Study on stationary solutions to the problem of phytoplankton dynamics considering transformation of phosphorus, nitrogen and silicon compounds

Introduction. The solution to the problem of transformation of phosphorus, nitrogen and silicon forms is studied. This problem arises under modeling phytoplankton dynamics in shallow-water bodies including the Azov Sea. The phytoplankton dynamics model is formulated as a boundary value problem for the system of diffusion-convection-response equations and takes into account the absorption and release of nutrients by phytoplankton, as well as the transition of nutrients from one compound to another. To calculate the initial conditions and parameters of the equations under which the steady-state regime occurs, the software is developed, which is based on the model describing changes in phytoplankton concentrations without considering current effects. This model is represented by a system of inhomogeneous differential equations. Based on the developed software, the initial conditions and parameters of the phytoplankton dynamics model in the Azov Sea are calculated experimentally.

Materials and Methods. A 3D model of phytoplankton dynamics is considered taking into account the transformation of phosphorus, nitrogen and silicon compounds based on the system of nutrient transport equations. The case of a spatially uniform distribution of substances is considered to specify the parameters of the model at which the stationary modes occur. Because of simplification, a system of ordinary differential equations solved through the Runge-Kutta method is obtained.

Research Results. The software is developed to specify the initial conditions and parameters of the phytoplankton dynamics model considering the transformation of phosphorus, nitrogen and silicon compounds. Several numerical experiments are performed under the assumption that the development of phytoplankton is limited by a single biogenic substance. As a result of the computational
experiment, it can be seen that with the obtained values of the initial concentrations and parameters of the equations, stationary modes occur for the system of ordinary differential equations describing the case of the spatially uniform distribution of substances.

Discussion and Conclusions. The mathematical model of the transformation of phosphorus, nitrogen and silicon forms in the problem of phytoplankton dynamics is studied. Stationary  modes for the system of ordinary differential equations are obtained, for which the values of the system parameters and initial conditions are determined. The results obtained can be used in further simulation of the phytoplankton dynamics considering the transformation of phosphorus, nitrogen and silicon compounds with account for convection-diffusion, salinity, and temperature.

1. Якушев, Е. В. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научноисследовательского судна «Акванавт» / Е. В. Якушев, А. И. Сухинов // Океанология. — 2003. — Т. 43. — № 1. — С.44–53.

2. Сухинов, А. И. Численное моделирование экологического состояния Азовского моря с применением схем повышенного порядка точности на многопроцессорной вычислительной системе / А. И. Сухинов [и др.] // Компьютерные исследования и моделирование. — 2016. — Т. 8. — № 1. — С. 151–168.

3. Sukhinov, A.I., Sukhinov A.A. 3D model of diffusion-advection-aggregation suspensions in a water basins and its parallel realization. Parallel Computational Fluid Dynamics 2004: Multidisciplinary Applications — 2005. — pp. 223–230. DOI: 10.1016/B978-044452024-1/50029-4.

4. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Shishenya, A.V., Timofeeva, E.F. Mathematical model for calculating coastal wave processes. Mathematical Models and Computer Simulations. — 2013. — Т. 5. — № 2. — pp. 122–129. DOI: 10.1134/S2070048213020087.

5. Сухинов, А. И. Предсказательное моделирование прибрежных гидрофизических процессов на многопроцессорной системе с использованием явных схем / А. И. Сухинов [и др.] // Математическое моделирование. — 2018. — Т. 30. — № 3. — С. 83–100.

6. Сухинов, А. И. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе / А. И. Сухинов [и др.] // Вычислительные методы и программирование. — 2013. — Т. 14. — № 1. — С. 103–112.

7. Sukhinov, A.I., Sukhinov A.A. Reconstruction of 2001 ecological disaster in the Azov sea on the basis of precise hydrophysics models. Parallel Computational Fluid Dynamics 2004: Multidisciplinary Applications — 2005. — pp. 231–238. DOI: 10.1016/B978-044452024-1/50030-0.

8. Debolskaya, E.I., Yakushev, E.V., Sukhinov, A.I. Formation of fish kills and anaerobic conditions in the sea of Azov. Water Resources. — 2005. — Т. 32. — № 2. — pp. 151-162. DOI: 10.1007/s11268-005-0020-5.

9. Никитина, А. В. Оптимальное управление устойчивым развитием при биологической реабилитации Азовского моря / А. В. Никитина [и др.] // Математическое моделирование. — 2016. — Т. 28. — № 7. — С. 96–106.

10. Сухинов, А. И. Математическое моделирование процессов эвтрофикации в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе / А. И. Сухинов, А.В. Никитина, А.Е. Чистяков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Вычислительная математика и информатика. — 2016. — Т. 5. — № 3. — С. 36 –53.

11. Никитина, А. В. Дифференциально-игровая модель предотвращения заморов в мелководных водоемах / А. В. Никитина, М. В. Пучкин, И. С. Семенов // Управление большими системами. — 2015. — Вып. 55. — C. 343–361.

12. Сухинов, А. И. Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций / А. И. Сухинов, Ю. В. Белова // Инженерный вестник Дона. — 2015. — Т. 37. — № 3. — C. 50.

13. Дегтярева, Е. Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях [Электронный ресурс] / Е. Е. Дегтярева, Е. А. Проценко, А. Е. Чистяков // Инженерный вестник Дона. — 2012. — Т. 23. — № 4 — 2. –30 с. — Режим доступа : ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283 (дата обращения : 12.12.2018).

14. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский — Москва : Наука, 1989. — 616 с.

15. Сухинов, А. И. Достаточные условия сходимости положительных решений линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов / А. И. Сухинов, В. В. Сидорякина, А. А. Сухинов // Вестник Донского гос. техн. ун-та. — 2017. — Т. 17. — № 1 (88). — С. 5–17.

16. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — Москва : Наука, 1978. — 532 с.

17. Марчук, Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды / Г. И. Марчук. — Москва : Наука, 1982. — 319 с.

18. Белова, Ю. В. О четырехслойной итерационной схеме / Ю. В. Белова, А. Е. Чистяков, У. А. Проценко //Вестник Донского гос. техн. ун-та. 2016. — Т.16. — № 4 (87). — С. 146–149.