Применение обобщенного метода точечных источников поля для решения краевых задач математической физики^[

Введение. Целью работы является разработка нового универсального численного метода решения краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа. Материалы и методы. Предложенный метод основан на приведении исходного уравнения математической физики к более простому неоднородному уравнению с известным фундаментальным решением. Затем предлагается произвести переход к неоднородному интегральному уравнению с ядром, выражаемым через известное фундаментальное решение. Полученное интегральное уравнение совместно с граничными условиями решается численно. В результате было получено искомое приближенное решение, потенциал поля в аналитическом виде, что позволило не только находить приближенное значение потенциала поля в любой точке области решения, но и дифференцировать этот потенциал, причем без заметной потери точности. Это свойство разработанного численного метода выгодно отличает его от традиционных численных методов решения краевых задач, таких, например, как метод конечных элементов. Результаты исследования . Для подтверждения эффективности предложенного численного метода решена двумерная и трехмерная краевые задачи с известными решениями. Получены зависимости погрешности численного решения от числа линейных уравнений в результирующей системе. Показано, что даже при небольшом числе уравнений в системе (порядка нескольких сотен) достигается точность решения на уровне сотых долей процента. Еще одной важной иллюстрацией эффективности предложенного метода является решение квантово-механической задачи для одномерного и двумерного квантового осциллятора. Показано, что рассматриваемый метод позволяет находить собственные значения энергии и собственные функции с приемлемой точностью. Разработанный численный метод позволяет существенно расширить область применения традиционного метода точечных источников поля при решении прикладных задач моделирования полей различной физической природы, включая задачи на собственные значения. Обсуждение и заключения. Полученные результаты подтверждают, что физическое поле, описываемое практически любым линейным уравнением эллиптического типа, можно представить в виде суперпозиции полей точечных источников, удовлетворяющих более простому уравнению, решение которого находится с помощью метода точечных источников поля. Таким образом, представленный в данной работе численный метод можно рассматривать как обобщенный метод точечных источников поля.

фундаментальное решение, метод фундаментальных решений, метод точечных источников, уравнения эллиптического типа, краевая задача, fundamental solution, method of fundamental solutions, point source method, elliptic equations, boundary value problem

1. Fairweather G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. - 1998. - Vol. 9. - P. 69-95.

2. Alves C.J.S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C.J.S. Alves, C.S. Chen // Advances in Computational Mathematics. - 2005. - Vol. 23 - P. 125-142.

3. Бахвалов, Ю. А. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2012. - № 5. - С. 17-21.

4. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ двух вариантов метода коллокаций при численном моделировании потенциальных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 1. - С. 17-19.

5. Князев, С. Ю. Компьютерное моделирование потенциальных полей методом точечных источников / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков. - Ростов-на-Дону : Издательский центр ДГТУ, 2012. - 156 с.

6. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2010. - № 1. - С. 3-12.

7. Князев, С. Ю. Решение трехмерных краевых задач для уравнений Лапласа с помощью метода дискретных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2015. - № 5. - С. 25-30.

8. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2014. - Т. 14, № 2 (77). - С. 15-20.

9. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 2. - С. 77-78.

10. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для неоднородных уравнений Гельмгольца методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 4. - С. 14-19.

11. Князев, С. Ю. Применение метода точечных источников поля при численном решении задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2016. - № 3 (545). - С. 11-17.

12. Щербакова, Е. Е. Решения задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля / Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2016. - Т. 16, № 3 (86). - С. 87-95.

13. Князев, С. Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия : Технические науки. - 2006. - № 4. - С. 43-47.

14. Князев, С. Ю. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 1. - С. 14-19.

15. Лунин, Л. С. Исследование стабильности термомиграции ансамбля линейных зон с помощью трехмерной компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Л. С. Лунин, С. Ю. Князев, Б. М. Середин, А. С. Полухин, Е. Е. Щербакова // Вестник Южного научного центра. - 2015. - Т. 11, № 4. - С. 9-15.

16. Liviu Marin The MFS-MPS for two-dimensional steady-state thermoelasticity problems / Liviu Marin, Andreas Karageorghis // Eng. Anal. Bound. Elem. - 2013. - Vol. 37. Iss. 7-8. - P. 1004-1020.

17. Yan Gu Improved singular boundary method for elasticity problems / Yan Gu, Wen Chen, Xiaoqiao He // Comput. & Structures. - 2014. - Vol. 135. - P. 7-82.

18. Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15, № 1 (80). - С. 29-38.

19. Князев, С. Ю. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15, № 4 (83). - С. 13-23.

20. Князев, С. Ю. Математическое моделирование полей упругих деформаций методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Математические методы в технике и технологиях. - 2015. - № 5 (75). - С. 21-23.

21. Князев, С. Ю. Применение численных фундаментальных решений в методе точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2016. - Т. 16, № 4 (87). - С. 118-125.

22. Князев, С. Ю. Метод численного решения стационарного уравнения Шредингера / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2016. - Т. 59, № 10. - С. 87-92.

23. Князев, С. Ю. Интегральное уравнение для численного решения стационарных квантово-механических задач / С. Ю. Князев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2016. - Т. 16, № 3 (86). - С. 79-86.

24. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Наука, 1963. - 703 с.