ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОЛИНОМОВ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ НАД ПОЛЯМИ ГАЛУА НЕЧЕТНОЙ МОЩНОСТИ И ПРИЛОЖЕНИЯ К КОДАМ РИДА-МАЛЛЕРА

Введение. Полиномы нескольких переменных над полями Галуа лежат в основе теории кодов Рида-Маллера, а также используются в ряде криптографических задач. В работе изучаются свойства таких полиномов, заданных над произвольными полями Галуа нечетной мощности. Для полученных результатов предложены два практических приложения: схема разделения  данных и декодер  кодов Рида-Маллера.

Материалы и методы. С использованием линейной алгебры, теории полей Галуа и общей теории полиномов нескольких переменных получены результаты, связанные с дифференцированием и интегрированием полиномов нескольких переменных над полями Галуа нечетной мощности. Для векторов построен и изучен аналог оператора дифференцирования.

Результаты исследования. На основе полученных результатов о дифференцировании и интегрировании полиномов предложен новый декодер для кодов Рида-Маллера  второго  порядка  и  предложена  схема организации разделенной передачи конфиденциальных данных, т.е. такой системы связи, в которой исходные данные на стороне отправителя разделяются на несколько частей и, независимо друг от друга, передаются по различным каналам связи, а на стороне получателя из принятых частей восстанавливаются исходные данные. Особенностью предлагаемой схемы является то, что она позволяет защищать данные, как от нелегитимного доступа, так и от непреднамеренных ошибок, при этом в обоих  случаях  используется  один  и  тот  же математический   аппарат.   Разработанный   декодер   для кодов Рида-Маллера второго порядка, заданных над произвольным нечетным полем Галуа, может иметь некоторое ограничение по числу исправляемых ошибок, однако,   его   использование   целесообразно   для   ряда каналов связи.

Обсуждение и заключения. Предложенные практические приложения полученных результатов представляются полезными для организации надежных систем связи. В дальнейшем планируется исследование процесса восстановления исходного полинома по его производным, в случае их частичного искажения, и разработка соответствующих приложений.

1. Деундяк, В. М. Интегрируемость систем полиномов нескольких переменных первой и второй степени над простыми полями Галуа / В. М. Деундяк, А. В. Кнутова // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. — 2016. — №2. — С. 41–46.

2. Абросимов, А. С. Свойства бент-функций q-значной логики над конечными полями / А. С. Абросимов // Дискретная математика. — 1994. — № 3(6). — С. 50–60.

3. Логачев, О. А. Булевы функции в теории кодирования и криптологии / О. А. Логачев, А. А. Сальников, В. В. Ященко. — Москва: МЦНМО, 2004. — 470 с.

4. Мазуренко, А. Способ восстановления булевой функции нескольких переменных по ее производной / А. Мазуренко, Н. С. Могилевская // Вестник Донского гос. техн. ун-та. — 2017. — № 1 (88). — С.122–131.

5. Деундяк, В. М. Модель троичного канала передачи данных с использованием декодера мягких решений кодов Рида-Маллера второго порядка / В. М. Деундяк, Н. С. Могилевская // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Технические науки. — 2015. — № 1 (182). — С. 3–10.

6. Деундяк, В. М. Об условиях корректности декодера мягких решений троичных кодов Рида-Маллера второго порядка / В. М. Деундяк, Н. С. Могилевская // Владикавказский математический журнал. — 2016, — Т.18. Вып. 4. — C. 23–33.

7. Могилевская, Н. С. Пороговое разделение файлов на основе битовых масок: идея и возможное применение / Н. С. Могилевская, Р. В. Кульбикаян, Л. А. Журавлев / Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2011. — T.11. № 10. — С. 1749–1755.

8. Тормасов, А. Г. Обеспечение отказоустойчивости в распределенных средах / А. Г. Тормасов, М. А. Хасин, Ю. И. Пахомов // Программирование. — 2001. — Т.27, № 5. — С. 26.

9. Мищенко, В. А. Ущербные тексты и многоканальная криптография / В. А. Мищенко, Ю. В. Виланский. — Минск: Энциклопедикс, 2007. — 292 с.

10. Деундяк, В. М. Модель организации защищенного документооборота на базе распределенной передачи данных с аутентификацией / В. М. Деундяк, С. Б. Попова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 15, № 4. — С. 101–106.

11. Могилевская, Н. С. О применении порогового разделения данных для организации разделенной передачи на примере метода битовых масок [электронный ресурс] / Н. С. Могилевская // Инженерный вестник Дона. — 2017. — № 2. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_48_Mogilevskaya.pdf_492254b6f1.pdf (дата обращения :12.08.2017).

12. Сидельников, В. М. Декодирование кодов Рида-Маллера при большом числе ошибок / В. М. Сидельников, А. С. Першаков // Проблемы передачи информации. — 1992. — Т.28, №3. — С. 80–94.

13. Карякин, Ю. Д. Быстрое корреляционное декодирование кодов Рида—Маллера / Ю. Д. Карякин //Проблемы передачи информации. — 1987. — Том 23, № 2. — С. 40–49.

14. Paterson K. G., Jones A. E. Efficient decoding algorithms for generalized Reed-Muller codes // IEEE Transactions on Communications. 2000, Vol. 48. Issue 8. Pp. 1272 – 1285.

15. Pellikaan R., Wu X.-W. List decoding of q-ary Reed-Muller Codes // IEEE Trans. On Information Theory. 2004. Vol. 50. Issue 3. P. 679-682.

16. Santhi N. On Algebraic Decoding of q-ary Reed-Muller and Product Reed-Solomon Codes. - ISIT 2007 Conference, June 24 -29, Nice, France, 2007.

17. Деундяк, В. М. Методы помехоустойчивой защиты данных / В. М. Деундяк, А. Э. Маевский, Н. С. Могилевская. — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2014. — 309 с.

18. Ashikhmin A. E., Litsyn S. N. Fast Decoding of Non-Binary First Order Reed-Muller Codes // Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 1996. Vol. 7. Issue 4. pp. 299–308.