесовских оценок [8][9], требуют априорного знания характеристик помех, что снижает их практическую применимость. Робастные методы [10][11] учитывают неопределенность, но не позволяют одновременно оценивать интенсивность и параметры поля скоростей.

Существующие монокулярные методы оценки параметров собственного движения видеокамеры условно могут быть разделены на методы картографического анализа подстилающей поверхности [12] и методы оценки параметров оптического потока (поля скоростей) [8].

Методы картографического анализа подразумевают сравнение текущего кадра с хранящейся в памяти априорной картой, что требует предварительной геодезической разведки местности, значительных вычислительных ресурсов и делает их неприемлемыми для бортовой реализации.

В основе методов оценки параметров оптического потока лежит либо анализ особенностей изображения (например, выявлении особых точек или краев сцены [13]), либо параметров потока по кадрам видеоизображения с применением математических моделей.

Базовым математическим выражением к построению алгоритмов оценки-идентификации оптического потока и его параметров u, v [2] является т. н. основное уравнение оптического потока [10]:

(1)

где u(x, y, t), v(x, y, t) — текущие компоненты скорости яркостной картины в точке (х, у);

, , — частные производные функции яркости I (x, y, t) (интенсивности оптического потока) сканируемой сцены.

Отсутствие однозначного решения уравнения (1) относительно двух неизвестных переменных u, v привело к созданию целого ряда методов и алгоритмов, обеспечивающих требуемую точность только в конкретных практических ситуациях. Среди них наиболее распространены:

Основным подходом к построению этих алгоритмов является, как правило, введение различных ограничений, накладываемых на динамику изменения интенсивности оптического потока сканируемой подстилающей поверхности. Так, например, предположение об одинаковом смещении всех точек сканируемой поверхности при одновременной аппроксимации интенсивности окрестности каждого пикселя квадратичной формой обеспечивает заданную точность идентификации параметров оптического потока для низкоскоростного движения [4], а дополнительное введение допущения о неизменной яркости сцены вдоль траектории движения объекта с использованием минимизации целевого функционала методом наименьших квадратов позволяет при малых смещениях повысить точность еще больше (метод Лукаса-Канаде) [3]. Более общим является предположение о «гладкости» оптического потока (об отсутствии резкого изменения поля скоростей), обеспечивающее с приемлемой для широкого ряда практических приложений точностью вычисление оптического потока на основе т. н. функционала энергии, предложенного Horn-Schunck [2]:

где D — область существования переменных x, y; ∇ — оператор Гамильтона; λ — параметр регуляризации.

Но так как в данном методе используются алгоритмы оптимизации на основе или дискретных представлений интеграла и частных производных, или уравнений Эйлера-Лагранжа при граничных условиях с отражением, то вычислительные затраты такого подхода для бортовых вычислителей зачастую оказываются нереализуемыми [2].

Проанализировав существующие методы оценки параметров оптического потока, можно резюмировать, что их основными недостатками являются, во-первых, большой объем вычислительных затрат, не позволяющий оценивать параметры оптического потока в реальном времени, а во-вторых, критичность к помехам измерения интенсивности оптического потока, неизбежным в реальных системах навигации.

Наличие подобных проблем говорит об отсутствии методического подхода, способного решать задачу совместной стохастической оценки интенсивности и идентификации параметров оптического потока в условиях неизвестных помех, что представляется существенным пробелом в научном знании.

Целью данной работы является решение задачи одновременной высокоточной оценки интенсивности оптического потока и идентификации его параметров в условиях помех измерения с неизвестными вероятностными характеристиками. Задачи исследования включают в себя:

1) создание алгоритма оценки-идентификации, способного работать без предварительного знания подстилающей поверхности;

2) обеспечение устойчивости и высокой точности оценки параметров оптического потока в условиях неизвестных помех;

3) реализацию метода, ориентированного на минимальные вычислительные затраты, делающие его пригодным для бортовой обработки данных.

Материалы и методы. Решение поставленных задач рассмотрено в системе координат изображения видеокамеры (x, y). Поскольку анализируемое изображение представляет собой матрицу пикселей, то, дискретизируя координатную плоскость, получаем основное уравнение оптического потока (1) в дискретной форме относительно координат сцены:

, (2)

где j=1,…N, (xi,yj) — координаты ij-й точки в принятой системе координат; I(xi,yj,t) — текущая интенсивность оптического потока в ij-й точке; Δx, Δy — шаги пространственной дискретизации по осям Ох, Оу соответственно (размеры пикселя сканируемой сцены по соответствующим направлениям).

