Preview

Advanced Engineering Research

Расширенный поиск

Связанная динамическая осесимметричная задача термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра

https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-2-81-90

Полный текст:

Аннотация

Введение. Статья посвящена проблеме исследования связанных нестационарных термоэлектроупругих полей в пьезокерамических конструкциях. Кратко излагаются основные подходы, связанные с построением общего решения при исследовании исходных несамосопряженных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс. Целью работы является построение нового замкнутого решения осесимметричной задачи термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра.

Материалы и методы. Рассматривается длинный полый цилиндр, электродированные поверхности которого подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением. На цилиндрических поверхностях пластины задана температура, изменяющаяся по времени. Используется гиперболическая теория термоэлектроупругости Лорда–Шульмана. Замкнутое решение построено с помощью обобщенного метода конечных интегральных преобразований.

Результаты исследования. Разработанный алгоритм расчета позволяет определить напряженно-деформированное состояние цилиндра, его температурное и электрическое поля. Кроме того, появляется возможность исследовать связанность полей в пьезокерамическом цилиндре, а также проанализировать влияние релаксации теплового потока на рассматриваемые поля.

Обсуждение и заключения. Использование допущений о равенстве компонент тензора температурных напряжений и отсутствие влияния температуры на электрическое поле позволяет сформулировать самосопряженную исходную систему уравнений и построить замкнутое решение.

Для цитирования:


Шляхин Д.А., Кальмова М.А. Связанная динамическая осесимметричная задача термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра. Advanced Engineering Research. 2022;22(2):81-90. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-2-81-90

For citation:


Shlyakhin D.A., Kalmova M.A. Related dynamic axisymmetric thermoelectroelasticity problem for a long hollow piezoceramic cylinder. Advanced Engineering Research. 2022;22(2):81-90. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-2-81-90

Введение. В последнее время широкое распространение получили технические устройства различного назначения, изготовленные из пьезокерамического материала. Здесь особое место занимают приборы, работа которых основана на эффекте связанности упругих, электрических и температурных полей [1]. Для описания их работы с учетом связанности полей в настоящее время разработаны различные теории термоэлектроупругости [2–4]. При этом для более качественного описания и оценки нестационарных процессов в конструкциях возникает необходимость построения аналитических решений. Однако математическая формулировка рассматриваемых задач включает систему несамосопряженных дифференциальных уравнений в частных производных, интегрирование которых связано с большими математическими трудностями.

Для решения данной проблемы, как правило, исследуют уравнения в несвязанном виде [5][6], анализируются бесконечно длинные тела [7–11] или рассматриваются задачи термоэлектроупругости в квазистатической постановке [12][13].

В настоящей работе рассматривается связанная динамическая задача термоэлектроупругости для бесконечно длинного полого пьезокерамического цилиндра. В результате преобразования исходных расчетных соотношенийудается сформировать самосопряженную систему уравнений, интегрирование которой осуществляется методом неполного разделения переменных в виде обобщенного конечного интегрального преобразования [13].

Материалы и методы. Пусть полый, длинный, незакрепленный в радиальной плоскости, пьезокерамический цилиндр занимает в цилиндрической системе координат область :

На цилиндрических поверхностях задана температура в виде следующих нестационарных функций (граничные условия 1-рода) —

Внутренняя электродированная поверхность заземлена, а внешняя подключена к измерительному прибору с большим входным сопротивлением (режим электрического холостого хода).

Математическая формулировка рассматриваемой осесимметричной задачи в безразмерной форме включает дифференциальные уравнения движения, электростатики и теплового баланса на основании гиперболической теории Лорда–Шульмана, а также краевые условия [2][7][15]:

(1),(2)

(3)

— соответственно радиальная составляющая вектора перемещений, потенциал электрического поля и приращение температуры в размерной форме

— текущая температура и температура первоначального состояния тела;

— модули упругости, плотность, пьезомодули и коэффициент диэлектрической проницаемости электроупругого анизотропного материала ;

— компоненты тензора температурных напряжений ;

— коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и линейного температурного расширения материала;

— компонента тензора пирокоэффициентов;

— время релаксации;

— известная в начальный момент скорость изменения температуры;

В случае заземления внутренней поверхности пьезокерамического элемента, электрическое напряжение определяется потенциалом на его внешней поверхности:

(4)

При построении общего решения на первом этапе исследования в результате интегрирования уравнения электростатики определяется радиальная компонента вектора напряженности электрического поля:

(5)

где D1 — постоянная интегрирования.

Подстановка (5) в (1)–(3) позволяет сформулировать новую задачу относительно функций

При этом условие отсутствия радиальной составляющей вектора индукции электрического поля на внешней цилиндрической поверхности элемента (последнее равенство (2) выполняется в случае D1 = 0, а условие заземления внутренней поверхности удовлетворяется в результате интегрирования (5).

