Выпучивание прямоугольных пластин при нелинейной ползучести

Введение. Анализу устойчивости тонкостенных конструкций в виде пластин и оболочек уделяется большое внимание, поскольку такие конструкции широко используются в строительстве и других областях техники [1–3]. Одной из актуальных задач в области расчета пластин и оболочек является анализ их напряженно-деформированного состояния в условиях ползучести, что подтверждается значительным числом работ, опубликованных в последнее время по данной проблеме в отечественных и зарубежных источниках. Так, в работах [4–8] исследуются вопросы выпучивания при ползучести композитных тонкостенных конструкций. В статье [9] рассматривается задача устойчивости функционально-градиентных пластин с учетом зависимости свойств материала от температуры. В работе [10] в задаче выпучивания композитных пластин применены методы стохастического анализа. В статьях [11–17] изложены вопросы устойчивости вязкоупругих пластин и оболочек при воздействии динамической и следящей нагрузки, а в статье [18] рассматриваются пластины средней толщины с учетом зависимости свойств материала от времени. Возникающие при решении указанных задач математические трудности приводят к тому, что многие исследователи ограничиваются линейными законами вязкоупругого деформирования или рассматривают случай установившейся ползучести. Большие возможности в задачах расчета пластин и оболочек с учетом ползучести открывает метод конечных элементов. Однако в современные расчетные комплексы, такие как ANSYS, Abaqus, ЛИРА и др., заложен ограниченный набор реологических моделей, применимых для конкретных материалов в фиксированном диапазоне напряжений и температур. Существует необходимость в альтернативных методах расчета, подходящих для произвольных законов вязкоупругого деформирования, в том числе нелинейных.

Целью настоящей работы явилось построение системы разрешающих уравнений для задачи выпучивания пластин прямоугольной формы с нелинейными вязкоупругими свойствами при действии усилий в срединной плоскости, с учетом больших перемещений, а также алгоритма ее решения. Отметим, что проблема устойчивости элементов конструкций с учетом ползучести не может быть решена, как проблема чистой устойчивости. Ее решение требует наличия возмущений в виде начальных неправильностей. Обычно начальные несовершенства задаются в виде начальной погиби или эксцентриситетов приложения нагрузок.

Материалы и методы. Методику расчета рассмотрим на примере пластинки с начальной погибью w₀(x,y), имеющей шарнирное опирание по контуру и сжимаемой в направлении оси x распределенной нагрузкой p [кН/м] (рис. 1).

В рассматриваемом случае при наличии ползучести, если сравнивать с теорией упругих гибких пластин, отличие будет проявляться только в форме физических уравнений. Полные деформации могут быть представлены в виде суммы деформаций срединной плоскости (переходящей в поверхность) и изгибных деформаций, которые вызваны изменением показателей кривизны срединной поверхности:

(1)

где

и — полные линейные деформации;

— полные угловые деформации;

и — линейные деформации срединной поверхности;

— угловые деформации срединной поверхности.

Для деформаций срединной поверхности может быть записано уравнение неразрывности деформаций [19]:

(2)

Для материалов с вязкоупругими свойствами полные деформации можно представить в виде:

(3)

где

— деформации ползучести;

E — модуль упругости;

— коэффициент Пуассона;

σ_x, σ_y, τ_xy — величины компонентов напряжений по соответствующим направлениям.

Выразив в (3) компоненты напряжений через деформации, запишем физические соотношения в обратной форме:

(4)

Связь внутренних силовых факторов с напряжениями определяется интегральными соотношениями:

(5)

где

и — погонные продольные силы;

— погонные сдвигающие силы;

и — погонные изгибающие моменты;

— погонные крутящие моменты;

h — толщина пластинки.

Далее подставим (1) в (4), а также (4) в (5). В итоге получим:

 (6)

где

— цилиндрическая жесткость пластинки,

Величины имеют размерность внутренних усилий и определяют вклад деформаций ползучести в перераспределение усилий.