Для упрощения последующей записи введем следующие обозначения:

Уравнение (2) представим в векторной форме:

(3)

При последующем синтезе алгоритма оценки-идентификации интенсивности оптического потока и его параметров будем использовать дискретное описание всех приведенных выше временных функций, что обусловлено цифровым характером обработки информации в бортовых вычислителях. В этом случае дискретная форма уравнения (3) принимает вид:

где Ik — значение вектора интенсивности оптического потока в k-й момент времени; Uk, Vk — значения векторов параметров оптического потока в k-й момент времени; Δt — шаг временной дискретизации.

Обозначив для упрощения дальнейшего изложения вектор как ξk, k = 1…N, ξ0 = 0, полученное дискретное уравнение запишем в виде:

(4)

В каждой ij-й точке сканирования интенсивность оптического потока измеряется с погрешностью wij, вероятностные характеристики которой (в частности, вид плотности распределения) в общем случае неизвестны. Вводя аналогично вышеизложенному вектор помех измерений Wk,

вектор измерений Zk интенсивности оптического потока Ik, снимаемого со всей сканируемой сцены, представим как

Таким образом, задача оценки интенсивности оптического потока и идентификации его параметров в используемых определениях представляет собой задачу стохастической оценки и параметрической идентификации дискретной линейной нестационарной системы (4) при наблюдении ее вектора состояния в условиях помех с неопределенной плотностью вероятностного распределения.

Важно отметить, что применение традиционных методов дискретного оценивания, в частности калмановской фильтрации, здесь невозможно из-за, во-первых, наличия неизвестного вектора параметров ξk, а, во-вторых, из-за неопределенности вероятностного распределения помехи измерения Wk [14].

Полагая, что в рассматриваемой задаче вероятностное распределение помехи измерения интенсивности оптического потока относится к классу распределений с ограниченными квадратами в силу ограниченной мощности реальных помех [14], оценку интенсивности оптического потока при одновременном определении вектора параметров ξk будем искать как оценку, гарантирующую наивысшую точность оценивания в минимаксном смысле (т. е. минимальную ошибку в наиболее неблагоприятной ситуации, определяемой заданным классом распределения), выбирая в качестве минимизируемой целевой функции квадратичную: . Для обеспечения устойчивости разрабатываемого алгоритма при формировании критерия оптимальной оценки ()-идентификации (ξk) используем регуляризующие аддитивные составляющие: по Тихонову по норме L2 — и учитывающую естественное ограничение на непрерывность изменения вектора параметров ξk во времени: , , где α, β — параметры регуляризации, обеспечивающие адаптацию к конкретным условиям эксплуатации динамической системы.

В соответствии с изложенным минимаксный критерий оптимальности Jk сформулируем в следующем виде:

(5)

Для последующего определения вектор-функции , определяющей текущую оценку интенсивности оптического потока :

(6)

продифференцируем Jk (5) по ξk–1:

Приравнивая полученное выражение к 0, приходим к равенству:

из которого определяем искомую рекуррентную вектор-функцию :

Подставляя найденное выражение в уравнение оценки (6), имеем:

Так как правая часть полученного уравнения зависит от текущей оценки, , то для окончательного определения преобразуем его следующим образом:

где E — единичная матрица размерности N², откуда окончательно имеем стохастическую оценку интенсивности оптического потока :

(7)

где идентификация вектора параметров оптического потока осуществляется в соответствии с выражением:

(8)

Преимущественными особенностями алгоритма оценки-идентификации (7), (8) являются, во-первых, возможность построения поля скоростей не только для любого из участков сцены изображения, но и для всей сканируемой сцены, а, во-вторых, относительно небольшие вычислительные затраты, обусловленные определением векторной рекурсии вместо реализации многомерных алгоритмов нелинейной оптимизации в известных методах.

Оценка эффективности предложенного подхода была получена в ходе серии численных экспериментов с разнообразными нелинейными функциями и различными значениями среднего и дисперсии распределения Лапласа, совокупность результатов которых позволила выявить устойчивую тенденцию. В качестве иллюстрации используем один из характерных сценариев.

Моделирование пространственно-временного изменения интенсивности оптического потока I(x,y,k) осуществлялось в координатной сетке {х:[ 0;5], y:[ 0;5]} с равномерным шагом, равным 0,5, на временном интервале [ 0;600] секунд с шагом Δt = 0,1 с в соответствии с выражением:

(9)

Формирование вектора помех измерений Wk осуществлялось на основе моделирования пространственно-временного случайного поля, описываемого как

где Lt — случайная последовательность с распределением Лапласа с нулевым средним и дисперсией D = (8,7 ⋅ 10⁻²)² (лм)².

