Об одном методе расчета изгибных и сдвиговых колебаний пористого пьезоэлемента в низкочастотной области

Введение. Пьезоэлектрические генераторы (ПЭГ) используются для преобразования механической энергии в электрическую с последующим ее накоплением. Одна из областей применения ПЭГ — создание маломощных автономных возобновляемых источников электрической энергии. Рабочим элементом ПЭГ является пьезокерамический элемент определенной формы. Форма и тип деформации этого элемента определяют пьезомодуль, который характеризует преобразование механической энергии деформации в электрическую. Так пьезомодуль d₃₃ связан с растяжением-сжатием вдоль оси поляризации, d₃₁ — с такой же деформацией в поперечном направлении к этой оси, d₁₅ — со сдвигом. Использование пористой керамики позволяет создавать более эффективные ПЭГ. Это связано с тем, что модули упругости пористой керамики с ростом пористости убывают значительно сильнее, чем пьезомодули. Таким образом при одной и той же механической нагрузке амплитуда деформации у пористой керамики будет больше, следовательно, выходной электрический потенциал также больше.

Расчет ПЭГ может быть произведен методом конечных элементов, реализованном в пакетах ANSYS, ACELAN, COMSOL и других. Для пьезоэлементов, один или два размера которых значительно меньше других (пластины, стержни), могут быть построены прикладные теории расчета на основе гипотез о распределении механического и электрического полей. Без применения «тяжелых» конечно-элементных пакетов прикладные теории позволяют моделировать различные устройств на основе пьезоактивных материалов. В качестве таких материалов рассматривались пьезоэлектрические, пьезомагнитные и композиционные пьезомагнитоэлектрические. Построение этих теорий основано на принятии гипотез о распределении механических, электрических и магнитных полей. Эти гипотезы связаны с характером колебаний упругих и пьезоактивных элементов ПЭГ. Наиболее распространенными конструкциями являются активные и полупассивные биморфы на основе многослойных пластин, поляризованные по толщине с электродами на лицевых поверхностях, совершающие поперечные изгибные колебания. Исследованию устройств со сдвиговой деформацией пьезоэлементов посвящен ряд работ. Электрическая модель с пьезоэлектрическими определяющими уравнениями режима d₁₅ и модель с одной степенью свободы объединены для описания характеристик сбора энергии пьезоэлектрического кантилевера в сдвиговом режиме в работе [1]. Предлагаемая модель используется для моделирования частотной зависимости выходного пикового напряжения и мощности. Результаты показывают хорошее совпадение с экспериментом и конечно-элементным расчетом в ANSYS. В работе [2] разработан пьезоэлектрический преобразователь энергии сдвигового режима для использования энергии потока воды под давлением. Он преобразует энергию потока в электрическую энергию путем пьезоэлектрического преобразования с колебанием пьезоэлектрической пленки. Разработана модель конечных элементов для оценки генерируемого напряжения пьезоэлектрической пленки, которая хорошо согласуется с проведенным натурным экспериментом. Одномерная полностью связанная модель колебания балки на основе гипотез типа Тимошенко, которая предоставляет единую общую основу для анализа энергии в режиме сдвига и изгиба, представлена в работе [3]. В работе [4] изучается влияние неоднородности свойств пластины при сдвиговых и крутильных колебаниях ее центральной части. В экспериментальной работе [5] был представлен многослойно-цилиндрический пьезоэлектрический сдвиговый актуатор (MCPSA), работающий в режиме сдвига d₁₅, для прецизионного срабатывания при большой механической нагрузке. Актуатор был изготовлен из пьезоэлектрических керамических колец Pb(Zr,Ti)O₃ (PZT-51), которые были концентрически собраны вместе в электрически параллельном соединении с попеременно положительной и отрицательной поляризацией в осевом направлении. В работе [6] создан метаматериал из идентичных элементарных ячеек, спроектирован и изготовлен искусственный прототип устройства с характерными узорчатыми электродами и расположенными в ряд пьезокерамическими субъединицами, который, как доказано, идеально генерирует синтетическую деформацию сдвига грани. При том же напряжении возбуждения наблюдается усиление смещения сдвигового типа более чем на порядок, по сравнению с предыдущими объемными элементами в режиме d₁₅. В статической постановке в работе [7] теоретически установлено поле электромеханической связи в сдвигово-изгибающем режиме для кольцеобразной пьезоэлектрической пластины. В соответствии с классической теорией упругих пластин малого изгиба и пьезоэлектрическими определяющими уравнениями было достигнуто аналитическое решение изгибной деформации пьезоактюатора под действием электрического поля и концентрированной или равномерно распределенной механической нагрузки. Механизм создания изгибной деформации объясняется осесимметричной сдвиговой деформацией, которая дополнительно вызывает изгибную деформацию одной пьезоэлектрической пластины в форме кольца. Этот механизм существенно отличается от механизма пьезоэлектрических биморфных или униморфных приводов, о которых сообщалось ранее. Проведена оптимизация конструкции кольцеобразного пьезоактуатора. В работе [8] на основе одномерной модели строится функция отклика датчика на основе сдвиговых резонаторов (срезы кварца) объемной акустической волны, которые перспективны для поточных измерений вязкости жидкости, например, в промышленных процессах. В работе [9] с помощью метода конечных элементов исследовался пьезоэлектрический преобразователь управления высотой полета с использованием деформации модели сдвига. В [10] теория функционально-градиентной пластины с четырьмя неизвестными сдвиговой деформации применяется для выражения компоненты смещения. Распределение электрического потенциала представляет собой линейную функцию по толщине. Пластина находится под механической нагрузкой и электрическим напряжением. Основные уравнения и граничные условия выводятся с использованием принципа виртуальной работы. Проведен анализ напряжений и деформаций от параметров конструкции. Электромеханический анализ потери устойчивости пьезоэлектрической нанопластины при сдвиге с использованием модифицированной теории парных напряжений с различными граничными условиями изучался в работе [11]. Чтобы учесть электрические эффекты, к пьезоэлектрической нанопластине прикладывали внешнее электрическое напряжение. Была использована упрощенная теория сдвиговой деформации первого порядка. Основные дифференциальные уравнения были получены с использованием принципа Гамильтона и нелинейных деформаций Фон-Кармана. В итоге результаты показали, что влияние внешнего электрического напряжения на критическую сдвиговую нагрузку, возникающую на пьезоэлектрической нанопластине, незначительно. В работе [12] с помощью комбинации двух классических подходов моделирования нелинейного поведения пьезоэлектрических материалов исследуется пьезоэлектрический привод сдвигового типа для атомно-силового микроскопа. В частности, новизна предлагаемого метода состоит в том, что он сочетает в себе два источника нелинейности полезависимой модели Мюллера и Чжана с частотно-зависимой моделью Дамьяновича. Численные результаты, полученные с помощью метода конечных элементов (МКЭ), сравниваются с экспериментом.

