Оценка напряжений в пластине с концентратором посредством ультразвуковых измерений акустической анизотропии

Введение. В последние десятилетия разрабатываются отечественные технологии неразрушающего контроля для определения напряженно-деформированного состояния элементов энергетических систем, железнодорожного и трубопроводного транспорта [1]. Эти подходы предполагают решение обратных задач в случае неоднородного напряженного состояния [2], бесконтактную электромагнитно-акустическую тензометрию [3], учет деградации упругих свойств при комбинированном неразрушающем контроле [4], а также прецизионное измерение временных задержек при распространении упругих волн в материале [5]. Технологии прошли верификацию в ходе промышленных измерений¹ [6], их применение сопровождается работой современного диагностического оборудования [7]. Однако остается актуальной задача апробации существующих подходов при диагностике анизотропных конструкционных материалов, к числу которых относится промышленный прокат [8].

Данная работа посвящена исследованию акустической анизотропии [9] начально неоднородного материала. В данном случае это технически чистый алюминий марки АМц. Образцы, вырезанные из катаного листа, не проходили подготовку по снятию начальных внутренних напряжений, вызванных пластической деформацией в процессе прокатки [10]. Задача — установить возможность оценки разности величины двухосных напряжений в металле с неоднородной начальной акустической анизотропией [11].

Материалы и методы. В экспериментах использовали ультразвуковой анализатор акустической анизотропии ИН-5101А². Это сертифицированный прибор для измерения механических напряжений методом акустоупругости [12]. Напряжения рассчитывались по формуле:

(1)

Здесь σ_θθ и σ_rr — главные компоненты тензора напряжений в полярных координатах; D — коэффициент упругоакустической связи материала; a₀ — начальная акустическая анизотропия в точке измерений; a_σ — значение параметра акустической анизотропии при текущей величине одноосной растягивающей нагрузки σ. Для алюминиевого сплава АМц коэффициент D = –2,0 ± 0,3 ∙ 10^–4 МПа [13].

Текущее значение параметра акустической анизотропии a₀ [14] определялось по формуле (2) как относительная разность времен распространения поперечных ультразвуковых волн взаимно ортогональной поляризации [15]:

(2)

Здесь t₁, t₂ — текущие значения временных задержек при прохождении пакетов поперечных волн по толщине материала после их многократного отражения, скорости которых направлены вдоль и поперек линии одноосного нагружения.

Измерения проводились с помощью акустических датчиков с частотой излучения импульсов 5 МГц. Точность измерений временных задержек t₁, t₂ составляла 3 нс.

Исследовался малолегированный коррозионно-стойкий алюминиево-марганцевый сплав марки АМц, близкий по своим свойствам к технически чистому алюминию (97/99 % Al по составу). Алюминий — это модельный материал для ультразвуковых исследований. Именно с ним получены основные результаты в области акустоупругости [1].

Механические испытания проводились на прямоугольной пластине размером 510×120×15 мм, вырезанной из катаного алюминиевого листа поперек направления проката. Образец имел концентратор напряжений в виде центрального кругового отверстия диаметром 40 мм (рис. 1).

(3)

Здесь t₀₁, t₀₂ — начальные временные задержки поперечных волн. В случае образцов, вырезанных поперек проката, безразмерный параметр начальной акустической анизотропии a₀, вычисленный по формуле (3), будет отрицательным: a₀ < 0.

Для жесткого ступенчатого нагружения пластины применили одноосное растяжение в гидравлической машине Instron-8850 (рис. 3). Рассматривалось напряженно-деформированное состояние на трех этапах нагружения при значениях растягивающей нагрузки F₁ = 30 кН, F₂ = 50 кН и F₃ = 70 кН. Для исследования выбрали n = 8 участков (точек) образца. Схема их расположения представлена на рис. 2.

Ультразвуковой контроль проводили вдоль трех рядов точек: 1–5, 2–4 и 6–8, симметрично расположенных друг относительно друга вокруг концентратора напряжений (рис. 2). Характерный размер пластин пьезоэлектрических элементов акустического датчика — 12×12 мм. Это означает, что с каждой точкой был связан свой локальный представительный объем материала. Точки выбрали так, чтобы представительные объемы существенно различались по напряженно-деформированному состоянию [17].

Механические испытания на растяжение в машине типа Instron предполагают разные граничные условия для образца. Нижняя его часть (точки 4, 5, 6 на рис. 2) жестко зафиксирована в неподвижном захвате испытательной машины (рис. 3). В верхней части (точки 1, 2 и 8 на рис. 2), закрепленной в подвижном захвате, образец растягивался с малой постоянной скоростью деформации (рис. 3). Точки 3 и 7 располагались на центральной поперечной оси образца (рис. 2).

