Численное решение задачи теплопроводности в пористой пластине с топологией трижды периодических минимальных поверхностей

Введение. Пористые материалы находят широкое применение в различных отраслях промышленности, таких как металлургия [1], микроэлектронная промышленность [2] и строительная индустрия [3]. Их уникальные свойства, обусловленные наличием полостей и пустот, заполненных плохо проводящими тепло газами, делают их идеальными для использования в производстве тепловой изоляции [4]. Актуальность данной проблемы связана с необходимостью повышения энергоэффективности в различных сферах, что является важным аспектом в условиях устойчивого развития. В свете этого в статье [4] авторами была разработана энерго- и ресурсосберегающая технология получения эффективного пористого тепло- и звукоизоляционного конструкционного материала, что подчеркивает важность исследований в данной области.

Сравнительный анализ литературы показывает, что проблема, поднятая авторами, достаточно исследована, однако остается ряд аспектов, требующих более глубокого изучения. В работе [5] представлены современные пористые теплоизоляционные материалы, включая применение силикатного сырья в их производстве. Авторы в [6] исследовали различные типы матриц пористых материалов и подчеркнули, что геометрический размер образца (в частности, его толщина, оптимальная для звукопоглощения — около 20 мм) значительно влияет на их характеристики. Кроме того, необходимо отметить, что пористые материалы имеют меньшую массу по сравнению с однородными средами, что делает их особенно привлекательными для использования в условиях массогабаритных ограничений, таких как авиационная [7] и космическая отрасли [8]. В контексте нефтехимической промышленности, исследования, проведенные Мазитовым А.А. [9], продемонстрировали возможности нового веб-приложения для математического моделирования нестационарного течения нефти в пористой среде, что подчеркивает значимость пористых материалов и в этой области. В работе [10] наглядно показана актуальность анализа механических свойств пористых пластиков, так как была разработана прикладная методология расчета колебаний пьезокерамических пористых пластин с использованием метода конечных элементов.

Несмотря на свои преимущества, такие как малая масса, высокие прочностные характеристики и предсказуемые теплофизические свойства, пористые материалы имеют недостатки, которые связаны со стохастическим распределением пор и анизотропией их свойств, что усложняет математический и физический анализ процессов переноса. В этой связи анализ материала с пористой структурой, созданного на основе трижды периодических минимальных поверхностей (ТПМП), представляет значительный интерес, так как он демонстрирует предсказуемые свойства в зависимости от геометрических характеристик элементарных ячеек.

Изучение тепловых свойств материалов на основе ТПМП активно ведется в научных кругах [11]. Для моделирования процессов, происходящих в пористых средах, применяются как численные [12], так и аналитические методы. Однако одной из основных проблем остается поиск качественной связи между теплофизическими характеристиками [13] и геометрией пористых сред [14]. В этом контексте исследование температурного поля в пористых телах с учетом их геометрических характеристик и пористости ячеек, а также применение современных численных методов и алгоритмов, представляют собой область с высоким потенциалом и значительной актуальностью. Разработка численных алгоритмов, способных описывать поведение температуры по координате и во времени, а также теплового потока в зависимости от изменений коэффициента пористости, позволят более точно и эффективно подходить к проектированию теплообменников и разработке тепловой защиты оборудования.

Таким образом, целями настоящего исследования стали изучение процесса теплопроводности в пористой пластине с заданной пористостью из пластика PETG и поиск зависимостей для определения коэффициента эффективной теплопроводности таких материалов на основе ячеек типа Фишера-Коха S. Для достижения поставленной цели была сформулирована и решена задача теплопроводности в пористой пластине, а также проведен анализ полученных решений. Результаты данного исследования могут быть полезны для практиков в проектировании теплообменников и в других сферах применения.

