Интегральное уравнение для численного решения стационарных квантово-механических задач

Аннотация

Целью работы является описание метода численного решения стационарного уравнения Шредингера, основанного на использовании интегрального уравнения, тождественного уравнению Шредингера. По своей структуре это интегральное уравнение близко к уравнению Фредгольма второго рода и допускает получение численного решения задачи. Рассматриваемый метод позволяет находить собственные значения энергии и собственные решения для квантово-механических задач различной размерности. Приведены результаты тестирования метода при решении задачи для одномерного и двумерного квантового осциллятора. Найденные численным методом значения собственных энергий и собственных функций осциллятора сравнивались с известными аналитическими решениями, затем оценивалась погрешность результата. Наибольшая точность решения получена для первых энергетических уровней. Погрешность численного решения возрастает с номером собственного значения энергии. Для последующего энергетического уровня погрешность увеличивается почти на порядок. Для четвертого энергетического уровня при разбиении области интегрирования на 500 элементов погрешность решения для собственных функций не превосходит 2%. Если энергетический уровень является вырожденным, то существует возможность получения всех собственных функций, соответствующих данному уровню. Для этого используются различные вспомогательные функции, симметрия которых согласуется с симметрией собственной функции.