Связанная динамическая осесимметричная задача термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра

Введение. В последнее время широкое распространение получили технические устройства различного назначения, изготовленные из пьезокерамического материала. Здесь особое место занимают приборы, работа которых основана на эффекте связанности упругих, электрических и температурных полей [1]. Для описания их работы с учетом связанности полей в настоящее время разработаны различные теории термоэлектроупругости [2–4]. При этом для более качественного описания и оценки нестационарных процессов в конструкциях возникает необходимость построения аналитических решений. Однако математическая формулировка рассматриваемых задач включает систему несамосопряженных дифференциальных уравнений в частных производных, интегрирование которых связано с большими математическими трудностями.

Для решения данной проблемы, как правило, исследуют уравнения в несвязанном виде [5][6], анализируются бесконечно длинные тела [7–11] или рассматриваются задачи термоэлектроупругости в квазистатической постановке [12][13].

В настоящей работе рассматривается связанная динамическая задача термоэлектроупругости для бесконечно длинного полого пьезокерамического цилиндра. В результате преобразования исходных расчетных соотношенийудается сформировать самосопряженную систему уравнений, интегрирование которой осуществляется методом неполного разделения переменных в виде обобщенного конечного интегрального преобразования [13].

Материалы и методы. Пусть полый, длинный, незакрепленный в радиальной плоскости, пьезокерамический цилиндр занимает в цилиндрической системе координат область :

На цилиндрических поверхностях задана температура в виде следующих нестационарных функций (граничные условия 1-рода) —

Внутренняя электродированная поверхность заземлена, а внешняя подключена к измерительному прибору с большим входным сопротивлением (режим электрического холостого хода).

Математическая формулировка рассматриваемой осесимметричной задачи в безразмерной форме включает дифференциальные уравнения движения, электростатики и теплового баланса на основании гиперболической теории Лорда–Шульмана, а также краевые условия [2][7][15]:

(1),(2)

(3)

— соответственно радиальная составляющая вектора перемещений, потенциал электрического поля и приращение температуры в размерной форме

— текущая температура и температура первоначального состояния тела;

— модули упругости, плотность, пьезомодули и коэффициент диэлектрической проницаемости электроупругого анизотропного материала ;

— компоненты тензора температурных напряжений ;

— коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и линейного температурного расширения материала;

— компонента тензора пирокоэффициентов;

— время релаксации;

— известная в начальный момент скорость изменения температуры;

В случае заземления внутренней поверхности пьезокерамического элемента, электрическое напряжение определяется потенциалом на его внешней поверхности:

(4)

При построении общего решения на первом этапе исследования в результате интегрирования уравнения электростатики определяется радиальная компонента вектора напряженности электрического поля:

(5)

где D₁ — постоянная интегрирования.

Подстановка (5) в (1)–(3) позволяет сформулировать новую задачу относительно функций

При этом условие отсутствия радиальной составляющей вектора индукции электрического поля на внешней цилиндрической поверхности элемента (последнее равенство (2) выполняется в случае D₁ = 0, а условие заземления внутренней поверхности удовлетворяется в результате интегрирования (5).

На следующем этапе решения неоднородные краевые условия (2) приводятся к виду, позволяющему в дальнейшем использовать процедуру неполного разделения переменных методом конечных интегральных преобразований. Для этого вводятся новые функции связанные с

(6)

Подстановка (6) в расчетные соотношения (1)–(3) относительно функций

при выполнении условий:

(7)

позволяет получить новую краевую задачу относительно функции

(8)–(10)

Здесь следует отметить, что является функцией перемещений цилиндрических поверхностей цилиндра. Первоначально приравнивается к нулю с последующим ее определением и уточнением .

Дальнейшие преобразования расчетных соотношений (8)–(10) связаны с использованием следующих допущений: и введения термоупругого потенциала

(11)

Условие можно принять без большой погрешности, поскольку для пьезокерамических материалов а зависимость выполняется в случае равенства компонент тензора температурных напряжений и отсутствие влияния температуры на электрическое поле

В результате формируется следующая задача относительно

(12)–(14)

где

Начально-краевую задачу (12)–(14) решаем, используя структурный алгоритм обобщенного конечного интегрального преобразования (КИП) [14]. При этом для данной задачи удается использовать однокомпонентное неизвестное ядро преобразований

(15), (16)

где — собственные значения, образующие счетное множество.