Асимметрия условий задачи учитывалась при численном моделировании методом конечных элементов. Использовались реальные размеры образца, его упругие и механические свойства, полученные в ходе испытаний образцов из той же партии (модуль Юнга E, предел текучести σ_y, модуль упругости H), а также известные данные для технически чистого алюминия (плотность ρ, коэффициент Пуассона ν). Учитывалось, что образец закрепляется в испытательной машине по широкой поверхности и касательная растягивающая нагрузка прикладывается к ней, а не к торцу образца, как в случае двумерных моделей.

Напряженно-деформированное состояние рассчитывали в пакете конечно-элементного моделирования Ansys. С учетом площади приложения нагрузок F₁, F₂, F₃ определены значения растягивающих напряжений: σ₁ = 16,67 МПа, σ₂ = 27,78 МПа и σ₃ = 38,89 МПа. Их использовали при численном решении. На рис. 4 представлена модель образца с отображением конечно-элементной сетки и граничных условий. Она состоит из 936 152 элементов и 3 981 073 узлов.

Аналитическое решение основывалось на использовании формул (4) и (5), являющихся решением задачи Кирша в полярных координатах [18]:

(4)

(5)

где S — нагрузка, прикладываемая к пластине; a — радиус отверстия пластины; r — расстояние от центра отверстия до точки расчета напряжений; θ — угол, соответствующий рассчитываемой точке.

Постановка задачи в данной работе предполагает наличие только упругих деформаций образца. Ее дальнейшее развитие, учитывающее влияние неупругих деформаций, связано с рассмотрением решения плоской упругопластической задачи о растяжении пластинки с круговым отверстием (идеального пластического тела), полученного Л.А. Галиным в 1946 году [19].

Рассчитаны главные напряжения, сонаправленные с продольной осью x (σ_θθ) и поперечной осью y образца (σ_rr) для всех n = 8 исследуемых точек. Компоненты σ_θθ, σ_rr — функции от радиального расстояния до центра отверстия r и от угла θ, измеренного относительно исходной оси. Соотношения (4) и (5) получены в предположении, что круглое отверстие находится в центре бесконечной изотропной линейно-упругой пластины, подверженной равномерному плоскому нагружению. Ранее они использовались в работе [20] для определения напряжений в двух областях на границе отверстия, расположенных вдоль (θ = 0°) и поперек (θ = 90°) линии действия нагрузки.

Ультразвуковые измерения проводились в точках 1, 2 и 3 (рис. 2) в образце до нагружения (F₀ = 0 кН), а также при достижении уровней упругой деформации, соответствующих нагрузкам F₁, F₂, F₃. Исследовалось влияние конечных размеров пластины (в основном, в ее поперечном сечении) на расхождение между значениями напряжений, полученных экспериментально, численно и аналитически. Значения акустической анизотропии a₀, % и a_σ, % рассчитали по формулам (2) и (3). Для учета эффектов, связанных с релаксацией напряжений, проводили контрольные измерения в начале и конце каждого этапа. Всего измерили 198 временных задержек (t₀₁, t₀₂) и (t₁, t₂) при распространении поперечных волн вдоль и поперек образца.

Результаты исследования. В таблице 1 приводятся значения внутренних напряжений σ_xx (аналог σ_θθ в полярной системе координат) и σ_yy (аналог σ_rr) для n = 8 точек вокруг отверстия пластины (рис. 2). Их получили в результате конечно-элементного моделирования и расчетов по формулам (4) и (5) при внешних растягивающих напряжениях σ₁, σ₂, σ₃ (соответствуют нагрузкам F₁, F₂, F₃).

Условия закрепления образца различны: левая часть зафиксирована, правая подвижна. Отсюда асимметрия в паттерне поля деформаций образца, которая сохраняется при всех значениях нагрузок в упругой области (пример для F₁ = 30 кН представлен на рис. 5).

Из-за отмеченной выше асимметрии при решении задачи методом конечных элементов значения напряжений в парах точек:

• совпадают, если они получены зеркальным отражением относительно центральной продольной оси образца;
• отличаются, если они получены отражением относительно поперечной оси образца.

