Аналитическая оценка частоты собственных колебаний плоской решетки

Введение. Решетчатые конструкции широко применяются в машиностроении как несущие или ограждающие элементы. Методика расчета собственных частот колебаний решетки традиционно базируется на численных расчетах, как правило, использующих метод конечных элементов с применением специализированных пакетов. Значительно реже применяются аналитические методы. Развитие математических пакетов символьной математики (Maple, Wolfram Mathematica, Derive, Maxima и др.) дает возможность искать такие решения для регулярных систем, в которых возможен учет порядка регулярности (числа периодических структур конструкции, например, числа панелей) в решении. Цель исследования — найти аналитическую зависимость нижней границы первой частоты решетчатой конструкции от числа панелей. Зависимость решения от числа панелей значительно расширяет область применения формулы и дает возможность оптимизировать конструкцию по какому-либо параметру. Впервые проблемой существования и расчета статически определимых регулярных стержневых систем занялись Хатчинсон Р. и Флек Н. [1][2]. В [3][4] такие конструкции изучались в связи с задачами оптимизации. Существуют также аналитические решения в виде конечных формул для прогибов регулярных плоских [5–7] и пространственных ферм [8]. В справочнике [9] приводятся формулы для прогибов и смещений опор плоских ферм и решеток с произвольным числом панелей. В [10–13] получены нижние оценки первой собственной частоты колебаний плоских ферм, найденные методом индукции для произвольного порядка регулярной конструкции.

Есть другое направление аналитических исследований конструкций [14–16]. В этих работах решение находится в системе Maple в виде тригонометрических рядов.

В настоящей работе используется метод индукции, заключающийся в обобщении ряда отдельных расчетов решеток с последовательно увеличивающимся числом панелей на случай произвольного числа панелей. Во всех преобразованиях используются операторы системы символьной математики Maple. Объектом исследования является новая схема регулярной статически определимой плоской решетки прямоугольного очертания в виде несимметричной фермы на двух опорах. Ставится задача вывести аналитическую зависимость основной частоты колебаний конструкции от числа панелей. Выведенная формула может быть использована в задачах оптимизации и для оценки численных решений подобных конструкций большого порядка, для которых в численных расчетах возможны погрешности, связанные с накоплением ошибок округления.

Материалы и методы. В ферме длиной (2n – 1)a и высотой 4h содержится 5(n + 1) узлов, включая и три опорных узла (один для крепления левой опорной стойки, два — для правых стержней, моделирующих неподвижный шарнир). Число стержней, включая три опорных стержня, N = 10n + 4. Ферма статически определимая. При расчете частот колебаний конструкции предполагается, что масса фермы сосредоточена в узлах.

Вычисление усилий выполняется в системе Maple по программе [17]. Узлы и стержни фермы нумеруются (рис. 2). Начало координат находится в левой опоре. Координаты задаются в циклах.

Структура решетки устанавливается порядком соединения стержней в узлах. Для этого вводятся специальные списки Ф_а = [i₁,i₂] номеров i₁,i₂ концов стержней α = 1,..,N. Стержни нижнего внешнего контура, например, имеют следующие номера узлов по концам: Ф_i = [i,i + 1], i = 1,..,n. Таким же образом задаются и номера концов остальных стержней решетки. Система уравнений равновесия узлов в проекциях на оси координат составляется в матричном виде GS = B, S — вектор всех усилий в стержнях, включая и три реакции опор, B — вектор внешних узловых нагрузок. Матрица системы G состоит из направляющих косинусов усилий. При этом одно и то же усилие приложено к разным концам стержня и направлено в разные стороны:

где

 — проекции условных векторов стержней на оси координат;

 — длина стержня i = 1,..,N.

Усилия в стержнях решетки можно получить из решения системы уравнений в символьном или численном виде.

Результаты исследования. Рассмотрим напряженное состояние решетки в случае нагружения по всем узлам вертикальными силами P (рис. 1). На рис. 3 дана картина распределения усилий в стержнях конструкции. Толщины отрезков на рисунке условно пропорциональны модулям соответствующих усилий. Синим цветом выделены сжатые стержни, красным — растянутые. Значения усилий отнесены к величине P нагрузки на узел с округлением до двух значащих цифр. Наиболее растянутый стержень ожидаемо оказался в середине нижнего пояса, наиболее сжатый — в нижнем стержне на правой боковой стороне конструкции.

