Выбор и идентификация модели упруговязкопластичности наполненного фторкомпозита по данным испытаний на свободное и стесненное сжатие

Введение. Наполненные композиты на основе политетрафторэтилена (ПТФЭ) обладают свойствами, позволяющими работать в широком диапазоне температур при высоких контактных давлениях и возвратно - поступательном скольжении по контртелу. Благодаря этому названные материалы применяют в качестве антифрикционных слоев опорных частей с шаровым сегментом для мостов^1, 2. ПТФЭ как основа для антифрикционных полимерных композитов в широком диапазоне температур демонстрирует высокую стабильность свойств и исключительно низкие коэффициенты трения, скольжения и покоя. Введение наполнителей помогает без значительного увеличения коэффициентов трения существенно повысить износостойкость, жесткость и предел текучести, а также снизить ползучесть композита. Реологические свойства антифрикционного материала должны обеспечивать работоспособность в процессе эксплуатации изделия в диапазоне температур от менее ‒50 до +50 °С:

• при расчетных значениях сжимающей нагрузки не менее 60 МПа;
• при ее пиковых значениях до 150 МПа;
• при нормированном размахе циклических сдвиговых деформаций.

Имеет значение также предсказуемость изменения свойств и толщины антифрикционного слоя при его монтаже в шарнир.

При эксплуатации рассматриваемых материалов приходится оценивать работоспособность антифрикционных слоев опорных частей с шаровым сегментом, прогнозировать ресурс на весь срок службы (до 50 лет). Для этого необходимо строить и идентифицировать по данным базовых экспериментов адекватные определяющие уравнения упруговязкопластичности. Модели, описывающие реологическое поведение наполненных фторкомпозитов, также важны для расчетов эксплуатационных свойств уплотнений валов и штоков в мощных дизельных агрегатах³. Для расчета поведения изделий под нагрузкой при монтаже (на коротких отрезках времени) важно корректное описание моделями пластических (упругопластических, вязкопластических) свойств материала. Для расчета поведения изделий в процессе эксплуатации (на длинных отрезках времени) необходимо адекватное представление явлений релаксации, ползучести и циклической ползучести (рэтчетинга).

В литературе редко встречаются реологические модели наполненных фторкомпозитов, описывающие циклы нагрузки, выдержки и разгрузки в широких диапазонах времени и скоростей деформаций. Можно указать лишь работу [1], удовлетворяющую всем этим требованиям. В ней предложена модель, соответствующая параллельному соединению эндохронного и нелинейно-вязкого элементов. Данной моделью описаны все испытания⁴ одноосным растяжением при комнатной температуре. Речь идет о:

В [2] представлена тензорная геометрически нелинейная модель. Она описывает поведение наполненных фторкомпозитов при различных монотонных и циклических историях нагружения в различных напряженных состояниях и при произвольных температурах. Учитывается вязкопластический реологический элемент в последовательном соединении с вязкоупругим. Эта модель в целом удовлетворительно описывает кривые, соответствующие экспериментам [1], но она существенно сложнее и требует 14 материальных констант. В [3] для описания циклов микроиндентирования наполненного фторкомпозита используется модель [4]. Ее реологическая структурная схема схожа с [2], но учитывает спектр времен релаксации вязкоупругого элемента.

Модель [5] предназначена для описания особенностей упругопластического поведения твердых полимеров при циклическом одноосном нагружении. Эволюционные уравнения для ее внутренней переменной, напряжений и пластических деформаций имеют нелинейные перекрестные связи, поэтому модель не соответствует какой-либо реологической структурной схеме. Используется мера внутреннего времени, характерная для эндохронной теории пластичности. Для идентификации модели требуется 21 константа.

Нелинейная одномерная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла [6–9] содержит всего две материальные функции. Она описывает неполное восстановление деформаций в цикле нагрузки-разгрузки и циклическую ползучесть (рэтчетинг) при несимметричных циклах нагружения. Для моделей нелинейной вязкоупругости с операторами дробного интегродифференцирования характерна гибкость при малом числе материальных констант и функций [7]. Необходимо исследовать применимость подобных нелинейных моделей для описания поведения полимерных материалов в цикле нагружения и разгрузки с выдержками [10–13]. Работы [14][15] посвящены идентификации линейных моделей вязкоупругости по результатам испытаний индентированием. В [16][17] для этой цели используются результаты динамического механического анализа, однако существенная нелинейность исследуемых в настоящей работе материалов не позволяет воспользоваться данной методикой. В [18][19] экспериментально исследуется рэтчетинг ПТФЭ композитов, но отсутствует математическое описание результатов.