В первом случае примером могут служить пары 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6, во втором — 1 и 5; 2 и 4; другие. Отметим, что даже если разница напряжений есть, она не превышает 1 МПа. Это соответствует уровню инженерной погрешности ±5 % (таблица 1). Совпадают значения напряжений, рассчитанные для указанных пар точек по формулам (4) и (5).

В итоге близкие значения между результатами аналитических и численных расчетов наблюдаются только для точек 3 и 7, расположенных вблизи области с наибольшей концентрацией напряжений (таблица 1). В остальных точках имеет место их кратное отличие не только по модулю (2 и 8; 4 и 6), но и по знаку (1 и 5). Это связано с тем, что вычисления по формулам (4) и (5) для пластины равных (бесконечных) размеров предполагают наличие зоны сжимающих напряжений в области расположения точек 1 и 5. Иная ситуация — с реальной пластиной (рис. 1 и 2), размеры которой ограничены и отличаются между собой по соотношению длины и ширины в 4,25 раза. В этом случае нет зоны сжимающих напряжений (таблица 1 и рис. 5).

Сравнение результатов говорит в пользу того, что влияние конечных размеров пластины не позволяет использовать соотношения (4) и (5) для оценки напряжений в данной задаче. Это противоречит выводам работы [20]. Отметим, что наличие корреляции для точек с максимальным значением коэффициента концентрации напряжений подтверждается результатами для пары точек 3 и 7.

В таблице 2 представлены начальные a₀ и текущие a_σ значения акустической анизотропии в области расположения точек 1, 2 и 3, вычисленные по формулам (2) и (3) в ненагруженном состоянии (F₀) и при трех значениях нагрузок F₁, F₂, F₃.

Из таблицы 2 следует, что различие значений параметра начальной акустической анизотропии a₀ в точках 1, 2 и 3 во многом определяется начальной неоднородностью материала. Это видно по вариации параметра до нагружения. К тому же с приложением внешней нагрузки растет расхождение между значениями параметра акустической анизотропии a_σ в исследуемых точках.

На основании данных ультразвуковых измерений (таблица 3) рассчитаны значения (σ_θθ – σ_rr) разности главных напряжений в полярных координатах по соотношениям акустоупругости (1) [21]. Они приведены в таблице 3 в сравнении с результатами конечно-элементного моделирования и расчетов по формулам (4) и (5). В круглых скобках указаны значения напряжений, отличающиеся для пар симметрично расположенных точек, полученных отражением относительно поперечной оси образца.

Из таблицы 3 видно, что данные измерений методом акустоупругости и решения методом конечных элементов качественно и количественно коррелируют друг с другом. Следовательно, можно говорить о взаимной верификации результатов натурных и численных экспериментов. Наибольшая корреляция наблюдается для точек 2, 8; 4, 6; 3, 7, находящихся вблизи области максимальных растягивающих напряжений.

Иные результаты получены для точек 1 и 5, где по формулам (4) и (5) предполагалось наличие сжимающих напряжений. Здесь разности главных значений (σ_θθ – σ_rr), полученные по данным ультразвуковых измерений, оказываются в среднем в два раза меньше прогнозируемых численных значений. Таким образом, расчеты по значениям акустической анизотропии дают нижнюю оценку напряжений для исследуемых участков образца.

Обсуждение и заключение. Исследованы главные двухосные напряжения в алюминиевой пластине вокруг концентратора — центрального кругового отверстия. Сопоставляются значения, полученные в результате натурных ультразвуковых измерений, численных экспериментов методом конечных элементов и аналитических расчетов по соотношениям Кирша. Учтено влияние асимметрии полей напряжений и деформаций, возникающей из-за различных условий закрепления образца и отражающей процесс одноосной упругой деформации при растяжении в испытательной машине.

Отмечено, что схожие результаты аналитических и численных расчетов наблюдаются только для точек, расположенных рядом с областью наибольшей концентрации напряжений. Во всех других случаях значения различаются в несколько раз и по модулю, и по знаку. Это объясняется наличием или отсутствием сжимающих напряжений. Аналитический подход предполагает, что они есть. В реальной пластине их нет. Таким образом, соотношения Кирша для напряжений одноосно растягиваемой бесконечной изотропной линейно-упругой пластины невозможно корректно применить в рассматриваемом случае.

Методом акустоупругости установлена корреляция между результатами численного моделирования и ультразвуковых измерений двухосных напряжений. Это особенно заметно в отношении точек, расположенных рядом с зоной максимальных растягивающих напряжений.

Результаты исследования могут быть использованы в промышленном неразрушающем контроле при диагностике напряжений в объектах из металлического проката.