Анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра с переменными модулями упругости на основе трехмерных уравнений теории упругости

Введение. Функционально-градиентные материалы находят широкое применение в различных конструкциях. Благодаря зависимости механических свойств от координат можно управлять напряженно-деформированным состоянием (НДС) деталей. Примером использования такой неоднородности может служить цилиндр, механические свойства которого зависят от радиуса. При этом интерес может представлять цилиндр как отдельная конструкция, так и являющийся подтелом составного тела, например, соединяющий две среды с сильно различающимися свойствами. При расчете НДС тонкостенного цилинда используются некоторые прикладные теории. При этом важно знать оценку их адекватности. Особенно в случае неоднородных свойств она может быть осуществлена с помощью компьютерного моделирования или асимптотического анализа на основе трехмерной постановки. Последним определяется актуальность настоящего исследования.

Изучению НДС полых цилиндрических тел в рамках линейной теории упругости посвящен ряд исследований. В [1][2] на основе метода сплайн-коллокации и метода конечных элементов изучено механическое поведение радиально-неоднородного цилиндра в трехмерной постановке. В [3] изучено НДС цилиндра, свойства которого зависят от радиуса, нагруженного равномерным внутреннем давлением. В [4] проведено аналитическое исследование для функционально-градиентного пьезоэлектрического цилиндра. В [5] построено точное решение для радиально-неоднородного полого цилиндра с экспоненциальным модулем Юнга, постоянным коэффициентом Пуассона и степенным модулем Юнга. В [6][7] c помощью метода прямого интегрирования получено аналитическое решение осесимметричной задачи термоупругости для сплошного цилиндра, когда коэффициент линейного теплового расширения является произвольной функцией от радиуса. В [8] разработана общая асимптотическая теория трансверсально-изотропного однородного полого цилиндра. Для трансверсальноизотропного однородного цилиндра получены новые группы решений. Приведено сравнение построенных решений с решениями, построенными с помощью прикладных методов расчета. В [9][10] изучены некоторые краевые задачи теории упругости для функционально-градиентного изотропного и трансверсально-изотропного (плоскость изотропии перпендикулярна оси) цилиндра, в случае, когда модули упругости являются произвольными непрерывными функциями от радиуса цилиндра. В [11] проведен анализ задачи изгибной деформации для радиально-неоднородного цилиндра. Анализ этих работ показывает, что не для всех типов граничных условий на цилиндрических поверхностях имееются асимптотические представления решений.

В настоящей работе на основе асимптотического анализа трехмерных уравнений теории упругости изучаются особенности НДС тонкостенного цилиндра, свойства которого линейно меняются вдоль радиуса. При этом внутренняя граница закреплена в осевом направлении и свободна в радиальном направлении.

Достижение этой цели было получено с помощью нескольких шагов: асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений и построение однородных решений; вывод формул для компонент вектора перемещений и тензора напряжений; учет краевых условий на торцевых поверхностях.

Материалы и методы. Рассматривается радиально-неоднороднополый тонкостенный цилиндр в цилиндрической системе координат r, ф, z с началом на его оси. Задача о его равновесии, в случае закрепления цилиндрических поверхностей вдоль оси и нулевых нормальных напряжений, решается в осесимметричной постановке при действии напряжений на его торцах.

Краевая задача состоит из уравнений равновесия [8]:

(1)

(2)

где σ_rr, σ_rz, σ_фф, σ_zz — компоненты тензора напряжений.

Определяющие соотношения [8]:

(3)

(4)

(5)

(6)

Здесь u_r = u_r(r, z), u_z = u_z(r, z) — компоненты вектора перемещений.

Параметры Ламе изменяются по линейному закону вдоль радиуса:

(7)

где G_*, l_* — константы.

После подстановки (3)–(7) в уравнения (1), (2) безразмерная система уравнений принимает вид:

(8)

(9)

Здесь:

— новые безразмерные координаты;

— малый параметр в случае тонкостенности;

— некоторый параметр, имеющий размерность напряжения. Рассмотрим задачу, в которой на боковых поверхностях цилиндра заданы однородные граничные условия:

(10)

(11)

К торцам цилиндра приложены напряжения:

(12)

(13)

(s =1; 2).

— безразмерные напряжения.

Компоненты вектора напряжений t_1s (ρ), t_2s (ρ), (s =1;2) удовлетворяют условиям равновесия.

Для построения однородных решений компоненты вектора смещений будем искать в виде:

(14)

Подставляя представления (14) в систему (8)–(11), получим:

(15)

(16)

(17)

(18)

Исследуем краевые задачи (15)–(18) при ε→0. Для решения (15)–(18) при ε→0 воспользуемся асимптотическом методом [9–13].

Ненулевые решения (15)–(18) соответствуют третьему итерационному процессу, компоненты вектора смещений будем искать в виде разложений по малому параметру:

(19)

После подстановки разложений (19) в уравнения (15)–(18) для членов первого порядка имеем:

(20)

(21)

(22)

(23)

Следуя [13], спектральная задача (20)–(23) соответствует потенциальному решению для плиты. Таким образом решения представляются в виде:

(24)

(25)

Здесь β_0k является решением уравнения:

(26)

Напряжения, соответствующие решениям (24) и (25), имеют вид:

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Здесь β_0k является решением уравнения:

(33)

Напряжения, соответствующие решениям (31) и (32), имеют вид:

(34)

(35)

(36)

(37)

Общее решение (15)–(18) будет суперпозицией решений (24), (25), (31), (32):

(38)

(39)

Решения (24), (25), (31), (32) имеют характер пограничного слоя. При удалении от торцов решения (24), (25), (31), (32) экспоненциально убывают.

Чтобы определить константы T_k, F_i, воспользуемся вариационным принципом Лагранжа. Вариационный принцип принимает вид [8]:

(40)

Подставляя (24–36) в (40), имеем:

(41)

(42)

Здесь:

Постоянные T_kp, F_ip (p = 1, 2,…) находятся из систем линейных алгебраических уравнений (41), (42), аналогичные которым изучены в [13].

Результаты исследований. В работе в осесимметричной постановке рассмотрено решение задачи линейной теории упругости для функционально-градиентного полого тонкостенного цилиндра, свойства которого изменяются по толщине по линейному закону. На боковых поверхностях цилиндра заданы однородные перекрестные граничные условия, на торцах задан вектор напряжений. Построенные однородные решения удовлетворяют граничным условиям на цилиндрических поверхностях. Для их построения использован асимптотический подход на основе разложения по малому параметру, характеризующему относительную толщину цилиндра. Для учета неоднородных граничных условий на торцах получены системы линейных алгебраических уравнений, аналогичные изученным в литературе. Показано, что построенные решения НДС имеют погранслойный характер, который соответствует краевому эффекту, аналогичному теории неоднородных плит, носящему имя Сен-Венана.

Обсуждение и заключение. Обычно при изучении НДС тонкостенных конструкций строятся прикладные методы расчета, снижающие размерность задачи. В этой связи актуальной является задача определения диапазона геометрических и механических параметров, в которых эти методы дают приемлемую точность. Построенные в работе на основе асимптотического анализа решения трехмерных уравнений позволяют оценить адекватность таких прикладных теорий с заданным наперед порогом точности. Кроме того, эти решения могут найти применение при оценке численных решений задач для конструкций с функционально-градиентными материалами.