Устойчивость нелинейно-упругой пластины при боковом сжатии

Введение. Если круглая пластина нагружена по боковой поверхности, возможны потеря ее устойчивости и выпучивание. Данную проблему можно решить с учетом бифуркации. В этом случае пластина рассматривается как нелинейно-упругое тело. В задачах устойчивости нелинейной упругости важен выбор зависимости между напряжениями и деформациями. В ранних работах, посвященных этой проблеме, рассматривались простые законы состояния (конститутивные уравнения). В качестве примера можно привести материал «гармонического типа» Сенсенига.

Материалы и методы. Для круглой пластины из материалов Мурнагана и Блейтца и Ко получены уравнения нейтрального равновесия. В предположении однородной начальной деформации рассмотрена задача устойчивости этой пластины. Строгие трехмерные уравнения нейтрального равновесия позволяют исследовать смежные формы равновесия с учетом физической и геометрической нелинейности. Вывод этих уравнений основан на теории наложения малой деформации на конечную.

Результаты исследования. Продвижение в решении соответствующего векового уравнения (с нелинейным вхождением параметра) для практически важных законов упругости Мурнагана и Блейтца и Ко возможно лишь с использованием численных методов. Разработанный метод расчета бифуркационных значений параметров нагрузки дает возможность проанализировать влияние нелинейности.

Обсуждение и заключение. Исследовано влияние физической и геометрической нелинейности на величину верхнего критического значения параметра начальной деформации. Полученные результаты могут быть использованы при оценке достоверности модулей упругости третьего порядка для разных физических материалов. Данные об этих модулях пока малочисленны. Численные исследования показали, что к приведенным в некоторых источниках константам следует относиться с осторожностью. Обсуждается также использование модулей упругости в законе состояния Блейтца и Ко.

1. Azarov, A. D. Description of non-linear viscoelastic deformations by the 3D mechanical model/ A. D. Azarov, D. A. Azarov // Physics, Mechanics of New Materials and Their Applications : proc. of the International Conference, devoted to the 100th Anniversary of the Southern Federal University / Eds. Ivan A. Parinov, Shun-Hsyung, Vitaly Yu. Topolov. — New York : Nova Science Publishers. — 2016. — Ch. 49. — P. 367-375.

2. Азаров, Д. А. Механико-геометрическое моделирование в нелинейной теории упругости / Д. А. Азаров, Л. М. Зубов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.—2016. — № 3(191).—С.5-12.

3. Калашников, В. В. Использование модели материала Мурнагана в задаче плоского изгиба упругого стержня/ В.В.Калашников, М. И. Карякин // Труды Ростовского государственного университета путей сообщения. —2006. —№2(3). — С.56-65.

4. Роговой, А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций / A.А. Роговой// Прикладная механика и техническая физика.—2005.— Т.46, №5. —C. 138-149.

5. Aidy, A. A Review of Constitutive Models for Rubber-Like Materials / A.Aidy, M.Hosseini, B.B. Sahari // American Journal of Engineering and Applied Sciences. — 2010. —№3(1).—P.232-239.

6. Gent, A. N. Engineering with rubber / A. N. Gent. — Munchen : Carl Hanser Verlag & Co. KG, 2012. — P.451.

7. Greaves, G. N. Poisson's ratio and modern materials / G. N. Greaves, A. L. Greer, R.S.Lakes, T.Rouxel// Nature Materials. —2011. — № 10. —P.823-837.

8. Marckmann, G. Comparison of hyperelastic models for rubber-like materials /, G. Marckmann, E.Verron// Rubber Chemistry and Technology, American Chemical Society. —2006. —№79(5). —P.835-858.

9. Азаров, А. Д. Трехмерная механическая модель для описания больших упругих деформаций при одноосном растяжении / А.Д.Азаров, Д.А. Азаров// Вестник Донского государственного технического университета.—2011. —Т.11, №2(53). — С.147-156.

10. Еремеев, В. А. Механика упругих оболочек / В. А. Еремеев, Л.М.Зубов. — Москва : Наука, 2008. —280с.

11. Sensenig,C.B. Instability of thick elastic solids / C.B.Sensenig// Communications on pure and applied mathematics. — 1964. —Vol.XVII.—P.451-491.

12. Зубов, Л. М. Выпучивание пластинок из неогуковского материала при аффинной начальной деформации / Л. М. Зубов // Прикладная математика и механика.—1970.—Т.34, вып.4.—С.632-642.

13. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости /А. И. Лурье. — Москва : Наука, 1980. — 5 12 с.

14. Волокитин, Г. И. Устойчивость нелинейно-упругого цилиндра при боковом давлении и осевом сжатии/ Г.И.Волокитин//Прикладная математика и механика.—1982.— Т.42, вып.2. —С.289-295.

15. Волокитин, Г. И. Условия бифуркации равновесия сферы / Г.И.Волокитин, Д.В.Моисеев// Современные проблемы механики сплошной среды : тр. XV междунар. конф. — Ростов-на-Дону : Изд-во ЮФУ, 2011. —Т.1. — С.69-73.

16. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. —Москва: Наука, 1968. —576с.

17. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш.—Москва: Наука, 1968. — 3 52 с.