На следующем этапе решения неоднородные краевые условия (2) приводятся к виду, позволяющему в дальнейшем использовать процедуру неполного разделения переменных методом конечных интегральных преобразований. Для этого вводятся новые функции связанные с

(6)

Подстановка (6) в расчетные соотношения (1)–(3) относительно функций

при выполнении условий:

(7)

позволяет получить новую краевую задачу относительно функции

(8)–(10)

Здесь следует отметить, что является функцией перемещений цилиндрических поверхностей цилиндра. Первоначально приравнивается к нулю с последующим ее определением и уточнением .

Дальнейшие преобразования расчетных соотношений (8)–(10) связаны с использованием следующих допущений: и введения термоупругого потенциала

(11)

Условие можно принять без большой погрешности, поскольку для пьезокерамических материалов а зависимость выполняется в случае равенства компонент тензора температурных напряжений и отсутствие влияния температуры на электрическое поле

В результате формируется следующая задача относительно

(12)–(14)

где

Начально-краевую задачу (12)–(14) решаем, используя структурный алгоритм обобщенного конечного интегрального преобразования (КИП) [14]. При этом для данной задачи удается использовать однокомпонентное неизвестное ядро преобразований

(15), (16)

где — собственные значения, образующие счетное множество.

В результате использования алгоритма КИП [14] получаем задачи относительно ядра преобразований

(17), (18)

и трансформант

(19)

(20)

Общее решение задачи (17), (18) имеет вид:

(21)

Здесь собственные значения определяются с помощью следующего трансцендентного уравнения:

Система дифференциальных уравнений (19) приводится к следующему разрешающему уравнению 4-го порядка относительно

(22)

Поскольку характеристическое уравнение, соответствующее (22),

будет действительное, то оно из условия осциллирующего решения для имеет два действительных корня

и два комплексно сопряженных корня

В этом случае общее решение уравнения (22) имеет вид:

(23)

Функция определяется из первого уравнения системы (19). Подстановка полученных выражений для трансформант в граничные условия (20) позволяет определить постоянные интегрирования

Подстановка в (16), (11), (6) позволяет получить окончательные выражения для функций

(24)

На заключительном этапе исследования функции определяются при решении следующих дифференциальных уравнений:

(25)

что позволяет существенно упростить правые части расчетных соотношений (8).

Подстановка выражений для в (25) позволяет сформировать системы уравнений относительно функций , которые определяются при удовлетворении условий (7).

Потенциал электрического поля пьезокерамического цилиндра определяется в результате интегрирования равенства (5) и удовлетворение предпоследнего граничного условия (2):

(26)

Полученные расчетные соотношений (24), (26) удовлетворяют дифференциальные уравнения (1) и краевые условия (2), (3), т.е. являются замкнутым решением рассматриваемой задачи.

Результаты исследования. В качестве примера рассматривается радиально поляризованный пьезокерамический цилиндр состава PZT–4, имеющего следующие физические характеристики

На внутренней поверхности пьезокерамического цилиндра действует температурная нагрузка

На рис. 1 представлены графики изменения функций по радиальной координате r в различные моменты времени t .Цифрами 1–3 соответственно обозначены результаты, полученные при следующих значениях времени:

Анализ результатов расчета позволяет сделать следующие выводы:

– достаточно большая величина коэффициента линейного температурного расширения пьезокерамического материала приводит к быстрому прогреву цилиндра;

– радиальные перемещения на внутренней цилиндрической поверхности на первом этапе исследования принимают наибольшие значения с последующим уменьшением в течение времени. Обратная картина наблюдается относительно перемещений при r = 1 ;

Степень связанности термоэлектроупругих полей наиболее удобно проанализировать с помощью коэффициента равенства (21). Здесь определяет связанность электроупругих полей, а — влияние скорости изменения объема тела на его температурное поле.

На рис. 2 представлен график изменения перемещений по времени t с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия) наведенного электрического поля.

Следует отметить, что предварительная поляризация пьезокерамики приводит к образованию более «жесткого» материала и соответственно к уменьшению перемещений при деформировании цилиндра.

Связанностью температурного и электроупругого полей в пьезокерамическом цилиндре можно пренебречь за счет малого значения

На рис. 3 показаны графики изменения электрического напряжения по времени с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия, ) релаксации теплового потока.

Результаты расчета показывают, что для рассматриваемой задачи уточненную гиперболическую теорию Лорда-Шульмана необходимо использовать при большой скорости изменения температурной нагрузки

а при меньших скоростях — классическую теорию термоэлектроупругости

Обсуждение и заключения. Построенное новое замкнутое решение связанной динамической задачи при удовлетворении граничных условий теплопроводности 1-го рода позволяет определить все компоненты термоэлектроупругих полей в длинном пьезокерамическом цилиндре. Преимущество представленного алгоритма расчета заключается в том, что в отличие от несвязанной постановки задачи, отпадает необходимость аппроксимации функции температуры при исследовании уравнения движения. При этом действительно влиянием скорости изменения объема пьезокерамического тела на его температурное поле можно пренебречь.

