Конечно-элементное моделирование плоской ячейки высокопористого пьезокомпозита с наклонными ребрами с учетом неоднородной поляризации

Введение. Одним из типов высокопористого композита является материал, построенный на основе ячеек Гибсона-Эшби [1]. В работе [2] проведена оценка эффективного модуля Юнга пористого титана с открытыми порами на основе трехмерного массива таких ячеек. Сравнение механического поведения моделей пен, составленных из регулярных и нерегулярных массивов открытых ячеек Гибсона–Эшби осуществляется в работе [3]. На рис. 1 а представлена открытая ячейка, на рис. 1 б и 1 в — модифицированные модели Гибсона-Эшби с наклонными ребрами для функционально-градиентных решетчатых структур [4].

Методы гомогенизации, которые используются при моделировании эффективных свойств композитов рассматриваются в монографиях [5][6]. Исследования высокопористых структур, таких как, пенообразные, клеточные, ячеистые и сотовые представлены в монографиях [7][8], в обзорах [9–12] и др. В работе [13] экспериментально и теоретически рассматривается поляризация пористой пьезокерамики и на основе модельного примера теоретически объясняются особенности некоторых ее эффективных свойств, о чем сказано выше. Вопрос об эффективных свойствах высокопористых пьезоэлектрических композитов в научной литературе изучен недостаточно. Это связано в первую очередь с тем, что определенную трудность составляет процесс описания поляризации таких структур. Целью данной работы явилось изучение влияния модели поляризации на напряженно-деформированное состояние ячейки и на эффективные свойства таких композитов. Рассматривается две модели: в первой предполагается однородная поляризация; во второй — распределение поляризации рассчитывается с помощью известных в литературе методов и программного обеспечения, среди разработчиков которого есть один из авторов данной работы. В работе показано, что выбор модели поляризации существенно влияет на механические свойства высокопористых пьезоэлектрических композитов.

Материалы и методы

Математическая постановка задачи. Рассматриваются плоские ячейки, которые являются элементами конструкций, представленных на рис. 1. Материал ячеек — пьезокерамика PZT-4, описываемая в рамках линейной теории электроупругости [14], в однородном случае — поляризованная по вертикальной оси, в неоднородном случае — распределение поляризации находится по теории, предложенной в работе [15] и реализованной в конечно-элементном пакете ACELAN [16].

Материалы. На рис. 2 а представлена геометрия плоской ячейки, соответствующая схеме на рис. 1 а с наклонными ребрами, толщина ребер составляет 1 мм, внешний размер 10×10 мм. На рис. 2 б представлена схема неоднородной поляризации для такой конструкции, когда электроды расположены на внешних торцах верхнего и нижнего вертикальных ребер. Особенностью этой поляризации является ее неоднородность на наклонных ребрах и наличие встречных ее направлений на верхнем и нижнем горизонтальных ребрах. На рис. 2 в представлена схема поляризации для элемента композита, периодичность которого осуществляется через вертикальные и горизонтальные ребра. Особенностью поляризации этого элемента является практически неполяризованные горизонтальные ребра.

Методы. В качестве метода расчета напряженно-деформированного состояния ячеек используется метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в пакете ACELAN [16].

Результаты исследования. Вначале исследуются собственные частоты и формы колебаний «внутри» ячейки, представленной на рис. 1 в и 2 в. При этом ячейка закрепляется в углах по нормали на толщину горизонтальных и вертикальных ребер, что соответствует периодичности структуры композита. В таблице 1 представлены собственные резонансные частоты для однородной и неоднородной поляризации (рис. 2 в), на рис. 3–5 — собственные формы колебаний на этих частотах.

Для неоднородной поляризации 1, 3 и 4 собственные частоты ниже, чем для однородной, но формы колебаний 1–5 качественно совпадают. Поэтому на рис. 3–5 представлены собственные формы для ячейки с однородной поляризацией. На рис. 3 а, б представлено распределение горизонтальных смещений и вертикальных смещений для первой формы колебаний. На рис. 4 а, б представлены распределения для второй формы колебаний горизонтальных смещений и для третьей формы колебаний вертикальных смещений соответственно. На рис. 5 а, б представлено распределение модуля смещений на четвертой и пятой модах соответственно.

При продольном в вертикальном направлении растяжении-сжатии этой ячейки в структуре композита (моделируется свободной всей верхней поверхностью и приложением равномерного давления на верхний торец вертикальных ребер) смещение в случае однородной поляризации на 15 % больше (рис. 6 а). Потенциал на свободных электродах на 3 % больше в случае неоднородной поляризации. Следует отметить, что касательные напряжения (рис. 6 б) в случае неоднородной поляризации больше на 10 %. Коэффициент электромеханической связи для 7-ой моды колебаний (рис. 6 в) на 14 % процентов больше для однородной поляризации ячейки.

Расчеты для ячейки, представленной на рис. 2 а и 2 б, показали, что вертикальное смещение (рис. 7 а) при действии давления на торец верхнего стержня в случае неоднородной поляризации на 11 % больше. В статике, при действии разности потенциалов на нижнем и верхнем торцах, ячейка проявляет свойства ауксетика, что связано со встречной поляризацией (рис. 2 б) горизонтальных ребер. На рис. 7 б и 7 в приведены распределения вертикального и горизонтального смещений. Видно, что при растяжении по вертикали происходит расширение ячейки и по горизонтали.

Обсуждение и заключение. Таким образом, на основе этого НДС находятся эффективные свойства композитов, которые используются при моделировании пьезоэлекрических устройств, поэтому исследование влияния вида поляризации на НДС высокопористого пьезоактивного материала весьма актуально.

Расчет поля предварительной поляризации в ячейке высокопористого материала показал, что оно существенно зависит от ее геометрии и расположения электродов. К этим особенностям относится то, что некоторые ребра практически не поляризованы, другие поляризованы в одном направлении, но неоднородно и, наконец, могут появиться ребра со встречной поляризацией. Расчет механического и электрического отклика ячейки и собственных резонансных частот показал, что учет неоднородности поляризации приводит к тому, что величина расхождения этих результатов с результатами для модели с однородной поляризацией достигает 15 % и 10 % соответственно. А ячейка, с ребрами на которых есть встречная поляризация, проявляет ауксетические свойства. В работе показано, что в задачах определения эффективных свойств высокопористых пьезоэлектрических композитов на основе построения представительных объемов из его ячеек существенным является учет соответствующей их структуре неоднородной поляризации.

Практическая значимость полученных результатов связана с тем, что с помощью эффективных свойств композитов на этапе проектирования проводится моделирование, расчет и оптимизация различных пьезоэлектрических устройств (датчиков, излучателей и приемников акустических волн, пьезоэлектрических генераторов и др.).