Математическая модель системы управления pH в in vitro модели желудочно-кишечного тракта домашней птицы

Введение. С начала 1980-х годов исследователи физиологии и функциональных особенностей внутренних органов человека пришли к пониманию, что фокус экспериментов будет смещаться от практик in vivo к in vitro [1]. Актуальность разработки систем аппаратной имитации физиологических процессов обусловлена:

• снижением затрат и времени на проведение исследований:
• возможностью единовременного проведения однотипных экспериментов;
• акцентом на этичность исследований, что предполагает ограничение экспериментов на живых существах.

К началу XXI века сформировалось научное направление по разработке методик и оборудования для моделирования и исследований in vitro [1].

В настоящее время известны статические и динамические in vitro модели желудочно-кишечного тракта (ЖКТ). В первом случае речь идет о моделировании процессов пищеварения при использовании жидких питательных сред [2]. Динамические модели, в отличие от статических, позволяют моделировать перистальтические движения в ЖКТ и используются при работе с пищевыми матрицами в виде суспензий, включающих твердые частицы и волокна.

Цель данной работы — обеспечение требуемой точности регулирования pH в in vitro мини-модели ЖКТ статического типа.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

• разработка нелинейной математической модели изменения pH в биореакторе с учетом внешних управляющих воздействий;
• исследование математической модели методами имитационного моделирования;
• доработка математической модели для повышения ее точности путем учета температурной зависимости водородного показателя;
• создание математической модели процесса дозирования на основе двухканального конкурентного регулятора (по каналам щелочи и кислоты);
• разработка объединенной математической модели процесса регулирования pH в биореакторе;
• проведение экспериментов для подтверждения адекватности объединенной математической модели и определения достигнутой точности регулирования.

Материалы и методы. С точки зрения моделируемого объема модели ЖКТ подразделяются на микро- (до 50 мл), мини- (от 50 до 400 мл) и макросистемы (свыше 400 мл) [3]. Отдельно следует упомянуть микрофлюидные системы [4], но они выходят за рамки данной работы.

Патентный анализ позволяет назвать первое зарегистрированное изобретение в данной сфере — «In vitro модель in vivo пищеварительного тракта»¹. Эта динамическая система предшествовала появлению систем типа TIM2 [5]. Идея развивалась в моделях DGM [6], TIM2 [5], HGS [7] и др. Статические модели (DIDGI [8], SIMGI [9], SHIME [10], ARCOL [11] и др.) ушли от сложного моделирования перистальтики и сфокусировались на более точном моделировании собственно процессов пищеварения. Первая причина — техническая сложность и дороговизна реализации систем с динамическим сжатием содержимого. Вторая — развитие методов математического моделирования и микроконтроллерных систем управления, позволивших мониторить среду в пробирке (реакторе) с высокой точностью и стабильностью [4].

В данной работе рассматривается решение частной задачи математического моделирования процесса регулирования pH для in vitro мини-модели желудочно-кишечного тракта (ЖКТ) статического типа [12]. Точность управления кислотностью химуса определяется жесткими требованиями к условиям экспериментов in vitro. Точность автоматического регулирования pH в биореакторе не может быть ниже ±0,1 единицы². Это принципиально для правдоподобия условий процессов пищеварения и соблюдения требований к повторяемости результатов опытов. При этом pH может быть от слабощелочной (7,9 pH, ротовая полость) до сильно кислотной (1,3 pH, желудок).

Для моделирования реакции нейтрализации воспользуемся методом накопителей и потоков [13]. Его база — это законы сохранения (накопители), а также математическое описание закономерностей, изменяющих количество накапливаемого признака (потоки). Структурная схема данной модели с двумя накопителями представлена на рис. 1.

Реактор как физический объект накапливает некоторое количество:

• жидкости (Q1);
• ионов водорода (Q2).

В этой емкости идет контролируемый процесс пищеварения с изменением pH и объема жидкости.

На первый накопитель действуют три потока:

• 1-й — объем доливаемой кислоты;
• 2-й — объем доливаемой щелочи;
• 3-й — объем, выливаемый из реактора.

На второй накопитель также влияют три потока:

• 4-й — подача насосом гидроксида натрия [2];
• 5-й — поступление соляной кислоты [2];
• 6-й — изменение pH в процессе пищеварения.

Последний поток представляет собой возмущающее воздействие и не исследуется в данной работе.

Результаты исследования. Рассмотрим математическую реализацию модели для описания физикохимических процессов.

Объем жидкости в реакторе:

V = S * h. (1)

Изменение объема жидкости в реакторе:

dV = S * dh. (2)

Для удобства назовем:

• поток раствора соляной кислоты — q1 = G1;
• поток раствора щелочи (гидроксид натрия) — q2 = G2;
• поток слива раствора из реактора — q2 = G3.

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее накопление жидкости в реакторе:

 (3)

Для определения динамики изменения концентрации раствора в реакторе необходимо найти дифференциал количества вещества:

v = V * C, (4)

где V — это объем вещества, л; C — молярная концентрация, моль/л.

Из (4) и (1) получаем:

(5)

На изменение концентрации раствора влияют потоки щелочи и кислоты с определенной концентрацией. Значит:

(6)

Из (6) выведем изменение концентрации и упростим выражение:

(7)

Представим систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику изменения объема и концентрации раствора в биореакторе:

(8)

Зная основы химии и принимая во внимание (8), можно определить концентрацию катионов H ([H⁺]). Концентрации ионов водорода ([H⁺]) и гидроксид-ионов ([OH⁻]) в дистиллированной воде при 25 °C равны и составляют по 10⁻⁷ моль/л. Это следует из определения ионного произведения воды [11]:

(9)

Также стоит учитывать, что:

(10)

Теперь найдем [H⁺] (обозначим, как CH) через квадратный корень из предыдущих выражений с учетом концентрации раствора по уравнению (4) [14]:

(11)

Здесь ионы i = 4.

