Введение. Благодаря своим превосходным функциональным и эстетическим характеристикам поверхности произвольной формы все чаще используются в передовых инженерных решениях, таких как прецизионные пресс-формы, оптические компоненты и аэродинамические конструкции. Среди множества разнообразных локальных геометрических форм вогнутые параболические структуры широко применяются в таких компонентах, как параболические отражатели и антенные устройства, где геометрическая точность напрямую определяет функциональную эффективность. В частности, обработка таких поверхностей с помощью 3-осевого фрезерования на станках с ЧПУ остается сложной задачей из-за комплексного взаимодействия между геометрией инструмента, кривизной поверхности и стратегией траектории движения инструмента.

При фрезеровании концевыми шаровыми фрезами погрешности формообразования поверхности в значительной степени определяются такими геометрическими факторами, как радиус инструмента, подача и поперечное смещение, а также локальной кривизной обрабатываемой поверхности. В предыдущих работах было подробно исследовано влияние параметров обработки на качество поверхностей свободной формы. В последнее время существенный вклад в эту область внесла российская школа металлообработки, в рамках которой проводились как экспериментальная оценка, так и прогнозное моделирование геометрической точности при фрезеровании деталей сложной конфигурации. В [1] разработаны экспериментальная методика и математическая модель для управления показателями геометрической точности оттисков штампов при фрезеровании шаровыми концевыми фрезами. Полученная модель была использована для коррекции траектории инструмента. В [2] авторы установили эмпирические зависимости между стойкостью сферических концевых фрез, геометрической точностью и шероховатостью поверхности, которые легли в основу определения как периодичности замены инструмента, так и критериев оценки качества поверхности. Далее авторы [3] исследовали влияние углов ориентации инструмента на шероховатость поверхности при обработке деталей со сложным профилем, показав ключевую роль геометрии контакта инструмента с обрабатываемой поверхностью в достижении итогового качества.

В работе [4] было оценено влияние различных стратегий построения траектории инструмента, а в [5] проанализировано влияние скорости подачи. Роль поперечного шага в формировании геометрических отклонений была определена в исследовании [6]. В ряде других работ использовались подходы планирования эксперимента, например метод Тагучи в сочетании с дисперсионным анализом (ANOVA), для определения оптимальных режимов обработки, обеспечивающих минимизацию погрешностей поверхности [7]. Результаты этих исследований показали, что стратегия обработки часто является главным фактором, влияющим на точность фрезерования [8]. Кроме того, статистический анализ подтвердил существенное влияние поперечного шага на качество формообразования поверхности [9]. Некоторые авторы сосредоточили свои усилия на сравнении стратегий построения траектории инструмента в различных CAM-системах [10] или на разработке методов определения высоты гребешков непосредственно по управляющим программам для станков с ЧПУ [11]. Также были предложены способы уменьшения колебаний эффективного диаметра инструмента, направленные на обеспечение стабильной точности обработки [12].

Тем не менее, большинство имеющихся работ посвящены либо поверхностям свободной формы общего вида, либо отдельным типам геометрии, например рабочим колесам [13]. Другие исследования ориентированы на такие специфические профили, как седловые поверхности [14], или же на оптимизацию геометрических характеристик специализированных циклоидальных профилей [15]. Между тем, вопросам обработки вогнутых параболических структур уделяется недостаточно внимания. Что еще более важно, взаимосвязь между режимами обработки и точностью поверхности зачастую исследуется исключительно экспериментальными методами, без явного учета того, как кривизна поверхности влияет на возникновение геометрических отклонений. Вследствие этого фундаментальные механизмы, объясняющие доминирующее влияние тех или иных параметров на точность обработки, остаются в значительной степени невыясненными.

Для преодоления указанных ограничений данное исследование посвящено обработке поверхностей свободной формы, содержащих вогнутые параболические структуры, которые характеризуются первой главной кривизной, равной нулю, и второй главной кривизной, имеющей переменное отрицательное значение. На базе теории главных отклонений и геометрии поверхности [16] была разработана экспериментальная модель, позволяющая изучить влияние таких ключевых параметров обработки, как диаметр инструмента, скорость подачи и поперечный шаг, на точность формообразования поверхности при 3-осевом фрезеровании на станках с ЧПУ. Применяется систематическое планирование эксперимента по методу ортогональных массивов Тагучи, а полученные результаты обрабатываются методом дисперсионного анализа (ANOVA) для количественной оценки вклада каждого из исследуемых параметров [17].

