К вопросу о построении математических моделей мембранной теории выпуклых оболочек

Введение. Рассмотренные в работе вопросы изучались и описывались еще в работах И. Н. Векуа [1][2] и А. Л. Гольденвезера [3][4], положивших начало применению методов теории обобщенных аналитических функций к безмоментной (мембранной) теории тонких упругих оболочек и теории изгибаний поверхностей. К настоящему времени окончательные результаты в этом направлении получены для выпуклых оболочек с гладким краем (т.е. с гладкой границей её серединной поверхности). Наиболее значимые из них — корректность и квазикорректность основной задачи со статическим граничным условием с односвязной и многосвязной серединными поверхностями — есть следствия того факта, что индекс соответствующей задачи Римана-Гильберта является инвариантом связности поверхности. Применение автором методов И. Н. Векуа к задачам теории выпуклых оболочек с кусочно-гладким краем¹ [5][6] выявило связь между «геометрией» срединной поверхности в окрестности её угловой точки и картиной разрешимости соответствующих задач Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия. Использование этих методов в работах [7–9] позволило получить эффективную формулу для индекса при некоторых дополнительных геометрических условиях на угловые точки поверхности, и, как следствие, геометрический критерий квазикорректности основной граничной задачи.

Цель настоящей работы — построение математических моделей безмоментного состояния напряжённого равновесия выпуклых оболочек с ребристыми боковыми поверхностями на основе геометрического критерия квазикорректности основной граничной задачи.

удовлетворяющее условию Римана–Гильберта

(2)

где

Как известно [11], статическая граничная задача безмоментной теории для упругой выпуклой оболочки с ребристой боковой поверхностью в математической постановке есть задача R , где w(z) — комплексная функция напряжений, F(z) — комплекснозначная функция внешней нагрузки. При этом условие равносильно условию концентрации напряжений в угловых точках серединной поверхности.

Определение 2. Угловую точку p(v) назовём точкой неустойчивости задачи R , если сектор T(v) содержит особенное направление.

Введём обозначение: ν , σ — односторонние пределы в угловой точке p(v) касательного к L единичного вектора, причём вектор σ задаёт главное направление k2 на поверхности в точке p , а внутренний угол v задаётся парой (-ν,σ).

Утверждение 1. Если направление вектора r в точке p(v) совпадает с направлением вектора ν , то точка q = J(p) есть особенный узел граничного условия (2) тогда и только тогда, когда:

(4)

Если же вектор ν заменить на вектор σ , то:

(5)

где t — единственный положительный корень уравнения:

Следствием утверждения 1 является утверждение 2.

Утверждение 2. Угловая точка p(v) есть точка неустойчивости задачи R тогда и только тогда, когда:

Отметим, что условие принадлежности решения задачи R классу H* есть условие ограниченности интеграла энергии растяжения оболочки [13, с. 83] в окрестности угловой точки.

Из формул (9), (10) следует утверждение 4.

Замечание 3. Как нетрудно убедиться, формулы (9), (10) вместе с утверждением 4 справедливы и в случае:

На основании очевидного графического анализа уравнения (6) заключаем:

Рассмотрим 1-канонический купол S . Справедливо утверждение 4.

Утверждение 4. Если в каждой из угловых точек p(v) купола S выполняется условие:

Обсуждение и заключения. Полученные результаты могут быть использованы для построения математических моделей тонких и пологих оболочек положительной гауссовой кривизны с ребристыми боковыми поверхностями. Наиболее полные и продвинутые результаты как линейной, так и нелинейной теории упругих оболочек получены для тонких пологих оболочек. Детальное обсуждение понятия «пологая оболочка», а также описание различных вариантов теории приводится в [15, с. 29]. Линейная теория пологих выпуклых разработана И. Н. Векуа [2, 16]. В рамках этой теории вопрос о реализации состояния напряжённого равновесия пологой оболочки с ребристой боковой поверхностью при выполнении статического граничного условия общего вида сводится к задаче R , рассмотренной выше.

Пусть P — пологая оболочка [2, с. 164] с ребристой боковой поверхностью, S — её срединная поверхность с кусочно-гладким краем. Будем полагать, что в каждой угловой точке поверхности S выполняется условие усиленной пологости k1 = k2 , которое равносильно следующему:

(19)

Предлагаемый выше метод может быть использован для построения математических моделей теории тонких пологих оболочек с ребристыми боковыми поверхностями любой конфигурации. Для этого достаточно воспользоваться результатами² о разрешимости задачи R для сферических куполов с кусочно-гладким краем. Рассмотрим для определённости срединную поверхность S в предположении, что все угловые точки p() границы — «выходящие», то есть < . В этом случае угловая точка на сферической поверхности есть особенный узел граничного условия тогда и только тогда, когда Отсюда следует, что «выходящая» угловая точка срединной поверхности пологой оболочки есть точка неустойчивости, если выполнено одно из следующих условий: Таким образом, формула (9) для индекса может служить обоснованием следующей гипотезы:

если задача R для пологой выпуклой оболочки безусловно разрешима в заданном классе решений, то её порядок квазикорректности есть дискретная случайная величина, принимающая целые значения K , K +1 …,K +N, где N — число точек неустойчивости; K — число, заданное набором угловых точек и выбором непрерывного векторного параметра r .

В заключении отметим, что обоснованием этой гипотезы могут служить те же рассуждения, но проведённые для регулярных выпуклых поверхностей, удовлетворяющих условию локальной симметрии [17] в угловых точках.