Определение изменения формы поверхности непрерывно-неоднородного термоупругого полупространства при локальном нагреве

Рассматривается осесимметричная квазистатическая задача термоупругости для функционально-градиентного полупространства, модуль упругости, коэффициент Пуассона, коэффициенты теплопроводности и линейного расширения которого непрерывно изменяются в приповерхностном слое. Предполагается, что область внутри круга нагревается источником тепла с постоянной во времени температурой. Вне круга поверхность идеально теплоизолирована. Для решения задачи используются аналитические методы, в частности, аппарат интегральных преобразований Ханкеля. Решение задачи на первом этапе сводится к решению краевой двухточечной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами шестого порядка. Для организации устойчивого процесса численного построения решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений используется метод модулирующих функций. В результате решение смешанной граничной задачи сводится к построению решения парного интегрального уравнения. Свойства трансформанты ядра интегрального уравнения задачи позволяют применить хорошо обоснованный и развиваемый в настоящее время двусторонний асимптотический метод. С помощью данного метода найдены в аналитическом виде приближённые выражения величины теплового потока и смещения поверхности полупространства. Приведены численные результаты, отражающие искривление поверхности неоднородного полупространства для различных случаев изменения механических и температурных свойств в приповерхностном слое под действием равномерной температуры в пределах единичного круга. Рассматриваются случаи, когда значения термоупругих свойств покрытия совпадают со значениями термоупругих свойств подложки, либо когда значение характеристики отличается в 2 раза (в большую или в меньшую сторону) на поверхности и линейно убывает (или растёт) по глубине до значения характеристики в подложке. Показано, что максимальное влияние на величину максимального выпора поверхности оказывает разнонаправленное изменение коэффициентов теплопроводности и линейного расширения в покрытии.

1. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. — Mосква : Мир, 1975. — 863 с.

2. Коваленко, А. Д. Введение в термоупругость / А. Д. Коваленко. — Киев : Наукова думка, 1965. — 204 с.

3. Barber, J. R. Thermoelasticity and contact / J. R. Barber. // Journal of Thermal Stresses. — 1999. — Т. 22, № 4. — С. 513–525.

4. Карташов, Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел / Э. М. Карташов. — Москва : Высшая школа, 2001. — 550 с.

5. Величко, И. Г. Аналитическое решение осесимметрической задачи термоупругости для многослойного основания [Электрон. ресурс] / И. Г. Величко, И. Г. Ткаченко // Вестник Восточноукр. национ. ун-та им. В. Даля. — 2009. — № 4Е. — Режим доступа : http://www.nbuv.gov.ua/e-journals/Vsunud/2009-4E/09vigdmo.htm.

6. Noda, N. On a general treatise of three-dimensional thermoelastic problems in transversely isotropic bodies / N. Noda, Y. Takeuti, Y. Sugano. // ZAMM Z. angew. Math. Mech. — 1985. — Т. 65, № 10. — С. 509–512.

7. Jin, Z. H. Transient thermal stress intensity factors for a crack in semi-infinite plate of a func-tionally gradient material / Z. H. Jin, N. Noda. // International Journal of Solids and Structures. — 1994. — Т. 31, вып. 2. — С. 203–218.

8. Liu, J. Thermoelastic contact analysis of functionally graded materials with properties varying exponentially / J. Liu, L. L. Ke, Y. S. Wang // Advanced Materials Research. — 2011. — Т. 189–193. — С. 988–992.

9. Краснюк, П. П. Плоская контактная задача взаимодействия жёсткого теплопроводного цилиндрического штампа и упругого слоя при нестационарном фрикционном тепловыделении / П. П. Краснюк. // Трение и износ. — 2009. — Т. 30, № 2. — С. 152–162.

10. Айзикович, С. М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1982. — Т. 46, № 1. — С. 148–158.

11. Айзикович, С. М. О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Доклады АН СССР. — 1982. — Т. 266, № 1. — С. 40–43.

12. Айзикович, С. М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Известия АН СССР, МТТ. — 1984. — Т. 39, № 2. — С. 73–82.

13. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1990. — Т. 54, № 5. — С. 872–877.