Цель настоящей работы — оценить влияние кривизны поверхности, радиуса инструмента, поперечного шага и подачи на геометрическую погрешность при обработке вогнутой параболической структуры на 3-осевом фрезерном станке с ЧПУ. С помощью теоретических моделей погрешностей и имитационного моделирования в MATLAB проводится оценка распределения погрешности от подачи, погрешности от поперечного шага и суммарной погрешности по поверхности при формировании параллельных траекторий движения инструмента в двух главных направлениях кривизны. На основании этого определяется рациональное направление траектории обработки и предлагается адаптивный метод построения траектории, базирующийся на разработанной теоретической модели. Для оценки степени влияния радиуса инструмента, поперечного шага и подачи на точность формообразования используются экспериментальные модели. В дополнение к традиционному экспериментальному анализу в данной работе особое внимание уделяется геометрической интерпретации погрешностей механической обработки путем установления их связи с факторами, определяемыми кривизной поверхности. Это позволяет более глубоко понять характер взаимодействия между геометрией режущего инструмента и свойствами обрабатываемой поверхности. Полученные результаты способствуют углубленному пониманию чувствительности технологических параметров при фрезеровании вогнутых параболических поверхностей и создают основу для совершенствования планирования траекторий инструмента и повышения эффективности обработки в практических условиях.

Материалы и методы. Исследуемая поверхность генерируется путем перемещения параболической кривой вдоль прямой линии, в результате чего получается параболическая цилиндрическая поверхность. Параметрическое представление поверхности определяется следующим образом:

(1)

Такое построение означает, что поверхность обладает кривизной лишь в одном параметрическом направлении — u, оставаясь при этом геометрически линейной вдоль направления v.

Пример экспериментальной модели с вогнутой параболической поверхностью свободной формы P(u,v) был создан в системе NX12, как показано на рис. 1.

Частные производные первого порядка выражаются следующим образом:

(2)

Производные второго порядка следующие:

Вдоль направления v (направления генератора) первая главная кривизна:

Вдоль направления u (направление кривой профиля), вторая главная кривизна:

(3)

Знак кривизны зависит от ориентации поверхности; для вогнутых конфигураций он считается отрицательным. Важно отметить, что k2 непрерывно изменяется вдоль параметра u, отражая неравномерное распределение кривизны параболического профиля.

Гауссова кривизна задается формулой:

(3)

Это подтверждает, что поверхность является развертываемой поверхностью, характеризующейся нулевой гауссовой кривизной.

Средняя кривизна равна:

(4)

которая изменяется вдоль поверхности из-за зависимости k2 от u.

Характеристики кривизны поверхности существенно влияют на геометрическую точность при фрезеровании на станках с ЧПУ, что имеет критически важное значение для общей точности обработки.

Поскольку k1 = 0, отклонения, вызванные кривизной, вдоль направления траектории инструмента отсутствуют, когда оно совпадает с направлением генератора.

Изменение кривизны k2(u) приводит к неравномерным условиям контакта инструмента с поверхностью, что существенно влияет на геометрические отклонения.

Области с большей кривизной (меньшим радиусом) более чувствительны к диаметру инструмента и поперечному шагу, что приводит к большей высоте гребешка и погрешности формы.

Таким образом, геометрическое отклонение при фрезеровании шаровым фрезером можно интерпретировать как явление, зависящее от кривизны, где доминирующую роль играет вторая главная кривизна.

Оптимизация точности обработки обеспечивается за счет всестороннего анализа стратегий траектории движения инструмента и моделирования на основе кривизны. Для обработки вогнутой параболической цилиндрической поверхности исследованы две репрезентативные стратегии траектории движения инструмента. В случае A направление подачи совпадает с направлением нулевой кривизны (k1 = 0), а поперечное смещение осуществляется вдоль параболического профиля. В случае B подача осуществляется вдоль параболического профиля, а поперечный шаг выполняется в направлении нулевой кривизны.

При обработке поверхностей произвольной формы концевой шаровой фрезой величина геометрических отклонений в значительной степени определяется локальной кривизной обрабатываемой поверхности. Для рассматриваемой параболической цилиндрической поверхности характерна анизотропная кривизна, при этом одна главная кривизна равна нулю, а другая изменяется вдоль поверхности.

