Применение численных фундаментальных решений в методе точечных источников поля

Целью работы является получение интегрального уравнения, с помощью которого, используя известное фундаментальное решение другого уравнения, возможно численным методом найти фундаментальное решение линейного уравнения эллиптического типа. Вводится понятие численного фундаментального решения (ЧФР). Полученные таким образом численные фундаментальные решения (ЧФР) могут быть использованы при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа различной размерности с помощью метода точечных источников поля (МТИ). Результатом работы является создание эффективного численного метода решения краевых задач с использованием ЧФР. Это позволяет расширить круг решаемых с помощью МТИ задач. Таким образом, МТИ выступает в качестве универсального численного метода при решении краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа. Особенно эффективно применение предложенного способа при решении трехмерных задач Дирихле для уравнений со сферически симметричными фундаментальными решениями. В качестве тестовой задачи предложенным способом решено уравнение Шредингера для одномерного квантового осциллятора. Показано, что, используя фундаментальные решения уравнения Шредингера, полученные численно, удается найти собственные значения и собственные функции квантового осциллятора. Найденные собственные функции осциллятора соответствуют известным аналитическим решениям квантовой задачи. В качестве другого тестового примера решается двумерная краевая задача для уравнения Гельмгольца. В этом случае предварительно находится численное фундаментальное решение для уравнения Гельмгольца. Вычислены зависимости погрешности численного решения от числа узлов в области решения задачи. На основании полученных результатов делается вывод о перспективности предложенного численного метода.

фундаментальное решение, метод фундаментальных решений, метод точечных источников, метод интегрированных источников, дискретные источники, fundamental solution, method of fundamental solutions, point source method, integrated sources method, discrete sources

1. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. - Москва : Наука, 1991. - 352 с.

2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Advances in Computational Mathematics. - 1998. - Vol. 9. - P. 69-95.

3. Alves, C.-J.-S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C.-J.-S. Alves, C.-S. Chen // Advances in Computational Mathematics. - 2005. - Vol. 23 - P. 125-142.

4. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2010. - № 3. - С. 3-12.

5. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю. А. Бахвалов [и др.] // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2012. - № 5. - С. 17-21.

6. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ двух вариантов метода коллокаций при численном моделировании потенциальных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 1. - С. 17-19.

7. Князев, С. Ю. Решение трехмерных краевых задач для уравнений Лапласа с помощью метода дискретных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2015. - № 5. - С. 25-30.

8. Князев, С. Ю. Метод точечных источников для компьютерного моделирования физических полей в задачах с подвижными границами : дис. … д-ра техн. наук / С. Ю. Князев. - Новочеркасск, 2011. - 342 с.

9. Князев, С. Ю. Компьютерное моделирование потенциальных полей методом точечных источников / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков. - Ростов-на-Дону : Изд. центр ДГТУ, 2012. - 156 с.

10. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Известия Российской академии наук. Серия физическая. - 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1259-1261.

11. Князев, С. Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. - 2006. - № 4. - С. 43-47. - (Технические науки).

12. Князев, С. Ю. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 1. - С. 14-19.

13. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ различных вариантов использования метода точечных источников поля при моделировании температурных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Физико-математическое моделирование систем : мат-лы XII междунар. семинара. - Воронеж : Воронеж. гос. техн. ун-т, 2014. - С. 52-56.

14. Исследование стабильности термомиграции ансамбля линейных зон с помощью трехмерной компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Л. С. Лунин [и др.] // Вестник Южного научного центра. - 2015. - Т. 11, № 4. - С. 9-15.

15. Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15, № 1 (80). - С. 29-38.

16. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев [и др.] // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15, № 4 (83). - С. 13-23.

17. Князев, С. Ю. Математическое моделирование полей упругих деформаций методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ. - 2015. - № 5 (75). - С. 21-23.

18. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2014. - Т. 14, № 2 (77). - С. 15-20.

19. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 2. - С. 77-78.

20. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для неоднородных уравнений Гельмгольца методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 4. - С. 14-19.

21. Князев, С. Ю. Применение метода точечных источников поля при численном решении задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2016. - № 3 (545). - С. 11-17.

22. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Наука, 1963. - 703 с.

23. Владимиров, B. C. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. - 2-е изд., стереотип. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.