Разработка метода решения задачи деформации ледяного покрова под действием произвольно движущейся нагрузки

Введение. Освоение полярных районов Мирового океана и наличие большого количества замерзающих внутренних водоемов приводят к необходимости изучения полей перемещений и напряжений ледяного покрова, обусловленных действием различного вида нагрузок. Решению этих проблем посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Ранее было установлено, что механические свойства льда зависят от солености воды и его температуры. Большое внимание уделялось разработке численных моделей льда, которые достаточно точно отражали взаимодействие льда и идеальной несжимаемой жидкости. В работах [1][2] для этого применялся метод гидродинамики сглаженных частиц, в [3][4] — метод дискретных элементов. В статье [5] лед моделируется упругой пластиной, лежащей на поверхности стратифицированной жидкости. Модели, допускающие наличие трещин, рассматривались в работах [6][7]. Модели льда, усиленного армирующими элементами, представлены в работах [8][9].

При этом в некоторых работах ледяной покров рассматривается как упругая пластина, лежащая на поверхности водоема [10][11]. В то же время в [12] на основе приведенных исследований делается вывод о том, что в некоторых случаях свойства льда лучше всего описывает реологическая модель Кельвина-Фойгта с одним параметром (временем затухания). Поэтому многие исследователи при моделировании ледового покрова применяют вязкоупругую пластину [13]. В [14] для описания свойств льда применялись нелинейные модели.

В некоторых работах рассматривалось действие на ледяной покров подвижной нагрузки. В [15] исследовалось действие подвижной нагрузки на ледяной покров в замороженном канале, в [16] рассматривалось действие на ледяной покров нагрузки с импульсивным характером движения. Работа [17] посвящена изучению нагрузки, движущейся по замерзшему руслу. При этом исследовалось прямолинейное движение нагрузки [18]. Однако в реальных условиях часто приходится иметь дело с нагрузкой, перемещающейся более сложным образом. Поэтому целью данной работы явилась разработка метода решения задач о действии нагрузки, движущейся по ледяному покрову по сложной траектории. Это позволит более точно исследовать действие на лед транспортных средств, движущихся сложным образом.

Данная работа является продолжением исследований, связанных с рассмотрением задач о действии подвижной нагрузки на различные объекты, результаты которых представлены в работах [19][20].

Материалы и методы. Постановка задачи. Рассматривается водоем конечной глубины с бесконечным ледяным покровом (бесконечная пластина), который подвержен действию вертикальной силы, движущейся произвольным образом — импульсивно. Предполагается, что жидкость водоема несжимаема и совершает потенциальное движение.

Задача сводится к системе дифференциальных уравнений [15]:

Кроме того, предполагалось, что ледяной покров и жидкость в водоеме в начальный момент времени находились в состоянии покоя. Нагрузка представляла собой сосредоточенную единичную силу (величиной в один
Ньютон) Q(x, y, t), которая перемещалась произвольно по незамкнутой кривой γ произвольной формы. Полагалось, что перемещение силы задавалось в виде Q = Q(s(t)), где s — дуговая координата, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки траектории γ. Траектория движения задавалась параметрически в виде

где t — время.

Подвижная нагрузка аппроксимировалась выражением

где ε — числовой параметр.

После применения интегрального преобразования Фурье по переменным x и y, интегрального преобразования Лапласа по t, были получены формулы для вычисления неизвестных функций W и F:

,

,

,

Используя известные соотношения из теории тонких пластин и теории потенциального течения идеальной жидкости, можно получить соотношения для вычисления перемещений и напряжений в ледовом покрове, а также компонент вектора скорости частиц жидкости.

При вычислении несобственного интеграла с помощью численных методов использовалось приближенное соотношение

в котором величина А выбиралась настолько большой, чтобы оценка ошибки

не превышала установленного значения.

Так, для величины прогиба льда

данная оценка имеет вид:

Подобные оценки можно получить и для остальных вычисляемых величин. Эти оценки использовались при определении величины А.

В проведенных расчетах величина А выбиралась такой, чтобы оценка

не превышала

0,001.

При вычислении повторного интеграла использовались квадратурная формула Симпсона (по переменной τ) и квадратурная формула Чебышева с равными весами для двух узлов (по переменной p). Аналогичным образом вычислялись и остальные величины.

Результаты исследования. Разработан метод решения задач о действии нагрузки, движущейся по ледяному покрову водоема, наполненного идеальной жидкостью, по сложной траектории с переменной скоростью. Применяя данный метод, проведены расчеты, которые показали степень влияния различных параметров на деформацию ледяного покрова.

Изложенный метод не накладывает ограничений на форму траектории движения сосредоточенной силы. При расчетах рассматривался частный случай траектории, состоящей из дуг окружностей (рис. 1). Красной точкой указано положение сосредоточенной силы в рассматриваемый момент времени и направление движения силы.

При других значениях указанных параметров качественный характер распределения прогиба ледяного покрова оставался практически неизменным.

Движение жидкости, обусловленное действием подвижной нагрузки при тех же значениях скорости, касательного ускорения движения нагрузки, времени релаксации и глубины водоема, представлено на рис. 3 (изображено распределение вектора скоростей частиц жидкости).

Обсуждение и заключение. Исследовано влияние глубины водоема на максимальный прогиб льда. Получена картина прогиба ледового покрова, обусловленная действием сосредоточенной силы, движущейся по сложной траектории с переменной скоростью. Расчеты показали, что с увеличением глубины водоема максимальный прогиб ледяного покрова уменьшается (рис. 2). При этом заметная зависимость прогиба ледяного покрова от глубины водоема H имеет место лишь для H ≤ 25 м. При больших глубинах величина максимальных прогибов стабилизируется около некоторого постоянного значения и практически не изменяется. Таким образом, если H > 25 м, то при расчетах глубину водоемов можно считать бесконечной.

Увеличение касательного ускорения приводит к увеличению прогиба ледяного покрова. Причем зависимость прогиба от касательного ускорения очень близка к линейной зависимости (рис. 4).

При малых временах релаксации τ_o скорость движения нагрузки заметно влияет на величину прогиба льда. При больших временах влияние скорости движения нагрузки на прогиб ледяного покрова заметно уменьшается (рис. 5).

Для изучения состояния жидкости водоема определено распределение вектора скорости движения частиц жидкости, обусловленное действием подвижной силы по льду (рис. 3).

Разработанный метод решения задач и результаты, полученные с его помощью, могут быть использованы при строительстве ледовых дорог, проектировании и строительстве взлетно-посадочных полос на льду.