Упрощенный расчет момента инерции поперечного сечения консоли под нагрузкой

Проекция пластинки на плоскость поперечного сечения консоли представляет собой прямоугольную полоску толщиной dx и полудлиной h (рис. 1). Момент инерции сечения отдельной пластинки можно рассматривать как момент инерции консоли прямоугольного сечения 2h×dx. По определению, к каждой пластинке в пачке применимо уравнение типа (2), где a = dx и b = 2h. Согласно этому выражению, момент инерции полоски равен dI_x = 2h³(x)dx / 3. Таким образом, момент инерции сечения консоли можно определить интегрированием моментов инерции не элементарных площадок, а элементарных полосок:

(3)

где x изменяется в пределах от A до B.

Условие ориентации плоскости пластин параллельно вектору внешней приложенной силы важно, поскольку позволяет однозначно связать упругий прогиб консоли λ_e с распределением касательных напряжений в поперечном сечении консоли. Все пластинки в пачке прогибаются на одну и ту же величину λ_e. Согласно (1),
dI_x = 2h³(x)dx / 3. Значит, для пластинки толщиной dx потребуется элементарная сила dP = 3l_eEdI_x / L³ = 2l_eEh³(x)dx / L³. Такая сила соответствует действию однородного поля напряжения сдвига в сечении пластинки ds(x) = 2h(x)dx:

(4)

Из (4) видно, что значение напряжения τ в системе координат xy не зависит от координаты y.

Уравнение (4) удобно использовать при моделировании деформации стержневых элементов конструкции.

Интеграл (3) определяет момент инерции сечения I_c относительно оси x, проходящей через центр тяжести сечения. В случае несимметричных и сложных сечений удобно сначала найти момент инерции сечения или части сечения относительно оси, которая не проходит через центр тяжести сечения. Затем нужно перейти к моменту инерции сечения I_c относительно оси, которая проходит через центр тяжести сечения. Известно, что момент инерции сечения повторяет свойства момента инерции твердого тела и подчиняется теореме Гюйгенса–Штейнера [11]. Момент инерции сечения I_x относительно произвольной оси x равен сумме момента инерции этого сечения I_с относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения параллельно оси x, и произведения площади сечения S на квадрат расстояния a между осями: I_x = I_с + a²S. Поэтому в общем случае можно записать:

(5)

Если ось x проходит через центр тяжести сечения, то расстояние a = 0 и уравнение (5) переходит в (3).

Результаты исследования. Для создания простого, быстрого и универсального метода вычислений откажемся от расчетов для каждого сечения с учетом его формы и других особенностей. Именно такой подход впервые реализован в рамках данной научной работы. Каким бы сложным ни было сечение, достаточно использовать известное решение для прогиба тонкой пластинки, представить балку в виде пачки бесконечно тонких пластинок и проинтегрировать их моменты инерции. Кроме того, метод позволяет однозначно показать распределение касательных напряжений на торце консоли, обеспечивающих заданный прогиб. Подчеркнем, что касательные напряжения в таком контексте рассматриваются впервые.

Упрощенный расчет момента инерции простых сечений. Для обоснования предлагаемого метода рассмотрим известные сечения простой геометрической формы. Далее вместо выражения «момент инерции поперечного сечения консоли» используем термин «момент инерции». Будем считать, что внешняя приложенная сила всегда направлена перпендикулярно оси x, относительно которой определяется момент инерции сечения.

Квадрат. Уравнение (2) получено при условии, что вектор силы, приложенной к торцу консоли, перпендикулярен стороне a прямоугольника. При b = a получим момент инерции квадратного сечения I_c = a⁴/12.

Найдем предлагаемым методом момент инерции квадрата относительно оси x, которая параллельна не стороне, а диагонали квадрата (рис. 2 a).

На рис. 2 б представлено распределение τ (x) вдоль диагонали квадрата при λ_e = 2 мм и a = 5 мм. Согласно (1), действие напряжения сдвига τ(x) на торце консоли из стали (E = 200 MPa) длиной L = 50 мм соответствует действию внешней приложенной силы P = 0,25Eλ_e a⁴/L³ = 500 N. Максимальное напряжение τ_max = 40 MPa наблюдается на вертикальной диагонали квадрата. При отклонении от диагонали резко до нуля уменьшается напряжение τ. В результате в системе τ(x) образуется острый пик.

Напряжение τ зависит только от переменной x, поэтому по графику на рис. 2 б можно определить значение τ в любой точке квадрата.

Очевидно, что при ориентации силы перпендикулярно сторонам квадрата τ = P/a² = 20 MPa (рис. 2 б, пунктирная линия). Как видно, распределение напряжения τ(x) в сечении, соответствующее внешней силе P, существенно зависит от ее направления.

Эллипс. На рис. 3 a приведена схема эллипса с полуосями a и b. Начало координат — в центре эллипса.

Из канонического уравнения эллипса [12] следует, что полоска, выделенная на рис. 3, имеет полудлину h = b(a² – x²)^1/2 / a. Подставляя эту величину в (3) и интегрируя от –a до +a, получим момент инерции эллиптического сечения:

(6)

При a = b = r выведем момент инерции кругового сечения: πr⁴ / 4, где r — радиус окружности.

