Расчет на прочность зоны сопряжения плиты перекрытия и колонны монолитного железобетонного каркаса методом конечных элементов

В качестве основных конструкционных элементов монолитных железобетонных каркасов многоэтажных зданий выступают повторяющиеся фрагменты колонн и безригельных перекрытий, связанных бескапительными стыками [1].

Несмотря на многолетний опыт проектирования зданий с рамно-связевыми каркасами, в мировой практике известны случаи прогрессирующего разрушения данных объектов. Причины таких явлений главным образом обусловлены ошибками при проектировании зоны сопряжения перекрытий и колонн в сочетании с нарушением установленных правил эксплуатации зданий. Целью настоящего исследования является разработка инженерной методики прочностного расчета рамного каркаса многоэтажного здания из монолитного железобетона с учетом объемного характера напряженного состояния в зоне стыка перекрытия и колонны.

При конечно-элементном моделировании изгибаемых железобетонных конструкций обычно используют подход, основанный на представлении бетона двумерными или трехмерными конечными элементами (КЭ), построение которых базируется на принципах теории упругости. Армирующие стержни, как правило, моделируются балочными или ферменными КЭ соответствующей размерности. По способу ансамблирования объемных и стержневых КЭ различают следующие схемы представления армирования [2][3]: дискретно-распределенное, при котором координаты узлов разнотипных элементов совпадают (рис. 1 а); армирование с использованием так называемых встроенных конечных элементов (рис. 1 б). В последнем случае координаты узлов разнотипных КЭ не совпадают и предусматривается процедура «конденсации» элементов матриц жесткости стержневого элемента на смежные узлы объемного (основного) элемента (рис. 1 в). Отметим, что вычислительная технология встроенных КЭ применима исключительно для решения задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии. Причем основные КЭ должны быть изопараметрическими и поликвадратичными, а встроенные КЭ — прямолинейными ферменного типа (рис. 1 в).

В российской практике прочностного расчета монолитных зданий и сооружений из железобетона преимущественно используются узко специализированные программные комплексы ЛИРА-САПР и SCAD-Office [4][5], в которых для моделирования рамно-связевых каркасов применяется технология ансамблирования пластинчатых и балочных КЭ. При этом в зонах сопряжения перекрытий и колонн автоматически вводятся так называемые жесткие вставки, представляющие собой звездообразно расположенные балочные КЭ с искусственно завышенной изгибной жесткостью (рис. 2). Геометрия жесткой вставки соответствует поперечным размерам сечения колонны. Такой подход позволяет придать более физичный характер распределению изгибающих моментов в КЭ перекрытия.

Альтернативой жестким вставкам с балочными КЭ с завышенной жесткостью является процедура кооптирования (связывания) степеней свободы узлов пластинчатых элементов, примыкающих к узлу стержневого элемента, с соответствующими узловыми перемещениями и углами поворотов стержневых КЭ. Естественно, при таком подходе необходимо в местах сопряжений пластинчатых и стержневых КЭ предусмотреть сгущение сетки до размеров поперечных сечений колонн. Отметим, что рассмотренный подход также может быть программно автоматизирован.

Материалы и методы. В настоящее время разработчики конечно-элементных программных комплексов при построении матриц жесткости пластинчатых и оболочечных конечных элементов широко используют алгоритм MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components), базирующийся на процедуре независимой (раздельной) аппроксимации изгибных и сдвиговых деформаций. Цель данной процедуры состоит в исключении эффекта «заклинивания» или ложного сдвига.

Для моделирования колонн монолитных железобетонных каркасов применяют прямолинейные двухузловые балочные КЭ с шестью степенями свободы в узле, которые включают три перемещения в направлении локальных осей и соответствующие угловые перемещения.

В программном комплексе ANSYS Mechanical для расчета пространственных рамно-связевых каркасов предусмотрены пластинчатый четырехузловой КЭ SHELL63 и двухузловой балочный КЭ BEAM188¹. Анализ трехмерного напряженно-деформированного состояния конструкций из железобетона выполняют с помощью специального восьмиузлового элемента SOLD65.

На первом этапе расчета перекрытия и колонны каркаса моделируем соответственно пластинчатыми SHELL63 и балочными BEAM188 КЭ.

