Связанная осесимметричная задача термоэлектроупругости для круглой жестко закрепленной пластины

Введение. Для повышения функциональных возможностей пьезокерамических датчиков [1–3], основанных на взаимном влиянии термоэлектроупругих полей, используются различные математические модели. Для более точного учета эффекта связанности данных полей возникает необходимость в построении замкнутых решений. Для решения систем исходных несамосопряженных дифференциальных уравнений применяются некоторые упрощения. Таким образом, задачи могут быть рассмотрены в несвязанной постановке, либо в задачах рассматриваются и анализируются элементы, у которых имеется вырожденная геометрия. В [4][5] рассматривается несвязанная стационарная задача для длинного электроупругого цилиндра, а работа [6] посвящены анализу тепловых напряжений в полой сфере. Исследования [7][8] связаны с определение температурного поля в пьезокерамической оболочке и круглой пластине при решении несвязанных задач. Связанные динамические задачи для однородного пьезокерамического слоя, а также динамические задачи в связанной постановке для градиентно–неоднородного пьезокерамического слоя рассматривались в трудах [9][10], в статьях [11][12] анализировались поля в неограниченной среде. В работах [13][14] рассматривается длинный полый цилиндр и анализируются термоэлектроупругие поля.

В настоящее время в литературе не описаны результаты построения замкнутых решений упомянутых нестационарных задач в трехмерной связанной постановке. Поэтому в настоящей работе рассмотрена круглая пластина, выполненная из пьезокерамического состава и имеющая жесткое закрепление, для которой получено новое замкнутое решение задачи термоэлектроупругости. Использование ограничения на скорость изменения температуры на ее лицевой поверхности [10] позволяет не включать инерционные характеристики исследуемой системы и применять уравнения равновесия в расчетных соотношениях.

Материалы и методы. В процессе решения использовали обобщенное конечное биортогональное преобразование, позволяющее понизить размерность несамосопряженной системы уравнений и, существенно упрощая исследования в пространстве изображений, построить замкнутое решение.

Математическая модель. Рассмотрим некоторую область  которую в цилиндрической системе координат  занимает круглая в плане пьезокерамическая сплошная пластина. Для рассматриваемой задачи можно использовать произвольные температурные граничные условия. Однако для определенности решения на верхней  лицевой поверхности учитывается изменение температуры  при заданной температуре внешней среды  на нижней  плоскости ( — время). Цилиндрическая теплоизолированная поверхность жестко закреплена: отсутствует радиальная компонента вектора перемещений и угол поворота, а в вертикальной плоскости зафиксирована ее нижняя часть. Нижняя плоскость рассматриваемой круглой пластины имеет заземление. Лицевые электродированные плоскости пластины подключены к измерительному прибору. Расчетная схема пластины представлена на рис. 1.

Математическая формулировка рассматриваемой задачи в безразмерной форме для аксиально поляризованного пьезокерамического материала с гексагональной кристаллической решеткой состава 6 мм имеет вид:

где

 — приращение температуры в размерной форме;  — компоненты вектора перемещений, потенциал электрического поля; σ_zz (r, z, t), σ_rz (r, z, t) — компоненты тензора механических напряжений; D_r (r, z, t) — радиальная компонента вектора индукции электрического поля; Λ, k, α_t — коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и линейного температурного расширения;  — электрический потенциал, индуцируемый на верхней лицевой поверхности; γ_ii, g_ii — компоненты тензора температурных напряжений и пирокоэффициентов
(i = 1,3, γ_ii = С_iiα_t); e₁₅, e₃₁, e₃₃, ε₁₁, ε₃₃ — пьезомодули и коэффициенты диэлектрической проницаемости; Θ^* = T – T; T, T₀ — текущая температуры и температура первоначального состояния тела; β_rel — время релаксации; α —  коэффициент теплоотдачи,  — известная скорость изменения температуры ;

Для определения потенциала электрического поля, индуцируемого в процессе деформирования, на верхней лицевой поверхности  в случае подключения электродов к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, используется дополнительное граничное условие:

(5)

где D_z (r, z, t) — аксиальная компонента вектора индукции; S — площадь поверхности.