Оценка интенсивности оптического потока проводилась в реальном масштабе времени в соответствии с алгоритмом (7) при параллельной реализации процедуры идентификации (8) вектора параметров оптического потока ξk при значениях коэффициентов регуляризации α = 0,033, β = 0,0017. Анализ точности алгоритма оценки-идентификации (7), (8) производился путем сравнения значений вектора оценки интенсивности оптического потока с истинными значениями интенсивности оптического потока, определяемыми выражением (9).

На рис. 1, 2 представлены графики изменения параметров оптического потока u, v, характерных для выбранного пространственно-временного изменения интенсивности оптического потока (9) и приведенных для точки {х=4, y=3}, а на рис. 3, 4 — графики ошибок при оценке компонентов вектора интенсивности оптического потока для двух произвольно выбранных точек координатной сетки {i,j}: {1,4},{5,2}.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что, несмотря на достаточно большой уровень помех измерения, погрешности оценки интенсивности оптического потока во всех протестированных координатных точках оказались, во-первых, быстро сходящимися к стационарным значениям, а, во-вторых, в установившемся режиме весьма малыми: в точке {1,4} — не более 0,7 % от максимального значения интенсивности оптического потока Ik, в точке {5,2} — не более 2,1 %.

Для анализа вычислительной эффективности разработанного алгоритма была проведена сравнительная оценка вычислительных затрат с методом Лукаса-Канаде [3], для которого вычислительные затраты оказались в 6,7 раза выше.

Результаты исследования. Таким образом, можно заключить, что основная цель работы, состоящая в разработке метода, решающего ранее не рассматриваемую в литературе задачу одновременной стохастической оценки интенсивности оптического потока и идентификации его параметров в условиях помех измерения с неизвестными вероятностными характеристиками, достигнута. Основными результатами работы являются:

Обсуждение. Полученные результаты подтверждают целесообразность применения метода одновременной оценки интенсивности оптического потока и идентификации его параметров в условиях неизвестных помех. Предложенное решение позволяет обеспечить устойчивость оценки параметров оптического потока даже при отсутствии точной информации о вероятностных характеристиках помех, что особенно важно в условиях реальных наблюдений, когда помехи измерения имеют неизвестные характеристики и традиционные методы оказываются неприменимы.

Практическая значимость решения состоит в отсутствии необходимости предварительной геодезической разведки местности и обеспечении высокой точности и устойчивости оценки параметров оптического потока в условиях неизвестных помех, что согласуется с теоретическими предпосылками, указанными в работах [10][11]. Вычислительная эффективность предложенного алгоритма соответствует теоретическим ожиданиям, а его рекуррентная структура обеспечивает минимальные вычислительные затраты, что делает его пригодным для бортовой реализации в условиях ограниченных ресурсов, подтверждая корректность предложенного подхода.

Особенность алгоритма — реализация минимаксного критерия оптимальности, который обеспечивает наивысшую точность оценивания в наиболее неблагоприятной ситуации, определяемой заданным классом распределения помех. Важным элементом является использование регуляризации по Тихонову и учет ограничений на непрерывность изменения вектора параметров во времени, что позволяет алгоритму адаптироваться к изменяющимся условиям наблюдения. Вместе с тем, использование данных регуляризующих составляющих и ограничений на непрерывность изменения параметров требует подбора и предварительной оценки коэффициентов регуляризации, что может несколько увеличить вычислительные затраты.

Заключение. Состоятельность предложенной концепции практически доказывают проведенные численные эксперименты с разнообразными нелинейными функциями, различными значениями среднего и дисперсии распределения Лапласа, включая описанный в работе частный случай с фиксированными условиями помех и ограниченным числом точек. Перспективы дальнейших исследований в данном направлении включают в себя тестирование предложенных решений на реальных наборах данных [15], расширение фреймворка синтеза алгоритма для практической реализации в конкретные системы автономной навигации, требующие высокоточной и устойчивой оценки параметров оптического потока, включая космические исследования, машинное зрение [16] и техническую диагностику.

1. Globaldata. URL: https://www.globaldata.com/store/report/drones-theme-analysis (дата обращения: 30.01.2026). 2. Research Nester. URL: https://www.researchnester.com/reports/unmanned-aerial-vehicle-market/6364 (дата обращения: 30.01.2026). 3. Market Report Analytics. URL: https://www.datainsightsmarket.com/reports/autonomous-agriculture-robots-283675 (дата обращения: 30.01.2026). 4. Fortune Business Insights и GM Insights. URL: https://www.thebusinessresearchcompany.com/report/autonomous-construction-equipment-global-market-report (дата обращения: 30.01.2026). 5. Business Research Company. URL: https://www.fortunebusinessinsights.com/logistics-automation-market-105991 (дата обращения: 30.01.2026).