Математическая постановка задачи. Математическая формулировка рассматриваемой задачи имеет вид (1) – (4) [15]:

(1)

(2)

(3)

(4)

Методы исследования. При исследовании теплопроводности в пористых материалах была применена комбинация двух подходов — репрезентативного элементарного объема (RVE) и вычислительной гомогенизации. Данная методология реализована на ТПМП-ячейках Фишера-Коха типа S для расчета эффективной теплопроводности [15]. Эффективный коэффициент теплопроводности материала определялся по формуле [16]:

где λ_s — коэффициент теплопроводности материала каркаса; φ — пористость [17].

Плотность пористого материала определялась по формуле [18]:

где ρ_s — значение плотности материала, из которого изготовлена ячейка.

Геометрические характеристики ячеистой структуры являются определяющими факторами, от которых зависит степень пористости материала, и были вычислены с помощью математического выражения:

где V_ТПМП — объем ячейки; V — объем куба.

Численное решение. Решение задачи (1) – (4) было получено методом конечных разностей [19]. Согласно данному методу, вводится пространственно-временная сетка с шагами по координате Δξ и по времени ΔFo. При этом:

(5)

где I, K — число шагов по координате ξ и времени Fo соответственно.

На сетке (5) вводятся сеточные функции [20]. Применяя явную схему аппроксимации дифференциальных операторов, задача (1) – (4) принимает следующий вид [21]:

При расчете было использовано 2,5 млн. ячеек сетки.

При проведении расчетов были установлены два ключевых ограничения. Прежде всего, материал PETG характеризуется неизменными и заранее определенными теплофизическими параметрами. Также было принято, что теплообмен происходит исключительно на поверхностях с заданными граничными условиями, в то время как остальные грани ячейки теплоизолированы.

В ходе проведения исследования было установлено, что использование сетки, содержащей от 2,5 до 3,0 миллиона ячеек, приводит к оптимальному результату решения задачи. Повышение числа элементов сетки не оказывает значительного влияния на точность решения, однако существенно увеличивает затраты времени и сложность процесса.

Чтобы подтвердить корректность результатов, полученных в среде MathCAD, авторы провели дополнительное моделирование в системе ANSYS. Динамика температурных изменений графически представлена на рис. 2.

Результаты исследования. На рис. 3 представлены результаты расчетов, полученные методом конечных элементов и методом конечных разностей. Анализ результатов позволяет заключить об удовлетворительном совпадении безразмерных температур, полученных двумя методами. Путем анализа вычислительных экспериментов установлено, что ТПМП-ячейка типа Фишера-Коха S сохраняет структуру (не происходит внутренних пересечений, полного заполнения пор и др.) в диапазоне толщины стенки 0 < δ < 0,002 м. Временная эволюция изотерм и динамика их скоростного режима отображены на рис. 4, 5. Примечательной особенностью является то, что в процессе временного развития каждая изотермическая линия формируется на поверхности с характерной начальной скоростью, присущей именно ей. Примечательно, что повышение пористости материала приводит к усилению теплового потока на всем временном интервале исследования, что наглядно продемонстрировано на рис. 5. Зависимость плотности теплового потока от времени при варьировании пористости представлена на рис. 6.

Обсуждение и заключение. В ходе исследования была разработана математическая модель теплопередачи для плоской пористой пластины, основанной на предфрактале Фишера-Коха S типа ТПМП. Точность решения была подтверждена путем сопоставления с альтернативными методами расчета, такими как конечно-разностный и конечно-элементный анализ. Максимальное отклонение результатов по норме Чебышева не превышало 3 %.

Одним из значительных преимуществ предложенного подхода является возможность расчета распределения температур и тепловых потерь в пористых средах без использования сложных компьютерных программ и дорогостоящего вычислительного оборудования. Полученные выражения для температурной функции существенно упрощают процесс инженерных расчетов теплопереноса в подобных материалах.

Результаты численного моделирования, согласующиеся с фундаментальными исследованиями теплопроводности [20], методами задания граничных и начальных условий [15], а также с различными подходами к численным расчетам [11], открывают новые перспективы для дальнейших научных изысканий. В частности, разработанный подход может быть применён для анализа одномерного теплопереноса в пористых средах, включая расчёт распределения температур, тепловых потоков и эффективных коэффициентов теплопроводности материалов на основе ТПМП.