Построение общего решения. Для выполнения условия закрепления цилиндрической поверхности пластины в вертикальной плоскости вводятся новые функции w (r, z, t), W₁(t):

 (6)

что позволяет сформировать краевую задачу относительно функций U, w, ϕ, Θ, которая исследуется методом конечных преобразований Фурье-Бесселя:

где j_n — положительные нули функции  — функции Бесселя.

Здесь необходимо отметить, что для удовлетворения последнего граничного условия (2) необходимо принять, что первоначальная температура пластины T₀ равна температуре внешней среды  и функция приращения температуры на верхней лицевой поверхности ω₁(1, t) = 0. Данные допущения без большой погрешности позволяют считать, что на цилиндрической поверхности пластины Θ(1, z, t) = 0.

В результате использования алгоритма преобразования в области изображений получается следующая начально-краевая задача:

где 

На следующем этапе решения введение функций  при использовании следующих соотношений:

(12)

позволяет приведения условий (9) к однородным.

Здесь  — дважды дифференцируемые функции.

Подстановка (12) в (9) – (11) при удовлетворении условий:

 (13)

позволяет сформулировать следующую задачу:

(14)

где

Используя биортогональное конечное преобразование (КИП) [15], получаем решение задачи (14) – (16). На сегменте [0, h] вводится КИП с неизвестными компонентами вектор-функций преобразований
K₁(λ_in, z)…K₄(λ_in, z), N₁(μ_in, z)…N₁(μ_in, z):

 (17)

где λ_in, μ_in — собственные значения соответствующих задач относительно компонент вектор-функций КИП (k = 1…4).

В ходе преобразований получаем задачу для определения трансформанты G(n, λ_in, t):

решение которых будет иметь следующий вид:

(20)

кроме того, две однородные задачи относительно компонент K₁(λ_in, z)…K₄(λ_in, z),

(21)

(22)

и N₁(μ_in, z)…N₄(μ_in, z):

где

m_1in, m_2in — корни характеристического уравнения: 

Построенная однородная задача (23), (24) относительно функций N₁(μ_in, z)…N₄(μ_in, z) инвариантна исходным расчетным соотношениям (14), (15).

Системы (21), (23) приводятся к следующим уравнениям относительно K₂(λ_in, z), N₂(μ_in, z):

(25)

Коэффициенты e_1in…e_4in в статье не приведены в связи ограничением ее объема.

В уравнении (25) левую часть разложим на коммутативные сомножители, представленные ниже:

(26)

где  — действительные положительные корни следующих характеристических уравнений:

При исследовании круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины общий интеграл уравнений (26) будет иметь следующий вид:

(27)

где

Здесь следует отметить, что условие о действительных положительных значениях коэффициентов
B_1in, S_1in, A_1in…A_4in выполняется для большинства конструкций, выполненных из пьезокерамического материала. В противном случае просто меняется структура формул (26), (27).

Учитывая, что ранее были получены связи в результате приведения (21), (23) к (25), получаем выражения для функций K₁(λ_in, z), K₃(λ_in, z), K₄(λ_in, z), N₁(λ_in, z), N₃(λ_in, z), N₄(λ_in, z).

Подстановка K₁(λ_in, z)…K₄(λ_in, z), N₁(μ_in, z)…N₁(μ_in, z) в условия (22), (24) позволяет определить постоянные D_1in…D_8in, E_1in …E_8in и собственные значения λ_in, μ_in.

Итоговые выражения функций U (n, z, t), W (n, z, t), ϕ (n, z, t), Θ (n, z, t) получим, применяя формулы обращения (17), (8). Тогда, с учетом (6), (12), имеем:

 (28)                       

Функции f₁(z)… f₁₂(z) вычисляются из условия упрощения F₁… F₄ при удовлетворении условий (13):

Функция W₁(t) определяется из условия W(1, h, t) = 0:

Для качественной оценки индуцируемого электрического импульса на его верхней лицевой поверхности необходимо сформировать два электрода с радиусом раздела R и подключением их к измерительному прибору. В этом случае потенциал ϕ₀(r, t), индуцируемый на двух эквипотенциальных поверхностях, представляется в виде:

(29)

где H(…) — единичная функция Хэвисайда.