В [8] представлена методика идентификации модели изотропного упругопластического поведения наполненных композитов на основе ПТФЭ и сверхвысокомолекулярного полиэтилена на основе экспериментальных данных по свободному и стесненному сжатию. Благодаря особенности реологии пластмасс [9] к ним применимы методы [10]. Такой подход позволяет определить:

• функцию упругой объемной сжимаемости;
• функцию упрочнения для сдвиговых упругопластических свойств в рамках теории пластического течения.

Итак, условия эксплуатации рассматриваемых изделий, механические свойства полимерных материалов и представленный анализ литературы служат основой для дальнейших изысканий. Выделим базовое испытание на свободное сжатие цилиндрических образцов 20×20 мм. Оно состоит из циклов нагрузки до деформации 0,1, кратковременной выдержки 15 мин. и разгрузки с последующей выдержкой 15 мин. Так можно определить данные для описания упругой, пластической и вязкой составляющих деформации, релаксации и обратной ползучести с остаточными деформациями. Аналогичное определение твердости предусмотрено стандартом⁶.

Интересуют, в первую очередь, возможности описания экспериментальных данных при комнатной температуре простейшими моделями упруговязкопластичности типа предложенных в [1] и [4], которые отличаются структурными схемами.

Материалы и методы. В качестве моделируемого материала выбрали композит на основе ПТФЭ ПН90, наполненного 40 масс. % мелкодисперсной бронзы. Цилиндрические образцы диаметром и высотой по 20 мм изготавливались прессованием и спеканием смеси порошков³. Для выбора и последующей идентификации модели провели эксперименты:

• на стесненное сжатие с единственной ненулевой компонентой тензора деформации;
• на свободное сжатие с единственной ненулевой компонентой тензора напряжений.

В первом случае трение по боковой границе исключалось смазкой, во втором — тонкой пленкой из ПТФЭ и смазкой.

• недеформированного образца (1);
• того же образца повторно (2);
• образца после циклического испытания, приведенного на рис. 1 (3).

Испытания одного и того же образца проводились через сутки.

Объемные свойства определялись из третьего испытания (рис. 2 а), в котором отсутствуют остаточные деформации. В настоящей работе объемные деформации полагаются нелинейно упругими. Данные описываются квадратичной зависимостью:

(1)

Здесь σ, ε ― осевые компоненты тензоров напряжений Коши и логарифмических деформаций; M― модуль стесненного сжатия, который связан с модулем объемного сжатия K соотношением:

(2)

где E_∞ ― равновесный модуль Юнга (не зависит от объемной деформации); ― компоненты тензора логарифмических деформаций.

Значение E_∞ = 690 МПа получили с наклоном кривой σ(ε) при одноосном сжатии в окрестности σ - 1МПа и релаксации 8,65 %.

Используя (1), (2) и поправку 9,38 % на податливость машины в испытании на стесненное сжатие, можно получить искомую зависимость K(ε_v), которая слабо (максимум на 0,03 %) отличается от линейной:

(3)

где ― компоненты тензора напряжений Коши.

Эксперименты для определения связи между средним напряжением и объемной деформацией проводятся на образцах, предварительно испытанных стесненным сжатием с необратимой объемной деформацией. То же касается и экспериментов на свободное сжатие, описанных ниже и необходимых для определения связи девиаторных частей тензоров напряжений и деформаций. В результате модель отражает свойства уплотненного материала. На производстве процессы, связанные с необратимой объемной деформацией, происходят во время опрессовки слоя антифрикционного полимерного материала при сборке конструкции опорной части и не влияют на дальнейшее поведение материала.

Испытания на одноосное сжатие проводили для определения соотношений между девиаторными частями тензоров напряжений и деформаций. На рис. 3 приводятся результаты опытов для трех значений скоростей деформаций . Далее данные этих экспериментов будут интерпретироваться в рамках одномерной модели. При формулировке трехмерной модели из этих соотношений может быть исключена упругая объемная часть.

При выборе подходящей модели оказалось, что экспериментальные данные, изображенные на рис. 3 не описываются соотношениями линейной вязкоупругой среды:

(4)

где σ(t), ε(t) ― истории напряжений и деформаций, применяемые для описания эластомеров и полимеров [10].