Отметим, что значения М_{𝑥 𝑚𝑎𝑥} , М_{𝑦 𝑚𝑎𝑥}, приведенные в таблице 1, относятся к небольшим локальным зонам сопряжения колонн и перекрытий. Величины М_{𝑥 𝑚𝑖𝑛} и М_{𝑦 𝑚𝑖𝑛} распространяются по периметру каркаса между рядами крайних колонн.

Аналогичный расчет каркаса был выполнен с использованием программного комплекса ЛИРА-САПР. Значение максимального прогиба на первом этаже при аналогичном нагружении и механических постоянных материала, полученное с помощью программного комплекса ЛИРА САПР, составило u_z = –3,06 мм, что сопоставимо с расчетом в ANSYS u_z = –3,49 мм при шаге сетки на перекрытиях 0,2^* (таблица 1). При расчете с использованием комплекса ЛИРА-САПР на шаге построения «аналитической модели» в точках пересечения колонн и перекрытий включались «контуры продавливания», опосредованно влияющие на изгибную жесткость перекрытий в сторону ее увеличения.

В таблице 2 приведены значения экстремальных изгибающих моментов для перекрытия первого этажа, полученные с помощью ANSYS (шаг сетки 0,2^* м) и ЛИРА-САПР (шаг сетки 0,395 м). Следует отметить, что в комплексе ЛИРА-САПР для количественной оценки значений М_𝑥 и М_𝑦 введена шкала погонных изгибающих моментов, т. е. результирующие моменты приведены к полосе плиты шириной 1 м.

Из представленных в таблице 2 данных видно, что полученные с использованием ANSYS и ЛИРА-САПР одноименные экстремальные моменты существенно различаются по величине. Данное обстоятельство объясняется наличием в исследуемой конечно-элементной модели локальных зон концентрации внутренних усилий в местах сопряжения пластинчатых и стержневых КЭ. Причем принятые размеры пластинчатых КЭ в обоих комплексах не позволяют точно смоделировать градиенты изменения изгибающих моментов в указанных зонах концентрации.

Анализируя результаты расчета каркаса по пластинчато-стержневой схеме приходим к выводу, что данная модель не позволяет исследовать детальную картину напряженного состояния конструкции. В частности, не удается проанализировать зоны растягивающих нормальных напряжений 𝜎_𝑥, 𝜎_𝑦, 𝜎_𝑧, возникающих в местах сопряжения колонн и перекрытий. В этой связи актуальной является задача построения расчетной модели повторяющегося фрагмента каркаса, позволяющей выполнить численное исследование объемного напряженнодеформированного состояния, в том числе с учетом армирования. На рис. 3 изображен план перекрытия рассматриваемого каркаса с выделенными повторяющимися фрагментами a, b, c. Область повторяющегося фрагмента а является объектом дальнейшего исследования.

Для моделирования объемного напряженно-деформированного состояния повторяющегося фрагмента применим восьмиузловой КЭ типа SOLID185 с тремя степенями свободы в узле.

На рис. 4 представлена расчетная схема повторяющегося фрагмента а рассматриваемого каркаса. Приведенная расчетная схема относится к первому этажу каркаса. Здесь сосредоточенная сила Р =72,6 кН взята из эпюры продольных сил, полученной с использованием пластинчато-стержневой модели каркаса. При этом сосредоточенную силу Р преобразуем к статически эквивалентному давлению q_к = 453,5 кПа, действующему на площадке 0,2×0,2 м (1∕4 часть сечения колонны). Статические граничные условия u̅_X, u̅_Y, u̅_Z накладываются на узлы КЭ с учетом циклической симметрии картины деформации перекрытия. Соответствующая конечно-элементная модель фрагмента, построенная на базе объемных КЭ типа SOLID185, приведена на рис. 5. В данном случае шаг сетки объемных КЭ принят равным 0,1 м. Давление на фрагмент перекрытия и 1/4 части колонны прикладываем с помощью элемента SURF154².

Результаты сравнения жесткостных свойств пластинчато-стержневой и объемной конечно-элементных моделей рассматриваемого фрагмента каркаса в виде картин распределения перемещений u_Z приведены на рис. 6. Картины распределения u_Z на рис. 6 б и рис. 6 в соответствуют расчетам фрагмента с учетом и без учета силы Р. Как видно из представленных результатов, расчет без учета силы Р (рис. 6 в) дает значения перемещений, наиболее близкие к данным пластинчато-стержневой модели. Дальнейшие численные эксперименты будем проводить с учетом нагружения колонны фрагмента давлением q_к.