Подстановка (29) в (5) позволяет определить выражения для определения потенциалов ϕ₀(t), ϕ₀₂(t):

(30)

В результате решения (30) функции ϕ₀(t), ϕ₀₂(t) определяются следующим образом:

где

В этом случае разность потенциалов V(t) определяется равенством:

(31)

Результаты исследования. Численные результаты представлены для пластины, изготовленной из пьезокерамики состава PZT–4 [4][11][16]:

Исследуется следующий случай изменения температуры :

где  — максимальное значение температуры и соответствующее ему время 

На рис. 2 приведены графики, отражающие в различные моменты времени  изменение температуры Θ^*(0, z, t) в толщине пластины (b = 14×10^–3 м, h^* = 1×10^–3 м).

По результатам расчета наблюдается, что вследствие высокого коэффициента теплопроводности и небольшой толщины пьезокерамической пластины, установившийся температурный режим формируется достаточно быстро  при достижении Θ^*(0, z, t) на нижней лицевой поверхности (z = h) 78 °C (рис. 2).

На рис. 3 показано изменение  по времени  с учетом (представлено сплошной линией) и без учета (представлено пунктирной линий, β = 0) релаксации теплового потока
(b = 14×10^–5 м, h^* = 1×10^–5 м). Необходимо подчеркнуть, что использование гиперболического уравнения теплопроводности Лорда-Шульмана необходимо только при исследовании пьезокерамической конструкции микро-размеров при очень быстром изменении 

Численные результаты определения функции Θ^*(r, z, t) показывают, что при проведении исследования конструкции из пьезокерамического материала возможно пренебречь влиянием скорости изменения объема тела и напряженности на температурное поле, т.е. использовать в расчетах только уравнение теплопроводности.

На рис. 4 представлен график перемещений W^*(0, z, t) по времени t, а на рис. 5 зависимости изменения радиальной компоненты нормальных напряжений σ_rr(r, z, t) по координате r в различные моменты времени:, сплошная линия — z = 0, пунктирная линия — z = h.

Следует отметить, что в процессе прогрева пластина изгибается с увеличением ее толщины, за счет закрепления образуются сжимающие нормальные напряжений σ_rr(r, z, t) во всех точках. В случае полного прогрева конструкции (t = 10t_max) величина нормальных напряжений σ_rr(r, z, 10t_max) по высоте сечения практически совпадают (рис. 5, график 2, сплошная и пунктирная линии). При этом σ_rr(r, 0, t) остается постоянной на всем промежутке времени t ≥ t_max (рис. 5, сплошная линия), а на нижней плоскости в начальный момент времени σ_rr(r, h, t) существенно меньше (рис. 5, график 1,  пунктирная линия).

Для качественной оценки индуцируемого электрического импульса в виде разности потенциалов V(t) (31) на верхней лицевой поверхности рассматриваемого элемента необходимо сформировать два электрода с радиусом раздела R = 0,7 и подключением их к измерительному прибору (рис. 6, сплошная линия). При этом определение V(t) путем подключения верхней и нижней (заземленной) сплошных электродированных поверхностей пластины к вольтметру (рис. 6, пунктирная линия) неэффективно.

Обсуждение и заключение. Разработанное замкнутое решение связанной осесимметричной задачи термоэлектроупругости для круглой пластины, выполненной из пьезокерамического материала, является более точным по сравнению с решением, которое было разработано при решении задач в несвязанной постановке. Связано это с тем, что полученные расчетные соотношения позволяют определить, как влияет на напряженно-деформированное состояние и электрическое поле рассматриваемого элемента нестационарное температурное поле, что позволяет описывать с большей точностью поведение круглой пьезокерамической пластины под действием тепловой и электрической нагрузок. Кроме того, появляется возможность научно обосновать размеры двух несвязанных между собой электродов, позволяющих наиболее эффективно измерить индуцируемый электрический импульс.