В результате использования алгоритма КИП [14] получаем задачи относительно ядра преобразований

(17), (18)

и трансформант

(19)

(20)

Общее решение задачи (17), (18) имеет вид:

(21)

Здесь собственные значения определяются с помощью следующего трансцендентного уравнения:

Система дифференциальных уравнений (19) приводится к следующему разрешающему уравнению 4-го порядка относительно

(22)

Поскольку характеристическое уравнение, соответствующее (22),

будет действительное, то оно из условия осциллирующего решения для имеет два действительных корня

и два комплексно сопряженных корня

В этом случае общее решение уравнения (22) имеет вид:

(23)

Функция определяется из первого уравнения системы (19). Подстановка полученных выражений для трансформант в граничные условия (20) позволяет определить постоянные интегрирования

Подстановка в (16), (11), (6) позволяет получить окончательные выражения для функций

(24)

На заключительном этапе исследования функции определяются при решении следующих дифференциальных уравнений:

(25)

что позволяет существенно упростить правые части расчетных соотношений (8).

Подстановка выражений для в (25) позволяет сформировать системы уравнений относительно функций , которые определяются при удовлетворении условий (7).

Потенциал электрического поля пьезокерамического цилиндра определяется в результате интегрирования равенства (5) и удовлетворение предпоследнего граничного условия (2):

(26)

Полученные расчетные соотношений (24), (26) удовлетворяют дифференциальные уравнения (1) и краевые условия (2), (3), т.е. являются замкнутым решением рассматриваемой задачи.

Результаты исследования. В качестве примера рассматривается радиально поляризованный пьезокерамический цилиндр состава PZT–4, имеющего следующие физические характеристики

На внутренней поверхности пьезокерамического цилиндра действует температурная нагрузка

На рис. 1 представлены графики изменения функций по радиальной координате r в различные моменты времени t .Цифрами 1–3 соответственно обозначены результаты, полученные при следующих значениях времени:

Анализ результатов расчета позволяет сделать следующие выводы:

– достаточно большая величина коэффициента линейного температурного расширения пьезокерамического материала приводит к быстрому прогреву цилиндра;

– радиальные перемещения на внутренней цилиндрической поверхности на первом этапе исследования принимают наибольшие значения с последующим уменьшением в течение времени. Обратная картина наблюдается относительно перемещений при r = 1 ;

Степень связанности термоэлектроупругих полей наиболее удобно проанализировать с помощью коэффициента равенства (21). Здесь определяет связанность электроупругих полей, а — влияние скорости изменения объема тела на его температурное поле.

На рис. 2 представлен график изменения перемещений по времени t с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия) наведенного электрического поля.

Следует отметить, что предварительная поляризация пьезокерамики приводит к образованию более «жесткого» материала и соответственно к уменьшению перемещений при деформировании цилиндра.

Связанностью температурного и электроупругого полей в пьезокерамическом цилиндре можно пренебречь за счет малого значения

На рис. 3 показаны графики изменения электрического напряжения по времени с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия, ) релаксации теплового потока.

Результаты расчета показывают, что для рассматриваемой задачи уточненную гиперболическую теорию Лорда-Шульмана необходимо использовать при большой скорости изменения температурной нагрузки

а при меньших скоростях — классическую теорию термоэлектроупругости

Обсуждение и заключения. Построенное новое замкнутое решение связанной динамической задачи при удовлетворении граничных условий теплопроводности 1-го рода позволяет определить все компоненты термоэлектроупругих полей в длинном пьезокерамическом цилиндре. Преимущество представленного алгоритма расчета заключается в том, что в отличие от несвязанной постановки задачи, отпадает необходимость аппроксимации функции температуры при исследовании уравнения движения. При этом действительно влиянием скорости изменения объема пьезокерамического тела на его температурное поле можно пренебречь.