Статические уравнения теории гибких пластин имеют вид [19]:

 (7)

Здесь q — нормальная нагрузка по поверхности пластины, которая в данной задаче равна нулю.

Удовлетворить первым двум статическим уравнениям можно при помощи функции напряжений Эри, введенной по формулам:

(8)

После подстановки последних трех равенств из (6) в последнее статическое уравнение в (7) и с учетом (8), получим первое разрешающее уравнение:

(9)

где

Чтобы получить второе разрешающее уравнение, необходимо выразить из (6) деформации срединной поверхности:

(10)

Подставив (10) в (2), получим:

(11)

Таким образом, для рассматриваемой задачи получена система разрешающих уравнений из двух дифференциальных уравнений четвертого порядка (9) и (11). Уравнения (9) и (11) являются нелинейными. В полученных уравнениях величины и w представляют собой функции координат x, y, а также времени t. В явном виде в данных уравнениях время отсутствует, зависимость от времени закладывается в деформации ползучести , , , которые учитываются введением интегральных величин .

Для изображенной на рис. 1 расчетной схемы граничные условия записываются в виде:

(12)

Уравнение (11) при малых перемещениях, в случае пластины из упругого материала, представляет бигармоническое уравнение, которое используется для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях. Граничными условиями по функции напряжений для бигармонического уравнения может служить рамная аналогия. Контур пластины рассматривается как рама и функция напряжений на контуре будет равна в ней изгибающему моменту M, а ее производная по нормали к контуру — продольной силе N. Эпюры M и N в раме могут быть построены в одной из основных систем метода сил (ОСМС). Основная система, а также эпюры изгибающего момента и продольной силы в раме показаны на рис. 2.

Если вертикальные перемещения не превышают четверть толщины пластинки, то можно принять усилия в срединной поверхности не зависящими от координат x и y

() и использовать для расчетов линеаризованное уравнение:

(13)

Аналитическое решение системы уравнений (9) и (11) связано с большими трудностями. Авторы предлагают решать данную систему численно. Используется метод конечных разностей (МКР) в комбинации с методом последовательных приближений. Для определения деформации ползучести во временной области применяется метод Эйлера. В качестве первого этапа выполняется решение для упругой пластинки. Нагрузка p прикладывается ступенчато с небольшим шагом. При начальных значениях нагрузки прогибы w₁ вычисляются путем решения упрощенного уравнения (13). Затем выполняется подстановка вычисленных значений w₁ в дифференциальное уравнение (11). Это позволяет определить функцию напряжений. Следующим шагом является решение дифференциального уравнения (9) с использованием известных величин функции Ф, что позволяет определить узловые величины прогибов . После этого выполняется подстановка значений в уравнение (11). Повторение итерационного процесса на каждом шаге происходит до тех пор, пока относительное расхождение с нормами векторов узловых значений прогибов и больше заданного значения (авторами оно принималось равным 0,1 %). Для второго шага по нагрузке начальным значением в каждом узле выступает конечный результат, полученный на первом шаге. Методика расчета во временной области с учетом ползучести аналогична. Интервал времени, на котором исследуется процесс, делится на шаги ∆t. В случае задания закона вязкоупругого деформирования в дифференциальной форме величины деформаций ползучести на шаге t + ∆t вычисляются на основе известной скорости их роста в момент времени t с использованием аппроксимации по Эйлеру:

(14)

Блок-схема алгоритма расчета на ползучесть приведена на рис. 3.

Отметим, что система уравнений (9) и (11) позволяет использовать схемы более высокого порядка точности, например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка. При этом для достижения той же точности результатов можно задавать заметно большие шаги по времени. Однако при увеличении шага есть вероятность не уловить эффекты неустановившейся ползучести в начальные моменты времени. А при одинаковом шаге по времени метод Рунге-Кутта, по сравнению с методом Эйлера, требует выполнить в четыре раза больше операций.