Были попытки использовать выражения для функций релаксации R(t) либо скорости релаксации Г(t) с различным числом параметров: сумма экспонент, дробно-экспоненциальная функция Работнова⁷, ядро Колтунова⁸, ядро из работы Т. Л. Смита⁹, ядро Кольрауша [10]:

(5)

Здесь ― материальные константы; Г ― гамма-функция, а также монотонная аппроксимация кубическими сплайнами по восьми точкам, координаты которых служили параметрами.

Рассматривались модели, в которых кроме вязких учитываются пластические необратимые деформации. Исследовались две базовые модели такого типа.

Базовая модель 1 (рис. 4 а) представляет собой соединение моделей [4] и [10] и предполагает последовательное соединение трех элементов.

1. Линейный вязкоупругий элемент с ядром Кольрауша [10]:

(6)

где ― материальные константы, первые две имеют физический смысл мгновенного и равновесного модулей.

2. Пластический элемент с линейным упрочнением:

(7)

где σ_u, k ― материальные константы.

3. Линейно-вязкий элемент:

(8)

где η ― материальная константа.

Итоговое выражение для деформаций:

(9)

Модель (6)–(9) решается относительно деформаций, поэтому для ее идентификации удобно располагать историями напряжений σ(t) (рис. 3 в).

Структурная схема базовой модели 2 (рис. 4 б), заимствованной из [1], представляет собой параллельное соединение двух элементов.

1. Эндохронный пластический элемент с нелинейной упругой частью:

(10)

гд ε_p ― внутренний параметр, имеющий смысл необратимой деформации элемента ; Y, A, B ― материальные константы.

2. Пара последовательно соединенных нелинейно-вязкого (2) и линейно-упругого (3) элементов:

(11)

(12)

где sign — знак аргумента; — материальные константы.

Результирующее выражение для напряжений:

(13)

Модель (10)–(13) решается относительно напряжений, поэтому для ее идентификации удобно располагать историями деформаций ε(t) (рис. 3 в). Выражение σ₁(t) в (13) вычисляется как решение системы алгебродифференциальных уравнений (10), а σ₂(t) — как решение системы (11), (12) с учетом ε(t) = ε₂(t) + ε₃(t)

Результаты исследования. Минимизация невязки между экспериментальными историями деформаций (рис. 3 б) и предсказаниями модели позволила найти семь материальных констант базовой модели 1:

(14)

В качестве поисковой процедуры использован симплекс-метод. Сравнение расчетных и экспериментальных данных приводится на рис. 5.

Минимизация невязки между экспериментальными историями напряжений (рис. 3 в) и предсказаниями модели позволила обнаружить семь материальных констант базовой модели 2:

(15)

При этом считались заданными истории деформаций (рис. 3 б). Сравнение расчетных и экспериментальных данных приведено на рис. 6.

Обсуждение и заключения. Рассмотренные одномерные модели обобщаются на пространственную формулировку, которая предполагает изотропию свойств и неизменность главных осей тензора деформаций в процессе нагружения. Для этого тензоры напряжений Коши и логарифмических деформаций разлагаются на шаровую и девиаторную части:

Связь между шаровыми частями σ_m и ε_v задается выражением (3). Связь между девиаторными частями s и e задается соотношениями, обобщающими (6)–(9) или (10)–(13) в зависимости от выбора базовой модели. Эти выражения следует переписать в терминах историй девиаторных частей s(t) и e(t), исключая из одноосного сжатия шаровую часть.

В качестве пространственного обобщения соотношений (7) для пластического элемента модели 1 рассматривается закон пластического течения, ассоциированный с критерием текучести Мизеса, с изотропным линейным деформационным упрочнением. Связь девиаторов будет выглядеть так:

где двоеточие означает операцию свертки тензоров A : B = A_ijB_ij, заданных компонентами в ортонормированном базисе.

Соотношения эндохронной теории пластичности (10) модели 2 также обобщаются в духе пластичности Мизеса, что приводит к следующей записи для девиаторов:

где dev означает девиатор тензора; λ_i, n_i — собственные числа и собственные векторы тензора .

Следует заметить, что авторы [1] использовали вариант модели с параметром эндохронности [14], равным единице. Представляется целесообразным рассмотрение этого параметра в качестве материальной константы, поскольку известно его влияние на описание переходных процессов после смен режимов нагружения.