Frequency function and damping function in assessment of dynamic processes in mechanical oscillatory systems with symmetry

Introduction. A new approach to the formation of the methodological basis of system analysis in the application to the problems on mechanical oscillatory structure dynamics is considered. The study objective is to develop a method forevaluating properties of the mechanical oscillatory systems with account for viscous friction forces based on frequency functions and damping functions that depend on the so-called coefficient of connection forms, which is the ratio of characteristics of generalized coordinates.

Materials and Methods. The graphoanalytical methods used for evaluating the dynamic properties of mechanical oscillatory two-degree-of-freedom systems are based on determining the extreme values of the frequency functions and the damping function, which are determined from the relations between the kinetic, potential energy and the values of the energy dissipation function. Mathematical models are based on Lagrange formalism, matrix methods, and elements of the theory of functions of a complex variable.

Results. A method is proposed for constructing frequency functions and damping functions for a class of mechanical oscillatory two-degree-of-freedom systems based on the analytical expressions that reflect features of the ratio of the potential and kinetic energy of the system considering viscous friction forces represented by the dissipative function. General analytical expressions for the frequency function and the damping function are derived. Graphoanalytical analysis of extreme properties of the corresponding frequency functions and damping functions is performed for mechanical vibrational systems with elastic-damping elements with symmetry properties. The results of numerical experiments are presented. A criterion for classifying frequency functions and damping functions based on the topological features of the graphs of the corresponding functions is proposed.

Discussion and Conclusions. The developed method for constructing frequency functions and damping functions can be used to display the dynamic features of mechanical oscillatory systems. The proposed matrix method for constructing a frequency-damping function for a two-degree-of-freedom system can be extended to the mechanical vibrational systems considered in different coordinate systems.

1. Clarence W. de Silva. Vibration: Fundamentals and Practice / Clarence W. de Silva // Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. — 957 p.

2. Iwnicki, S. Handbook of railway vehicle dynamics / S. Iwnicki // Boca Raton: CRC Press, 2006. — 552 p. DOI: 10.1201/9781420004892

3. Banakh, L. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure / L. Banakh, M. Kempner // Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. — 262 p. DOI: 10.1007/978-3-642-03126-7

4. Karnovsky, I.A. Theory of Vibration Protection / I.A. Karnovsky, E. Lebed // Switzerland: Springer International Publishing, 2016. — 708 p.

5. Eliseev, S.V. Theory of Oscillations: Structural Mathematical Modeling in Problems of Dynamics of Technical Objects / S.V. Eliseev, A.V. Eliseev // Springer International Publishing, Cham, 2020. — 521 p.

6. Eliseev, S. V. Dynamics of mechanical systems with additional ties / S.V. Eliseev, A.V. Lukyanov, Yu. N. Reznik [et al.] // Irkutsk: Irkutsk State University, 2006. — 316 p.

7. Rocard, Y. General Dynamics of Vibrations / Y. Rocard // Paris: Masson, 1949. — 458 p.

8. Елисеев, А. В. Динамика машин. Системные представления, структурные схемы и связи элементов: монография / А. В. Елисеев, Н. К. Кузнецов, А. О. Московских. — Москва : Инновационное машиностроение, 2019. — 381 с.

9. Елисеев, С. В. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем / С. В. Елисеев, А. И. Артюнин. — Наука : Новосибирск, 2016. — 459 с.

10. Стретт, Дж. В. Теория звука / Дж. В. Стретт. — Москва : ГИТТЛ, 1955. — Т. 1. — 503 с.

11. Елисеев, С. В. Прикладной системный анализ и структурное математическое моделирование (динамика транспортных и технологических машин: связность движений, вибрационные взаимодействия, рычажные связи): монография / С. В. Елисеев; отв. ред. А. И. Артюнин. — Иркутск : ИрГУПС, 2018. — 692 с.

12. Хоменко, А. П. Развитие энергетического метода определения частот свободных колебаний механических систем / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2016. — № 1 (49). — С. 8-19.

13. Елисеев, С. В. О возможностях использования дополнительных связей инерционного типа в задачах динамики технических систем / С. В. Елисеев, Н. К. Кузнецов, Р. С. Большаков, Д. Х. Нгуен // Вестник Иркутского государственного технического университета. — 2016. — № 5 (112). — С. 19-36.

14. Определение частот собственных колебаний механических колебательных систем : особенности использования частотной энергетической функции. Часть I. / С. В. Елисеев, Р. С. Большаков, Д. Х. Нгуен, К. Ч. Выонг // Вестник Иркутского государственного технического университета. — 2016. — № 6 (113). — С. 26-33.

15. Определение частот собственных колебаний механических колебательных систем: особенности использования частотной энергетической функции. Часть II / С. В. Елисеев, Р. С. Большаков, Д. Х. Нгуен, К. Ч. Выонг // Вестник Иркутского государственного технического университета. — 2016. — № 7 (114). — С. 10-23.