Результаты исследования. Рассмотрена полимерная пластинка из поливинилхлорида размерами a = 2 м, b = 2 м, h = 1 см при E = 1480 МПа, ν = 0,3. В качестве закона, определяющего скорость роста деформаций ползучести, было принято нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича:

(15)

где

— символ Кронекера;

, — первый инвариант тензора напряжений;

, E_∞ и m — реологические параметры материала, называемые начальной релаксационной вязкостью, модулем высокоэластичности и модулем скорости.

Индексами rr в формуле (15) обозначено направление главных напряжений.

Для пластины из упругого материала без начальных несовершенств критическая нагрузка, в случае целого отношения сторон a/b, определяется по формуле [19]:

(17)

Для верификации разработанного алгоритма расчета первым этапом было выполнено решение тестовой упругой задачи и сравнение результатов с расчетом в конечно-элементном пакете ЛИРА-САПР (рис. 4). Величина стрелы начальной погиби f₀ задавалась равной 0,15 мм. Размер сетки при использовании МКР составлял 20×20, количество шагов по нагрузке — 200. При расчете в ПК ЛИРА-САПР выполнялось разбиение пластинки треугольными конечными элементами с шагом триангуляции 0,1 м. Величина шага по нагрузке принималась такая же, как и при использовании МКР. Значение критической нагрузки для упругой пластинки, вычисленное по формуле (17), составило 1340 Н/м. В таблице 1 показано сравнение вертикальных перемещений в центре пластинки для различных значений нагрузки, полученных по авторской методике и при помощи метода конечных элементов (МКЭ). Прогибы, вычисленные с использованием двух альтернативных методов, достаточно близки, за исключением нагрузки 1330 Н/м. Отклонение при этой величине нагрузки можно объяснить тем, что при приближении к критической нагрузке перемещения устремляются в бесконечность.

В статье [21] показана возможность перехода от решения упругой задачи расчета пластин к решению в конце процесса ползучести. Величину длительной критической нагрузки p_∞ можно получить, заменив цилиндрическую жесткость D упругой пластинки на длительную цилиндрическую жесткость D_∞, которая определяется по формуле:

(18)

где

Для вязкоупругих стержней и круглых пластин было ранее установлено, что в случае p < p_∞, рост перемещений во времени замедляется, и стрела прогиба приходит к конечному значению. Если p = p_∞, прогибы растут с постоянной скоростью. При p > p_∞ скорость роста прогибов возрастает.

Авторами также проведен анализ характера роста прогибов во времени для p < p_∞, p = p_∞ и p > p_∞ для различных значений максимальной начальной погиби f₀. Кривые изменения прогиба с течением времени в центре пластины при p = 0,9 p_∞, p = p_∞ и p = 1,1 p_∞ приведены соответственно на рис. 5–7.

Обсуждение и заключение. Из рис. 5 видно, что при p < p_∞ стрела прогиба всегда приходит к конечному значению, независимо от значений начальных несовершенств. В то же время при p ≥ p_∞ полученный в [21] характер роста прогибов имеет место только при малых перемещениях. При достижении прогибами значений, превышающих примерно четверть толщины пластины, скорость роста деформаций начинает убывать даже в случае нагрузок, превышающих длительную критическую. Следует также отметить полное отсутствие участка с возрастающей скоростью роста перемещений для пластин с большими начальными искривлениями. Объяснить выявленные эффекты можно перераспределением усилий в срединной поверхности.

Резюмируя вышесказанное, можно сделать вывод, что вертикальные перемещения пластины, шарнирно опертой по контуру, при действии сжимающей нагрузки по одной оси, всегда приходят к конечному значению, если нагрузка не превышает мгновенную критическую. Иначе говоря, при рассмотренном закреплении и нагружении пластина в условиях ползучести находится в устойчивом равновесии.

Полученные уравнения и алгоритм вычислений позволяют рассчитывать пластинки из произвольных вязкоупругих материалов при любых вариантах закрепления. Закон связи между напряжениями и деформациями ползучести также может быть задан произвольно.