Аналитические зависимости усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях от числа панелей получаются методом индукции из обобщения последовательностей отдельных решений. Например, для усилия V_1,n в нижнем стержне левой стороны решетки последовательность значений для решеток порядка n = 1, 2, 3, ... имеет вид: V_1,n / P = –2, –12, –28, –54, –84, –126, –170, –228, –286, –360,... . Рекуррентное уравнение для общего члена этой последовательности дает оператор rgf_findrecur системы Maple:

Решение уравнения с помощью оператора rsolve:

Таким же образом находятся и другие выражения для критических усилий:

где φ = πn / 2. Интересно заметить, что усилия V_1,n и V_2,n не зависят от размеров a и h.

Аналитическая форма решений позволяет найти их асимптотики с помощью оператора limit системы Maple:

где P_sum = 5nP — суммарная нагрузка на решетку. Для усилий V_1,n и V_2,n в стержнях на боковых сторонах решетки асимптоты горизонтальные, для усилий O_n и U_n на верхнем и нижнем поясах — наклонные.

Частота собственных колебаний. Из всего спектра частот собственных колебаний конструкции для оценки ее динамического поведения наиболее важной является первая, низшая, частота. Ее значение входит в большинство решений задач динамики конструкции. Эта величина требуется в том числе и для оценки сейсмических характеристик сооружения. Нижнюю границу первой частоты для регулярных конструкций в форме зависимости от числа панелей можно получить аналитически.

При определении собственных частот колебаний конструкции принята упрощенная модель инерционных свойств фермы. Предполагается, что стержни решетки не имеют массы, а вся масса распределена равномерно по узлам. Пренебрегая движением опор, получаем общее число степеней свободы равное K = 10n.

Формула Донкерлея [13] для оценки нижней границы первой частоты имеет вид:

(1)

где ω_p — парциальные частоты конструкции. Парциальные частоты колебаний масс определяются из уравнения:

(3)

Здесь y_p = y_p (t) — координата узла p ; ÿ_p — ускорение; D_p  — жесткость, величина обратная податливости δ_p = 1 / D_p . Податливость можно вычислить по формуле Максвелла-Мора:

(4)

где S_α^(p) — усилие в стержне с номером α от действия вертикальной единичной силы, приложенной к узлу p, где расположена масса. Коэффициент жесткости и парциальная частота зависят от места, где расположена масса. Для гармонических колебаний

из (3) следует

Подстановка этого выражения в (4) дает формулу для оценки первой частоты только по парциальным частотам колебаний масс:

(5)

Отдельно выделены суммы для колебаний по вертикальному направлению Δ_n,v и горизонтальному Δ_n,h. Последовательный расчет частот колебаний решеток различного порядка показывает, что коэффициент Δ_n,v в (5) имеет вид:

В общем случае для парциальных частот по вертикали:

(6)

Для парциальных частот по горизонтали:

(7)

Решение уравнения дает оператор rsolve:

(8)

Таким же образом находятся и другие коэффициенты:

(9)

Аналогично:

(10)

где φ = πn / 2.

В результате из (5–7) следует выражение для нижней оценки первой частоты:

(11)

с коэффициентами (8), (9) и (10).

Оценка погрешности решения (11) возможна из сравнения с минимальной частотой всего спектра собственных частот решетки, полученной численно. Спектр системы с многими степенями свободы находится из решения задачи о собственных числах матрицы. Дифференциальные уравнения динамики масс конструкции с числом степеней свободы K записываются в матричном виде:

(12)

где D_K — матрица жесткости фермы; Y — вектор смещений масс; I_K — единичная матрица. Пусть B_K — матрица, обратная D_K. Умножение (12) слева на B_K , дает уравнение:

(13)

Относительная погрешность ε = (ω₁ – ω_D) / ω₁ , в зависимости от числа панелей (рис. 5), показывает, что с увеличением числа панелей погрешность, начиная с n = 1, растет, а затем монотонно и достаточно быстро убывает. Это особенно важно при использовании полученной формулы при расчете решеток с большим числом панелей, для которых численный счет начинает набирать погрешность, связанную с накоплением ошибок округления, а затраты на компьютерные ресурсы быстро растут.

Обсуждение и заключения. Предложена схема статически определимой плоской решетки. Поставлена задача получить аналитическое выражение нижней границы первой частоты собственных колебаний решетчатой фермы для произвольного числа панелей в конструкции. Решение получено методом индукции в системе Maple. Наличие экстремумов на построенных кривых дает возможность оптимизировать число панелей решетки, выбрав наибольшую точность оценки и подобрав требуемую частоту колебаний. В предложенном исследовании учтены горизонтальные колебания масс. Учет горизонтальных колебаний несколько усложняет итоговую расчетную формулу, делая ее более громоздкой. Помимо использованного метода Донкерлея, для оценки первой частоты есть более точный энергетический метод Рэлея, дающий оценку первой частоты сверху. Однако и это решение в рассматриваемом случае имеет излишне громоздкий вид и здесь не приводится.