Preview

Advanced Engineering Research

Расширенный поиск

Два способа организации скалярного произведения в методе граничных состояний

https://doi.org/10.23947/1992-5980-2020-20-1-15-24

Полный текст:

Аннотация

Введение. Исследуется влияние двух способов организации скалярного произведения на скорость сходимости решения в энергетическом методе граничных состояний. Основу метода исследования составляют пространства внутренних и граничных состояний, которые сопряжены изоморфизмом. Оба пространства ортонормируются, используя то или иное скалярное произведение. Искомое состояние раскладывается в ряд Фурье по элементам ортонормированного базиса, определяются коэффициенты этой линейной комбинации. Различие двух способов заключается в назначении скалярных произведений и вычислении коэффициентов Фурье.

Материалы и методы. Применительно к методу граничных состояний предложена новая теория организации скалярного произведения в пространствах внутренних и граничных состояний. Построены вычислительные алгоритмы ее практической реализации. В традиционном (первом) способе в качестве ортогонализатора в пространстве внутренних состояний используется внутренняя энергия упругого деформирования. Здесь коэффициенты Фурье представляют собой работу заданных сил на базисных векторах перемещения точек границы. В исследуемом (втором) способе скалярные произведения представляют собой интегралы от перекрестных произведений базисных векторов сил на границе. Соответственно коэффициенты Фурье вычисляются как интегралы произведения заданных сил на границе тела на базисные векторы сил.

Результаты исследования. Проведено численное исследование первой основной осесимметричной задачи теории упругости для трансверсально-изотропного цилиндра при отсутствии и при наличии массовых сил. При отсутствии массовых сил анализ упругих полей, полученных при одинаковом числе используемых базисных элементов, показал, что второй способ имеет наибольшую точность результатов. При наличии массовых сил второй способ не показал эффективности в плане единственности решения, однако он вполне пригоден для построения множества упругих полей, используемых в решении более сложных задач.

Обсуждение и заключения. Полученные результаты могут быть использованы в решении краевых задач механики не только анизотропного, но и изотропного тела. При решении более сложных задач, таких как контактные и смешенные, вопрос о скорости сходимости требует отдельного исследования.

Об авторе

Д. А. Иванычев
Липецкий государственный технический университет
Россия

Иванычев Дмитрий Алексеевич - доцент кафедры общей механики, кандидат физико-математических наук.

398055, Липецк, ул. Московская, 30.



Список литературы

1. Гоголева, О. С. Примеры решения первой основной краевой задачи теории упругости в полуполосе (симметричная задача) / О. С. Гоголева // Вестник Оренбургского государственного университета. — 2012. — № 9(145). — С. 138–142.

2. Володченков, А. М. Об одном методе решения первой основной задачи теории упругости для однородного анизотропного тела / А. М. Володченков, А. В. Юденков // Universum: Технические науки. — 2015. — № 6(18). — С. 1–9. ― URL : http://7universum.com/ru/tech/archive (дата обращения : 07.12. 2019).

3. Суходолова, Ю. С. О конечном элементе на основе вариационного принципа Кастильяно для плоских задач теории упругости / Ю. С. Суходолова, Н. А. Труфанов // Вестник Пермского национального исследовательско-го политехнического университета. Механика. — 2012. — № 1. — С. 168–178.

4. Пожарский, Д. А. Сравнение точных решений контактных задач для трансверсально изотропного полупространства / Д. А. Пожарский, Д. Б. Давтян // Вестник Донского государственного технического университета. — 2015. — № 15(1). — С. 23–28. DOI: https://doi.org/10.12737/10371.

5. Иванычев, Д. А. Метод граничных состояний в приложении к осесимметричным задачам для анизотропных тел / Д. А. Иванычев // Вести вузов Черноземья. — 2014. — № 1. — С. 19–26.

6. The method of boundary states in problems of torsion of anisotropic cylinders of finite length / D. A. Ivanychev [et al.] // International Transaction Journal of Engineering, Management, & Applied Sciences & Technologies. — 2019. — Vol. 10, iss. 2. — P. 183–191. DOI: https://doi.org/10.14456/ITJEMAST.2019.18.

7. An algorithm for full parametric solution of problems on the statics of orthotropic plates by the method of boundary states with perturbations / V. B. Penkov [et al.] // Journal of Physics: Conf. Series. — 2018. — Vol. 973, iss. 012015. — 10 p. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/973/1/012015.

8. An algorithm for analytical solution of basic problems featuring elastostatic bodies with cavities and surface flaws / V. B. Penkov [et al.] // Journal of Physics: Conf. Series. — 2018. — Vol. 973, iss. 012016. — 11 p. DOI: https://doi.org/10.1088/1742–6596/973/1/012016.

9. Using computer algebra to construct analytical solutions for elastostatic problems / V. B. Penkov [et al.] // Journal of Physics: Conf. Series. — 2019. — Vol. 1203, iss. 012020. — 12 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1203/1/012020.

10. Penkov, V. B. The use of the method of boundary states to analyse an elastic medium with cavities and inclusions / V. B. Penkov, L. V. Satalkina, А. S. Shulmin // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2014. — Vol. 78, iss. 4. — P. 384–394. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2014.12.010.

11. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Дальневосточный математический журнал. — 2001. — Т. 2, № 2. — С. 115–137.

12. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела. / С. Г. Лехницкий. — Москва : Наука, 1977. — 416 с. 13. Александров, А. Я. Пространственные задачи теории упругости / А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев. — Москва : Наука, 1978. — 464 с.


Для цитирования:


Иванычев Д.А. Два способа организации скалярного произведения в методе граничных состояний. Вестник Донского государственного технического университета . 2020;20(1):15-24. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2020-20-1-15-24

For citation:


Ivanychev D.A. Two ways of organizing scalar product in the boundary state method. Vestnik of Don State Technical University . 2020;20(1):15-24. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2020-20-1-15-24

Просмотров: 83


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2687-1653 (Online)