Список литературы

1. Кульчин, Ю. Н. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы / Ю. Н. Кульчин. — Москва : Физматгиз, 2001. — 272 с.

2. Lord, H. W. A generalized dynamical theory of thermoelasticity / H. W. Lord, Y. Shulman // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1967. — Vol. 15. — P. 299–309. https://doi.org/10.1016/0022-5096(67)90024-5

3. Green, A. E. Thermoelasticity without energy dissipation / A. E. Green, P. M. Naghdi // Journal of Elasticity. — 1993. — Vol. 31. — P. 189–208. https://doi.org/10.1007/BF00044969

4. Montanaro, A. Some theorems of incremental thermoelectroelasticity / A. Montanaro // Archives of Mechanics. — 2010. — Vol. 62. — P. 49–72.

5. Kulikov, G. M. Coupled thermoelectroelastic stress analysis of piezoelectric shells / G. M. Kulikov, A. A. Mamontov, S. V. Plotnikova // Composite Structures. — 2015. — Vol. 124. — P. 65–76. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2014.12.045

6. Abbas, I. A. LS model on electro-magneto-thermoelastic response of an infinite functionally graded cylinder / I. A. Abbas, A. M. Zenkour // Composite Structures. — 2013. — Vol. 96. — P. 89–96. https://doi.org/10.1016/j.-compstruct.2012.08.046

7. Ватульян, А. О. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости / А. О. Ватульян, А. Ю. Кирютенко, А. В. Наседкин // Прикладная механика и техническая физика. — 1996. — Т. 37, № 5 (219). — С. 135–142.

8. Ватульян, А. О. Динамическая задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя / А. О. Ватульян, С. А. Нестеров // Вычислительная механика сплошных сред. — 2017. — Т. 10, № 2. — С. 117–126. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.2.10

9. Saadatfar, M. Piezoelectric hollow cylinder with thermal gradient / M. Saadatfar, A. S. Razavi // Journal of Mechanical Science and Technology. — 2009. — Vol. 23. — P. 45–53. https://doi.org/10.1007/s12206-008-1002-8

10. Khorsand, M. Dynamic analysis of a functionally graded piezoelectric spherical shell under mechanical and thermal shocks / M. Khorsand // Mechanical Engineering Science. — 2014. — Vol. 228. — P. 632–645. https://doi.org/10.1177/0954406213489445

11. Thermoelectroelastic response of a piezoelectric cylinder with D symmetry under axisymmetric mechanical and thermal loading/ M. Ishihara, Y. Ootao, Y. Kameo, T. Saito // Mechanical Engineering Journal. — 2017. — Vol. 4. — Р. 16–00609. https://doi.org/10.1299/mej.16-00609

12. Shlyakhin, D. A. Uncoupled problem of thermoelectroelasticity for a cylindrical shell / D. A. Shlyakhin, M. A. Kalmova // In: Proc. XXX Russian-Polish-Slovak Seminar Theoretical Foundation of Civil Engineering (RSP 2021). — 2022. — Vol. 189. — P. 263–271. https://doi.org/10.1007/978-3-030-86001-1_31

13. Шляхин, Д. А. Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра / Д. А. Шляхин, М. А. Кальмова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. — 2021. — № 2. — С. 181–190. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.2.16

14. Сеницкий, Ю. Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики / Ю. Э. Сеницкий // Известия вузов. Математика. — 1991. — № 4. — С. 57–63.

15. Гринченко, В. Т. Механика связанных полей в элементах конструкций / В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульга. — Киев : Наукова думка, 1989. — 279 с.


Об авторах

Д. А. Шляхин
Самарский государственный технический университет
Россия

Шляхин Дмитрий Аверкиевич, заведующий кафедрой «Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты», доктор технических наук, доцент

 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194



М. А. Кальмова
Самарский государственный технический университет
Россия

Кальмова Мария Александровна, старший преподаватель кафедры «Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты»

г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194



Рецензия

Для цитирования:


Шляхин Д.А., Кальмова М.А. Связанная динамическая осесимметричная задача термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра. Advanced Engineering Research. 2022;22(2):81-90. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-2-81-90

For citation:


Shlyakhin D.A., Kalmova M.A. Related dynamic axisymmetric thermoelectroelasticity problem for a long hollow piezoceramic cylinder. Advanced Engineering Research. 2022;22(2):81-90. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-2-81-90

Просмотров: 121


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2687-1653 (Online)