Пусть вторая главная кривизна равна:

(5)

где R(u) — локальный радиус кривизны.

Суммарное геометрическое отклонение при обработке концевой шаровой фрезой можно аппроксимировать как сумму двух составляющих:

где hf, hs — отклонение в направлении подачи и отклонение от поперечного шага (высота гребешка), соответственно.

Геометрические отклонения можно аппроксимировать с помощью разложения профиля поверхности в ряд Тейлора второго порядка [18]. Данный подход приводит к классическому соотношению h ≈ s²/(8R), которое широко описано в теории производственной технологии [19].

Эффективный радиус кривизны Reff(u) определяется путем совместного учета кривизны обрабатываемой поверхности и геометрии шаровой концевой фрезы. На основе принципа суперпозиции кривизны эффективный радиус может быть записан как

(6)

что приводит к:

(7)

Здесь R(u) и RT — радиусы кривизны обработанной поверхности и шарообразного наконечника инструмента соответственно.

Вследствие анизотропных характеристик кривизны поверхности геометрическое отклонение демонстрирует различное поведение в направлениях скорости подачи и поперечного шага.

Для случая А погрешность по подаче остается неизменной вдоль всей траектории инструмента, так как кривизна в этом направлении нулевая, и эффективный радиус оказывается равным радиусу самой фрезы. Отклонение по направлению подачи:

(8)

где эффективный радиус равен:

Основной геометрической погрешностью при чистовой обработке является отклонение от поперечного шага (высота гребешка) , вызванное поперечным шагом S:

(9)

где эффективный радиус равен:

Суммарное отклонение, обусловленное кривизной hA, в случае А равно:

(10)

В случае B наблюдается обратная картина. Погрешность от поперечного шага остается постоянной, тогда как погрешность по направлению подачи существенно зависит от локальной кривизны. Вблизи вершины параболы, где кривизна максимальна, эффективный радиус уменьшается, что вызывает резкий рост погрешности в направлении подачи. Это приводит к неравномерному распределению погрешности с ярко выраженными пиками на участках наибольшей кривизны.

Отклонение направления подачи зависит от подачи на зуб fz, радиуса инструмента RT и радиуса кривизны R(u):

(11)

где эффективный радиус равен:

Отклонение поперечного шага , вызванное поперечным шагом S, в данном случае аппроксимируется как:

(12)

где эффективный радиус равен:

Суммарное отклонение, обусловленное кривизной в случае B составляет:

(13)

В рамках модели оптимизации точности обработки на основе кривизны для выполнения требований к точности суммарная ошибка hΣ(u) должна удовлетворять следующему ограничению:

(14)

где [h] — максимально допустимое геометрическое отклонение.

Подставляя отклонение hA в это неравенство, получаем:

(15)

Решая уравнение относительно S(u), получаем адаптивный по кривизне поперечный шаг в виде:

(16)

Для проведения экспериментальных исследований была разработана экспериментальная установка, позволяющая верифицировать предложенную модель.

Станок: фрезерный станок с ЧПУ DX-6080 производства WANTAI (Тайвань) со следующими основными техническими характеристиками: размер стола 600 x 800 мм; мощность главного шпиндельного двигателя 5,5 кВт, частота вращения шпинделя 600–18000 об/мин; максимальная скорость подачи 6000 мм/мин; повторяемая точность позиционирования 0,005 мм.

Режущий инструмент: из приведенной выше формулы определения кривизны k2 наименьший радиус кривизны поверхности определяется как Rpmin = 7,5 мм. Поэтому, чтобы избежать подрезания, в данном исследовании были выбраны концевые сферические фрезы Φ6, Φ10, Φ14 от компании G.T. Cutting Tools (Тайвань) с числом зубьев Z = 2.

Заготовка: Д x Ш x В = 70 x 70 x 70 (мм), алюминиевый сплав A6061

Программное обеспечение CAM: NX12

Оборудование для измерений: 3D-сканер SIMSCAN от компании SCANTECH (HANGZHOU) CO., LTD с точностью до 0,020 мм, скоростью сканирования до 2020000 измерений/сек, разрешением до 0,025 мм, областью сканирования до 410 мм x 400 мм.

План эксперимента: заготовки подвергаются черновой и получистовой обработке для получения цилиндрической поверхности с припуском на чистовую обработку 0,1 мм.

