Метод решения задачи о движении нагрузки по ледяному покрову водоема по сложной траектории

Введение. В последнее время, в связи с освоением северных территорий и районов Мирового океана, огромное внимание уделяется проблемам изучения поведения ледяного покрова под действием внешней нагрузки. Этим вопросам посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Воздействие на вязкоупругую плавающую пластину импульсной движущейся нагрузки рассматривалось в [1]. Воздействие подвижной нагрузки на ледяной покров, примороженный к стенкам канала, представлено в [2][3]. Колебания ледяного покрова, обусловленные движущейся с постоянной скоростью нагрузкой, рассматривались в [4]. Поведение полубесконечного ледяного покрова при действии на него равномерно движущейся нагрузки изучалось в [5]. Распространения волн, возбуждаемых вдоль канала с ледяным покровом, рассмотрены в работе [6]. В [7] при моделировании применялись нелинейные модели. В монографии [8] приведены результаты исследований поверхностных волн в море с плавающим битым и сплошным ледяным покровом. Разрушение льда под действием движущейся нагрузки рассматривалось в [9]. В приведенных выше работах в основном рассматривалось прямолинейное движение нагрузки. Целью данного исследования являлась разработка метода решения задачи о воздействии силы, движущейся по ледяному покрову произвольным образом. Достижение поставленной цели позволяет более точно моделировать воздействие на ледяной покров транспортных средств, движение которых происходит часто по достаточно сложным траекториям и по сложному закону.

Постановка задачи. Рассматриваются колебания бесконечного ледяного покрова, лежащего на поверхности водоема конечной глубины, под действием силы, движущейся произвольно по замкнутой траектории. Ледяной покров моделируется тонкой вязкоупругой пластиной, механические свойства которой описываются моделью Кельвина-Фойгта. Водоем наполнен несжимаемой жидкостью.

Материалы и методы. Изгиб ледяного покрова описывается дифференциальным уравнением [7]:

∆Ф=0.

Граничные условия на границе лед-вода при z=0 и на дне водоема z=–H (H — глубина водоема) имели вид:

Предполагалось, что сила P (x, y, t) перемещается по произвольной замкнутой траектории γ произвольным образом. При этом полагалось, что P=P(s(t)), где s — дуговая координата, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки кривой γ. Если функция s(t) является периодической с периодом T, то вполне очевидно, что периодической будет и величина P(s(t)), причем также с периодом T. Параметрическое задание траектории принималось в виде:

где t — время.

Рассматривая установившийся процесс и применяя интегральное преобразование по переменным x и y, а также конечное интегральное преобразование по t на интервале [ 0; T], получим:

Тогда из первого уравнения следует:

Движущаяся сосредоточенная сила аппроксимировалась функцией:

где ε — параметр.

Далее, выполняя вполне очевидные преобразования, можно получить:

Зная W, можно по известным соотношениям определить формулы для вычисления компонентов вектора перемещения и тензора напряжений в любой точке ледяного покрова.

При численной реализации предлагаемого метода возникает проблема, связанная с необходимостью вычисления интегралов, один из которых в качестве подынтегральной функции имеет сильно осциллирующую функцию при достаточно больших n, а второй является несобственным с бесконечным верхним пределом.

Для вычисления интегралов от сильно осциллирующих функций применялась квадратурная формула, полученная на основе использования метода кубических сплайнов [11]:

где ℎ𝑗 — длины элементарных отрезков, на которые разбивается интервал [a; b]; S(x) — аппроксимация f(x)кубическим сплайном, 𝑀𝑗 = 𝑆̕̕(_𝑥𝑗).

При вычислении суммы ряда для ускорения его сходимости применялся метод сигма-множителей Ланцоша.

Результаты исследования. Расчеты проводились для случая действия единичной сосредоточенной силы, которая двигалась по замкнутой кривой, представленной на рис. 1:

При этом полагалось, что толщина ледяного покрова h=0,25 м, модуль Юнга материала пластины E=500 000 000 H/м2, коэффициент Пуассона μ=1/3, плотность льда ρ=900кг/м3, плотность воды ρ=1000 кг/м3, глубина водоема H=5 м, ε=2,5. Радиусы, определяющие форму траектории движения силы, принимались равными R1=15 м, R2=9 м, R3=3 м (рис. 1).

На рис. 2 а приведено изменение прогиба ледяного покрова, а также максимальных значений нормальных напряжений (при z=±h) Sx и Sy (рис. б, в) и при скорости движения единичной сосредоточенной силы v =7,4022 м/c и касательном ускорении w_t=0.

На указанных графиках красной точкой обозначено место приложения силы, а синим цветом — траектория движения.

На рис. 3 представлена зависимость изменения максимального значения прогиба ледяного покрова от величины скорости движения силы (а) в момент t=T/2. Положение силы на траектории в данный момент отмечено красной точкой (рис. 1), при этом касательное ускорение w_t=0. Приведено два графика, один из которых соответствует радиусу траектории R1=15 м (сплошная линия), а второй — радиусу R1=5 м (пунктирная линия). На графике б на рис. 3 изображена зависимость максимального значения прогиба ледяного покрова от величины касательного ускорения в момент t=T в точке траектории (2;0) на рис. 1 при скорости v=0. На графике на рис. 3 изображена зависимость максимального значения прогиба от величины времени релаксации деформации.

Поведение жидкости представлено на рис. 4, где изображено распределение вектора скоростей частиц жидкости по глубине водоема при t=T/2, скорости движения силы v=3,7011 м/c и ускорении w_t=0.

Обсуждение и заключения. Исследовано влияние кривизны траектории движения и механических свойств льда на прогиб ледяного покрова скорости и ускорения движения нагрузки. Расчеты показали, что прогиб ледяного покрова существенно зависит от скорости движения силы и ускорения движения.

Однако характер качественного изменения перемещений и напряжений в ледяном покрове, обусловленных действием движущейся силы при изменении скорости и ускорения движения, менялся слабо.

Заметное влияние на прогиб ледяного покрова оказывают механические свойства льда, в частности, время релаксации.

Полученные результаты и предложенный метод решения подобных задач могут быть использованы при строительстве ледовых дорог или аэродромов на льду. Кроме того, предложенный метод решения показал свою эффективность и может быть использован при решении других подобных задач.