Выполним исследование влияния армирования на напряженно-деформированное состояние рассматриваемого фрагмента каркаса. Считаем, что перекрытия каркаса безригельные и бескапительные. Рассмотрим три схемы моделирования армирования части перекрытия, принадлежащей фрагменту: 1 — дискретное армирование с использованием стержневых КЭ (BEAM188); 2 — дискретное армирование с использованием ферменных КЭ (LINK180); 3 — распределенное армирование с использованием пластинчатых КЭ (SHELL63). Следует отметить, что моделирование арматуры посредством ферменных КЭ также подходит для расчета преднапряженных железобетонных конструкций³ [1][6][7].

Армирующие сетки выполнены из стержней следующего диаметра: фоновое армирование (по всей плоскости перекрытия) — 10 мм; армирование ригелей — 12 мм; армирование капители — 16 мм. Диаметры стержней для поперечного армирования ригелей и капителей имеют значения, аналогичные вышеприведенным. Армирующие стержни колонны диаметром 12 мм расположены по углам сечения.

Назначенные значения диаметров армирующих стержней взяты на основании прототипа [8–10]. Для моделирования арматуры используем балочные или ферменные КЭ.

Альтернативой модели дискретного армирования является подход, базирующийся на принципе «размазывания», так называемая модель распределенного армирования. Суть принципа «размазывания» в общем случае состоит в введении приведенного модуля упругости, являющегося функцией от модулей упругости компонентов неоднородного материала и их объемных концентраций. Однако расчетная практика [1] показала, что для железобетонных конструкций, работающих на изгиб, более реалистичные результаты дает введение дискретных армирующих слоев, эквивалентных объему, занимаемому армирующими стержнями. Геометрия таких слоев повторяет геометрию армирующих сеток. Для рассматриваемого фрагмента каркаса на рис. 8 показаны эквивалентные армирующие слои, моделируемые пластинчатыми КЭ типа SHELL63.

На основании условия равенства объемов армирующих элементов и совпадения геометрии зон армирования получим следующие толщины для эквивалентных армирующих слоев: слой фонового армирования — 1,6 мм; слои армирования ригелей — 1,1 мм, 0,74 мм, 1,2 мм, 0,78 мм; слои армирования капители — 5 мм, 2,7 мм.

В процессе вычислительного эксперимента исследовалась зависимость прогиба u_z в точке k и максимальных растягивающих напряжений σ⁺_{x max} , σ⁺_{y max} , σ⁺_{z max} от принятой схемы армирования исследуемого фрагмента (рис. 4). В таблице 3 приведены результаты расчетов.

Анализ результатов показал, что применение пластинчатых КЭ приводит к существенному занижению максимальных растягивающих напряжений. Данные, полученные с использованием балочных и ферменных КЭ, практически совпадают, что объясняется низкой изгибной жесткостью армирующих стержней.

Важно подчеркнуть, что для рассмотренного варианта нагружения при использовании стержневых КЭ (BEAM188 и LINK180) в зоне сопряжения колонны и перекрытия условие прочности для напряжений σ⁺_{x max} и σ⁺_{y max} не выполняется.

На рис. 9 приведена визуализация процесса трещинообразования в плите перекрытия, полученная при моделировании бетона объемными восьмиузловыми КЭ SOLIDS65. Следует отметить, что в перекрытии появляются только микротрещины, граница которых хорошо согласуется с полем напряжений сдвига σ_xy в плоскости перекрытия (рис. 10).

Для моделирования физической нелинейности бетона использовалась модель Уиллама-Варнке [11] со следующими параметрами: коэффициент передачи сдвиговых усилий при открытой трещине — 0,3; коэффициент передачи сдвиговых усилий при закрытой трещине — 0,7; коэффициент понижения жесткости при образовании трещины в результате растяжения — 0,6.

Обсуждение и заключения

1. На основании выполненного линейно-упругого расчета монолитного каркаса из железобетона доказано, что пластинчато-стержневая модель, широко используемая в практике проектирования, не позволяет количественно оценить величины растягивающих нормальных напряжений в зонах сопряжения плит перекрытий и колонн.
2. Разработана методика численного моделирования объемного напряженно-деформированного состояния в месте сопряжения перекрытия и колонны монолитного железобетонного каркаса, позволяющая оценить фактический запас прочности данного узла, а также уточнить несущую способность соответствующего здания или сооружения при различных сценариях нагружения.