Менее исследованы в научной литературе колебания, в которых кроме изгиба присутствует сдвиг, т.е. «рабочим» является пьезомодуль d₁₅, значение которого убывает с увеличением пористости, но в меньшей степени, чем упругие модули. Последнее обстоятельство позволяет построить эффективное устройство преобразования энергии. Поэтому разработка прикладной теории расчета ПЭГ с использованием пористой пьезокерамики на основе упрощенных моделей без использования «тяжелых» конечно-элементных пакетов представляется весьма актуальной задачей. Целью настоящей работы явилось построение прикладного метода расчета для установившихся поперечных колебаний в низкочастотной области пористой пьезокерамической пластины, характеризующиеся как сдвигом, так и изгибом.

Материалы и методы. Исследуемый ПЭГ представляет собой пьезокерамическую пластину (длина l, толщина h), поляризованную по толщине, консольно-закрепленную по правой боковой стороне, левая боковая сторона прикреплена к инерционной массе, которая совершает вертикальные колебания и закреплена в горизонтальном направлении. Электроды расположены на боковых сторонах пластины, поэтому при разности потенциалов на них и отсутствии механической нагрузки, основной деформацией в низкочастотной области является сдвиг. Рассматриваются колебания, частота которых меньше частоты первого резонанса.

Математическая постановка задачи

Математическая постановка задачи описывается системой дифференциальных уравнений [13] и соответствующими граничными условиями.

(1)

При рассмотрении пористой керамики связности 3–0 в уравнениях (1) используются эффективные физические константы, определенные с помощью пакета ACELAN-COMPOS [14]. Эти эффективные свойства на основе представительных объемов (рис. 1) получены в работе [15] и представлены в таблице 1.

