Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных источников

Целью работы является исследование возможности и эффективности трехмерных численных моделей полей упругих напряжений в деформированных твердых телах. При построении моделей используется метод точечных источников поля (МТИ), называемый в зарубежной литературе методом фундаментальных решений. Описывается построение системы МТИ при моделировании полей различной физической природы. Вводится понятие точечного источника поля упругих смещений в деформированном твердом теле. Результатом работы является построение МТИ системы, которую можно использовать для решения трехмерных задач теории упругости - например, для решения классических первой и второй граничных задач теории упругости (когда на границе заданы либо напряжения, либо смещения), а также смешанной граничной задачи (когда на одной части границы заданы смещения, а на другой - напряжения). Исследуются свойства МТИ при решении стандартной задачи, задачи Дирихле для круговой области. Найдены зависимости погрешности численного решения от параметров задачи - в частности, таких, как число зарядов, моделирующих искомое поле, удаленность зарядов от границ области решения. Решается тестовая задача расчета поля деформаций в шаровой области. На основании полученных результатов делается следующий вывод. При численном решении трехмерных задач теории упругости наблюдается убывающая экспоненциальная зависимость погрешности МТИ от квадратного корня из числа моделирующих зарядов. Это свойство позволяет получить численное решение с весьма низкой относительной погрешностью, что свидетельствует о перспективности использования МТИ при численном решении задач теории упругости, в том числе и при решении трехмерных задач

метод точечных источников, метод фундаментальных решений, задача теории упругости, задача Дирихле, field Point-Source method, method of fundamental solutions, elasticity problem, Dirichlet problem

1. Победря, Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б. Е. Победря. - 2-е изд. - Москва : Изд-во МГУ, 1995. - 366 с.

2. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. - Москва : Мир, 1986. - 318 с.

3. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Телес, Л. Вроубел. - Москва : Мир, 1987. - 524 с.

4. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. - Москва : Наука, 1989. - 616 с.

5. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. - Москва : Наука, 1991. - 352 с.

6. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Изв. РАН. Сер. физическая. - 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1259-1261.

7. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - № 3. - С. 3-12.

8. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Advances in Computational Mathematics. - 1998. - Vol. 9. - P. 69-95.

9. Golberg, M. A. The method of fundamental solutions for potential, Helmholtz and diffusion problems / M. A. Golberg, C. S. Chen // Boundary Integral Methods - numerical and mathematical aspects. - Southampton : Computational Mechanics Publication. - 1998. - P. 103-176.

10. Bogomolny, A. Fundamental solutions method for elliptic boundary value problems / A. Bogomolny // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1985. - Vol. 22, № 4. - P. 644-669.

11. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for problems in potential theory / G. Fairweather, R. - L. Johnston // Treatment of Integral Equations by Numerical Methods. - London : Academic Press, 1982. - P. 349-359.

12. Katsurada, M. The collocation points of the method of fundamental solutions for the potential problem / M. Katsurada, H. Okamoto // Computers & Mathematics with Applications. - 1996. - Vol. 31. - P. 123-137.

13. Князев, С. Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2007. - № 3. - С. 11-15.

14. Князев, С. Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2006. - № 4. - С. 43-47.

15. Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15. - № 1 (80). - С. 29-38.

16. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VII. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Наука, 1987. - 248 с.

17. Patterson, C. On the use of fundamental solutions in Trefftz method for potential and elasticity problems / C. Patterson, M. A. Sheikh // Boundary Element Methods in Engineering. - Berlin : Springer, 1982. - P. 973-980.

18. Redekop, D. Fundamental solutions for the collocation method in three-dimensional elastostatics / D. Redekop, R.-S.-W. Cheung // Computers & Structures. - 1987. - Vol. 26. - P. 703-707.

19. Yan Gu. Improved singular boundary method for elasticity problems / Yan Gu, Wen Chen, Xiaoqiao He // Computers & Structures. - 2014. - Vol. 135. - P. 7-82.

20. Marin, L. The MFS-MPS for two-dimensional steady-state thermoelasticity problems / L. Marin, A. Karageorghis // Engineering Analysis with Boundary Elements Journal Impact Factor & Information. - 2013. - Vol. 37, iss. 7-8. - P. 1004-1020.

21. Christiansen, S. Condition number of matrices derived from two classes of integral equations / S. Christiansen // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 1981. - Vol. 3. - P. 364-392.

22. Drombosky, T. W. Applicability of the method of fundamental solutions / T. W. Drombosky, A. L. Meyer, L. Ling // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2009. - Vol. 33. - P. 637-643.

23. Smyrlis, Y.-S. Some aspects of the method of fundamental solutions for certain harmonic problems / Y.-S. Smyrlis, A. Karageorghis // Journal of Scientific Computing. - 2001. - Vol. 16 (3). - P. 341-371.