Подставляя в (4) значение h, соответствующее эллипсу, получим следующее распределение напряжения сдвига в сечении консоли эллиптической формы:

На рис. 3 б представлено распределение τ(x) вдоль полуоси a = 2,5 мм при λ_e = 2 мм, E = 200 MPa и L = 50 мм. При сравнении его с распределением τ(x) на рис. 2 б для квадрата очевидно существенное влияние геометрической формы сечения консоли на распределение напряжений. В случае эллиптического сечения на кривой τ(x) отсутствует острый пик. Максимальное напряжение τ_max наблюдается вдоль полуоси b. С учетом требования
λ_e = const можно говорить о быстром росте напряжения τ_max при увеличении отношения b/a. При увеличении полуоси b в два раза τ_max увеличивается в 4 раза (рис. 3 б).

Треугольник. Рассмотрим сечение в виде равнобедренного треугольника (рис. 4). Ось x направлена вдоль высоты треугольника (рис. 4 a). На расстоянии x от основания треугольника полудлина полоски равна h = b(a – x) / 2a.

Найдем моменты инерции указанных частей сечения по (2) для прямоугольника и по (7) для треугольников. Для прямоугольника в уравнении (2) b = a√3, поэтому его момент инерции равен I_x1 = √3a⁴/4. Для треугольных частей в уравнении (7) основание равно b = a√3, а высота a/2. Следовательно, момент инерции шестиугольника:

(10)

Если приложенная сила направлена вдоль диагонали шестиугольника (рис. 6 б), то полудлина полоски равна a/2 – x/√3. Совершив соответствующие замены в (4), получим:

(11)

Сравнивая (10) и (11), убеждаемся, что поворот шестиугольника на 30° не влияет на его момент инерции относительно оси x.

Рассмотрим случай ориентации шестиугольника как на рис. 6 a. При λ = 2 мм и Е = 200 MPa в интервале
от –a/2 до +a/2 напряжение τ(x) будет постоянным и равно τ_max = 15 MPa (рис. 7 а). При тех же условиях и ориентации шестиугольника как на рис. 6 б распределение τ (x) подобно распределению для квадратного сечения (рис. 2 б). Однако здесь τ_max = 20 MPa и τ_min = 5 MPa (рис. 7 б).

Для определения момента инерции звезды относительно большой диагонали следует воспользоваться схемой на рис. 8 б, где выделены две зоны. Полудлина полоски в зоне I равна h_I = a + x/√3, в зоне II h_II = a/2 – x/√3. Из (3) вычисляются моменты инерции зон I (I_xI = a⁴65√3/96) и II (I_xII = a⁴√3/96). Можно убедиться, что удвоенная сумма моментов инерции зон I и II в точности соответствует уравнению (12). Следовательно, момент инерции 6-конечной звезды относительно большой и малой диагоналей одинаков.

На рис. 9 а показано распределение напряжения сдвига в сечении 6-угольной звезды, соответствующее λ = 2 мм и ориентации внешней приложенной силы согласно рис. 8 а. Вдоль вертикальной оси звезды напряжение принимает максимальное значение τ_max = 37,5 MPa. По мере удаления от оси вправо τ быстро падает до уровня τ = 9,375 MPa и остается постоянным в интервале 2 ≤ x ≤ 4 мм. Затем τ падает до нуля. При удалении от оси влево τ меняется аналогично.

Центры тяжести овалов сверху и снизу окружности расположены на расстоянии a = R/√2 от центра тяжести целой фигуры. Площадь этих двух частей равна S = R²(π – 2).

По (4) вычислим момент инерции данной пары:

Величина h в (3), согласно рис. 10 б, (овал внизу круга) равна Следовательно, для пары овалов сверху и снизу круга можно записать момент инерции относительно собственных центров тяжести:

(15)

Определим результирующий момент инерции фигурного креста. Для этого из момента инерции (13) круга вычтем моменты инерции четырех овалов:

Сравнивая полученный результат с результатом (13), убеждаемся, что момент инерции данного крестообразного сечения консоли не меняется при повороте оси x на 45°.

На рис. 11 а показано распределение напряжения сдвига в сечении фигурного креста, соответствующее λ = 2 мм и действию внешней приложенной силы вдоль оси креста (рис. 10 а). На вертикальной оси креста наблюдается острый пик напряжения, где τ_max = 80,0 MPa.

При повороте креста относительно приложенной силы на 45° распределение напряжения τ существенно меняется. По мере отклонения оси симметрии напряжение сначала плавно увеличивается с τ = 13,73 MPa до τ_max = 20,32 MPa. Затем напряжение τ резко падает до нуля. Поэтому в распределении τ наблюдается два симметричных пика (рис. 11 б) на расстоянии 2 мм от оси симметрии.

Обсуждение и заключение. Предложенный упрощенный метод расчета позволяет быстро узнать моменты инерции сложных поперечных сечений консоли. При этом однозначно определяется поле напряжения сдвига в сечении образца, соответствующее действию внешней приложенной силы. Кроме того, показано, что распределение напряжений в сечении качественно и количественно зависит от ориентации сечения относительно направления внешней приложенной силы.

Для обоснования метода проведены вычисления моментов инерции не только для известных сечений простой геометрической формы (которые показали абсолютную идентичность расчетных и опубликованных в литературе результатов), но и для двух новых сложных сечений в виде правильной шестиконечной звезды и фигурного креста. Показано, что жесткость консоли не меняется при повороте внешней силы, приложенной перпендикулярно оси симметрии, на 30° для сечения в виде 6-конечной звезды, и на 45° — для квадрата и фигурного креста. Метод и полученные решения могут быть использованы инженерами и механиками при моделировании и расчетах прочности и жесткости стержневых элементов конструкций.