Экспериментальный процесс чистовой обработки проводился с использованием стратегии параллельной зигзагообразной резки (случай А) в соответствии с экспериментальным планом, разработанным на основе ортогонального массива Тагучи OA9(3³) с тремя факторами: поперечный шаг (S), скорость подачи (F) и диаметр инструмента (D). Факторы и уровни эксперимента представлены в таблице 1.

Остальные технологические условия остаются неизменными для всех 9 образцов: скорость вращения шпинделя n = 2000 об/мин, глубина резания 0,1 мм, промывка смазочно-охлаждающей жидкостью. Результатами данного плана эксперимента являются показатели точности механической обработки, которая оценивается через геометрическое отклонение поверхности изготовленного образца от поверхности проектируемого образца.

Готовые обработанные образцы (рис. 4) были оцифрованы с помощью портативного 3D-сканера SIMSCAN. Используя эти 9 файлов данных облака точек, последовательно совместили их с поверхностью проектной CAD-модели для определения геометрических погрешностей образцов с помощью инструмента Geomagic Quality 2003. Geomagic Quality выполняет итеративную жесткую регистрацию между измеренным облаком точек и номинальной поверхностью CAD-модели, минимизируя расстояние по методу наименьших квадратов между соответствующими геометрическими объектами в соответствии с принципами ICP. Критерием оценки геометрических погрешностей является среднее отклонение, определяемое по формуле: среднее отклонение = (максимальное отклонение – минимальное отклонение)/2.

Результаты и обсуждение. На основе проведенного анализа была написана программа моделирования погрешностей обработки в MATLAB с входными параметрами: радиус инструмента RT = 7 мм, скорость подачи fz = 0,2 мм/зуб, поперечный шаг S = 0,1 мм. Результаты программы для погрешностей обработки в двух случаях A и B показаны на рис. 2. Сравнение суммарной погрешности обработки показывает, что обе стратегии приводят к погрешностям, изменяющимся вдоль поверхности. Однако случай A неизменно дает меньшие значения погрешностей, чем случай B, во всем диапазоне параметров. Наиболее существенно то, что в случае А распределение погрешностей отличается большей гладкостью и стабильностью, тогда как в случае В наблюдается высокая чувствительность к вариациям кривизны. Данное различие имеет критическое значение с точки зрения производства, поскольку значительные колебания погрешности в направлении подачи напрямую связаны с волнистостью поверхности и отклонением формы.

Результаты показывают, что погрешность направления подачи играет доминирующую роль в определении общей точности формы. Хотя суммарная величина погрешности может казаться сопоставимой при определенных комбинациях параметров, перераспределение компонентов погрешности существенно влияет на конечное качество поверхности. Выравнивание направления подачи с направлением минимальной кривизны в случае А эффективно отделяет наиболее критический компонент погрешности от изменений кривизны, тем самым повышая стабильность и точность обработки. Следовательно, стратегия траектории инструмента в случае А лучше, чем стратегия траектории инструмента в случае В.

С практической точки зрения, это открытие подтверждает стратегию, обычно используемую в передовых системах CAM, таких как Siemens NX и PowerMill, где траектории движения инструмента предпочтительно ориентированы вдоль направлений с минимальной кривизной. Следовательно, для обработки параболических цилиндрических поверхностей оптимальной стратегией является выравнивание направления подачи с направлением нулевой кривизны и управление поперечным шагом в соответствии с локальной кривизной.

На рис. 3 показан результат выполнения программы с входными данными RT = 7 мм, fz = 0.02 мм/зуб, допустимая погрешность [h] = 0,02 мм. При поперечном шаге, адаптирующемся в соответствии с кривизной поверхности, как показано на диаграмме, геометрическая погрешность поверхности останется неизменной и составит 0,02 мм. В настоящее время коммерческие CAM-системы, такие как Siemens NX и PowerMill, также поддерживают адаптивный поперечный шаг, однако он реализован косвенно и эвристически, в отличие от явной аналитической формулировки, предложенной в данной работе.

В отношении экспериментальных результатов и их обсуждения: обработанные образцы представлены на рис. 4, измеренные геометрические погрешности для образца 2 показаны на рис.  5, а полные данные о погрешностях суммированы в таблице 2.

При анализе и оценке точности механической обработки производительность оценивается на основе конкретных критериев погрешности: чем меньше погрешность обработки, тем выше точность. Руководствуясь принципом выбора минимально возможного значения выходного сигнала (чем меньше, тем лучше), определяется отношение сигнал/шум (S/N) для каждого эксперимента (таблица 2).