Для создания системы регулирования с обратной связью по кислотности в виде водородного показателя (pH) используем отрицательный десятичный логарифм из концентрации, рассчитанной по уравнениям (7), и получим кислотность раствора при нормальных условиях, то есть при 25 °C.

Однако содержимое биореактора не всегда находится в нормальных условиях. Например, для создания искусственной среды, свойственной in vivo среде желудочно-кишечного тракта домашней птицы, в реакторе поддерживается температура 42 °C. Поэтому на высокоточных измерителях pH получили матрицу изменения pH буферных растворов в зависимости от температуры. Показания фиксировали по измерительной системе с термокомпенсацией для применяемого электрода [13]. С этой целью использовали данные эксперимента и сведения из открытых источников³.

В итоге построили статическую модель. Ее получили полиномиальной аппроксимацией методом наименьших квадратов. Зависимость pH от температуры визуализирована на рис. 2 [14–16].

(12)

Коэффициенты уравнения представлены в таблице 1.

Для определения переходных процессов в системе построим математическую модель в прикладном пакете Matlab Simulink (рис. 3):

Рассмотрим созданную систему по блокам. Первый — блок двухканального регулятора по кислотности с обратной связью. В цепь обратной связи введены шумы для моделирования случайных событий реальной системы измерения кислотности и погрешности измерительных приборов.

Второй блок — это система контроля объема раствора в реакторе. Функция Volume change model моделирует включение откачивания. Так обеспечивается постепенный сброс раствора до необходимого объема при его приближении к максимуму.

Третий блок — основной. Он реализует расчет химической реакции кислоты и щелочи при добавлении в реактор и вычисление pH конечного раствора при нормальных условиях. Функция Neutralization определяет концентрацию ионов водорода в растворе [12]. Блок Concentration in pH преобразует концентрацию в водородный показатель pH.

Функция статистической модели в четвертом блоке (Temperature correction) позволяет учесть температурные изменения раствора.

Для определения адекватности переходных характеристик результирующей математической модели проводились эксперименты на имитационной модели. Реальная модель представлена системой автоматизированного управления искусственным ЖКТ домашней птицы с одним блоком управления и биореактором. Оборудование представлено на рис. 8.

Опишем методику проведения эксперимента. В математической модели учитываются характеристики реальной системы:

• заданная кислотность;
• параметры реактора (площадь основания и высота);
• концентрации доливаемых веществ (кислоты и щелочи);
• начальная концентрация раствора;
• начальный объем раствора;
• температура раствора на протяжении всего эксперимента;
• дискретность процесса регулирования [14].

Математическая модель представляет собой идеальную систему: смешивание растворов в реакторе происходит мгновенно и равномерно. В реальных условиях это невозможно, поэтому для равномерного растворения добавленной кислоты или щелочи необходимо принудительное перемешивание. В имитационной модели данная проблема решается магнитной мешалкой с управлением SCADA⁴.

К сожалению, такой тип перемешивающего устройства наводит на pH-электрод электромагнитные помехи. Для исключения помех устройство перемешивания кратковременно отключалось. Дискретность измерений и работы регулятора составила 20 секунд, что обусловлено экспериментально установленным временем нормализации показаний pH электрода в реакторе (по документации электрода возможна дискретизация до 1– 2 минут) ^5 6. В целях обеспечения безопасности регулятор реальной системы ограничен в максимальном объеме дозируемой кислоты или щелочи, что учитывалось в модели.

На рис. 9 сравниваются переходный процесс математической модели и реальной системы управления. PHэлектрод — это чувствительный элемент, на который воздействуют внешние электромагнитные помехи.

Один из экспериментов проводился при заданной кислотности раствора 2,15±0,05 pH. Кислотность исходного раствора — 6,2 pH. Температура раствора в реакторе — 22,25 °C. Для изменения кислотности использовались растворы 0,1 моль/литр NaOH и 0,1 моль/литр HCl. Алгоритм дозации заключался в дискретном пропорциональном регулировании.

На рис. 10 представлены интегралы по потокам из дифференциального уравнения (7).

Обсуждение и заключения. Анализ результатов моделирования показал, что потоки с концентрацией раствора в реакторе не вносят весомого вклада в регулирование всей системы, поэтому ими можно пренебречь. Тогда система дифференциальных уравнений цифровой модели (8) приобретет следующий вид:

(13)

По результатам экспериментов с учетом концентрации раствора в реакторе относительная погрешность установившейся кислотности раствора для математической модели составила 0,1 %, а для реальной системы с тем же алгоритмом — 0,35 %.

Итак, в математической модели учтем погрешность показаний электрода и пренебрежем перемешиванием растворов. Абсолютная погрешность результатов регулирования находится в допустимых пределах и не превышает ±0,1 pH от заданной величины. Это означает, что разработанная математическая модель адекватно описывает кривую реакции нейтрализации и в будущем позволит подобрать оптимальные алгоритмы регулирования, что было бы трудоемким процессом в реальной системе.

Разработанная модель решает поставленную задачу. Она представляет собой математический инструмент для создания методик и алгоритмов регулирования pH с учетом температуры содержимого мини-реактора, начальной концентрации основного раствора и концентраций доливаемых растворов. Такой подход позволяет совершенствовать существующие алгоритмы управления.