По данным таблицы 1 построены зависимости эффективных упругих модулей и пьезомодулей от процента пористости [15], которые представлены на рис. 2.

В соответствии с результатами, представленными на рис. 2, модуль упругости E₁ убывает значительно быстрей, чем пьезомодуль d₁₅.

Построение прикладной теории

Построенный метод расчета состоит из решения двух задач: в первой рассматривается изгиб под действием механической нагрузки при нулевой разности потенциалов, во второй — моделируется сдвиг, вызванный разностью потенциалов при отсутствии механической нагрузки. В обоих случаях учитывается отсутствие зарядов на лицевых поверхностях пластины. При действии механической нагрузки и разности электрических потенциалов результаты двух задач складываются в силу линейности задачи.

Действие механической нагрузки, потенциалы на электродах равны нулю. Принимаются гипотезы типа Кирхгофа-Лява относительно равенства нулю нормальных напряжений, а для перемещений:

(2)

Распределение электрического потенциала по толщине предполагается квадратичным и симметричным:

(3)

Для учета граничных условий на концах пластины (x = 0, l) получено выражение для поперечной силы:

(4)

С учетом равенства нулю нормальной компоненты вектора электрической индукции на лицевых поверхностях (z = ±h), уравнения для неизвестного прогиба UZ₂(x) и распределения электрического потенциала Ф₂(x) имеют вид:

(5)

(6)

Задана разность потенциалов, механическая нагрузка равна нулю. Предполагается независимость поперечного смещения от толщины и равенство нулю продольного перемещения и квадратичное распределение электрического потенциала по толщине (3):

(7)

Выражение для поперечной силы:

(8)

С учетом равенства нулю нормальной компоненты вектора электрической индукции на лицевых поверхностях (z = ±h), уравнения для неизвестного прогиба UZ₂(x) и распределения электрического потенциала Ф₂(x) имеют вид:

(9)

(10)

В первой задаче, определяемой уравнениями (5) и (6), при задании равномерно распределенной нагрузки p(x) = 1000 Па·м и с граничными условиями:

(11)

получены следующие результаты, представленные на рис. 3, 4.

Расчеты показали, что погрешность в определении вертикального смещения — 5,8 %, а для горизонтального смещения составляет 1,2 %.

Во второй задаче, определяемой уравнениями (8) и (9), при задании нулевой нагрузки p(x) ≡ 0, разности потенциалов V₀ = 100 В и граничными условиями:

(12)

получены следующие результаты, представленные на рис. 5, 6.

Расчеты показали, что погрешность в определении вертикального смещения составляет 0,8 %, а для электрического потенциала — менее 1 %. Следует отметить, что значения горизонтального смещения, рассчитанные в ACELAN, оказались на три порядка меньше максимального вертикального смещения, что говорит об адекватности гипотезы (7).

При задании механических нагрузок и разности потенциалов погрешность предложенного метода оказалась порядка 6 % для компонент перемещения и электрического потенциала.

Обсуждение и заключение. Как отмечалось в цитируемой литературе, одновременное использование изгиба и сдвига пьезоэлемента может значительно повысить его эффективность. Кроме этого, использование пористой керамики в силу различных зависимостей упругих модулей и пьезомодулей от процента пористости также улучшает выходные характеристики ПЭГ.

В настоящей работе в силу линейной постановки в теории электроупругости удалось построить прикладную теорию расчета изгибно-сдвиговых колебаний пьезоэлемента в низкочастотной области, которая состоит из решения двух задач: в первой действуют механические нагрузки при нулевых потенциалах, а во второй — наоборот — нулевые механические нагрузки и задана разность потенциалов. На основе различных гипотез о распределении механического и электрического полей получены две краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решались аналитически. Проведено сравнение результатов расчета смещений и электрического потенциала по предложенному методу и с помощью МКЭ, реализованного в пакете ACELAN. Эти расчеты подтвердили применимость предложенного метода, погрешность для которого в вычислении вышеуказанных характеристик составила 6 %. Такой точности достаточно для инженерных расчетов, поэтому предложенный метод может быть применен при проектировании пьезоэлектрических устройств, в том числе при сборе и накоплении энергии. Дальнейшее развитие этой прикладной теории будет направлено на охват более широкого частотного диапазона, включая первый изгибно-сдвиговый резонанс.