Среднее отношение сигнал/шум для каждого фактора на уровнях 1, 2 и 3 можно рассчитать, усредняя отношения сигнал/шум соответствующих экспериментов. Влияние каждого фактора на геометрическую погрешность обработанной поверхности определяется с помощью Minitab, как показано на рисунке 6. Высокое значение отношения сигнал/шум указывает на то, что обработанная поверхность имеет малые геометрические погрешности.

Результаты дисперсионного анализа (ANOVA) для отношения сигнал/шум (S/N)Δ представлены ниже в таблице 3. Коэффициенты детерминации составляют R-Sq = 98,92 % и R-Sq(adj) = 95,68 %, что свидетельствует о высоком качестве модели. Для фактора S (поперечный шаг) число степеней свободы (DF) равно 2, последовательная сумма квадратов (Seq SS) и скорректированная сумма квадратов (Adj SS) составляют 12,4878, скорректированный средний квадрат (Adj MS) — 6,2439, значение F-критерия (критерий Фишера) — 41,36, а уровень значимости P = 0,024.

На основе данных в этой таблице можно также определить влияние каждого фактора на точность обработки. Наибольшее влияние оказывает диаметр инструмента (D) (51 %), за ним следует влияние поперечного шага (44,7 %). Наименьшее влияние оказывает скорость подачи (3 %) (таблица 4). Data means

Отсюда видно, что соответствие формообразующего инструмента и обрабатываемой поверхности оказывает существенное влияние на точность обработки. При максимально возможном значении отношения сигнал/шум можно выбрать оптимальный набор параметров S1F2D3. Оптимальные параметры для достижения наилучшей геометрической точности обработанной поверхности: поперечный шаг 0,1 мм, скорость подачи 500 мм/мин, диаметр инструмента 14 мм.

Прогнозируемое среднее отклонение в этом случае составит:

(17)

Заключение. В данном исследовании изучалось влияние параметров обработки на точность формирования вогнутых параболических поверхностей произвольной формы при 3-осевом фрезеровании на станках с ЧПУ. В отличие от традиционных экспериментальных подходов, была предложена аналитическая модель, основанная на кривизне, для интерпретации погрешностей обработки с геометрической точки зрения.

Результаты подтверждают, что рассматриваемая поверхность обладает анизотропными характеристиками кривизны, где одна главная кривизна равна нулю, а другая непрерывно изменяется вдоль поверхности. Это геометрическое свойство приводит к неравномерным условиям взаимодействия инструмента и поверхности, что существенно влияет на точность обработки. Экспериментальный анализ, основанный на методе Тагучи и дисперсионном анализе, показывает, что поперечный шаг и диаметр инструмента являются доминирующими факторами, влияющими на геометрическое отклонение, в то время как скорость подачи оказывает сравнительно меньшее влияние.

С целью теоретического обоснования данных наблюдений была разработана оптимизационная модель на основе кривизны. Модель связывает погрешности обработки с локальной кривизной посредством формулировки эффективного радиуса, демонстрируя, что и отклонение направления подачи, и высота гребешка обратно пропорциональны радиусу кривизны. На основе этой зависимости была предложена стратегия адаптивного поперечного шага, учитывающего кривизну поверхности, что позволяет обеспечить постоянство допустимой погрешности по всей обрабатываемой поверхности.

Сравнение стратегий обработки с постоянным и адаптивным шагом показывает, что адаптивный подход значительно снижает разброс погрешностей и повышает общую точность обработки поверхности. Этот результат подтверждает важность учета геометрических особенностей поверхности при выборе режимов обработки вместо использования исключительно эмпирических методов оптимизации.

Хотя стандартные контроллеры ЧПУ не поддерживают прямую реализацию непрерывного адаптивного поперечного шага с учетом кривизны, предложенная модель обеспечивает теоретическую основу для генерации траектории движения инструмента с постоянной высотой гребешка, доступной в современных CAM-системах. Таким образом, результаты данного исследования имеют практическое значение для повышения эффективности и точности обработки в промышленных приложениях.

В дальнейшем планируется расширить предложенный подход на более сложные поверхности свободной формы, характеризующиеся ненулевой гауссовой кривизной, а также осуществить интеграцию оптимизации на основе кривизны в системы автоматического построения траекторий инструмента и интеллектуальные обрабатывающие системы.