Динамика плоского твердого тела на горизонтальной плоскости

Введение. В последнее время все большую актуальность имеют задачи проектирования движения роботов, несущих необходимые объекты, в том числе, перемещаемые в агрессивных средах [1] и способные выполнять требуемые операции [2]. Как правило, модель, учитывающая взаимодействие твердого тела с опорной плоскостью, это модель сухого трения [3]. В этой задаче много общего с задачей вибрационного перемещения сыпучих сред и твердых тел на вибрирующем основании [4]. Оптимизация движения капсульного робота при варьировании средней скорости рассматривалась в [5]. В [6] изменялось ускорение на различных интервалах движения. Капсульный робот, управление которым основано на этих двух принципах, рассмотрен в [7]. В работе [8] приведена оптимизация средней скорости. В [9] построена математическая модель электромагнитной силы втягивания сердечника. Зависимость средней скорости движения от параметров возбуждения рассмотрена в [10]. В [11] исследуется закон управления скоростью движения внутренней массы для наискорейшего поворота робота. Движение капсульного робота с двумя массами, движущимися по параллельным направляющим, рассмотрено в [12], а по двум взаимно перпендикулярным направляющим — в [13]. Роботы с линейно движущимися массами и ротором рассмотрены в [14]. Во всех перечисленных работах не исследовалось движение твердого тела по горизонтальной плоскости под действием гармонической силы, направленной под углом к горизонту, не устанавливались различные режимы движения и их особенности. Поэтому целью данного исследования являлось выявление особенностей всех возможных режимов движения твердого тела по горизонтальной плоскости под действием гармонической силы, направленной под углом к горизонту. Достижение поставленной цели позволяет определить оптимальные параметры задачи исследования, например, такие как: оптимальный угол действия силы для достижения максимальной скорости, необходимые и оптимальные значения параметров задачи исследования для достижения требуемой скорости движения твердого тела.

Материалы и методы. Для решения поставленной задачи составляем уравнение движения механической системы. Решение уравнения для каждого режима движения может быть получено отдельно.

Уравнения движения. Тело имеет массу m и двигается по горизонтальной плоскости вдоль оси x. На тело действует гармоническая сила F = A₀ cos(qt), направленная под углом b к горизонтальной плоскости, где A₀ — амплитуда действующей внешней силы; q — частота действующей внешней силы. Обозначим V_x — скорость тела в горизонтальном направлении; V_y — скорость тела в вертикальном направлении.

Движение твердого тела описывается системой двух уравнений:

где g — ускорение свободного падения; N — сила реакции основания. В приведенных уравнениях сила трения учитывается по модели Кулона. Для этого введен коэффициент сухого трения h и безразмерный параметр s, который в состоянии покоя может принимать любое значение в диапазоне от –1 до 1. В случае проскальзывания, при V_x не равной нулю, сила трения постоянна и направлена противоположно скорости проскальзывания. Безразмерный параметр задается выражением s = –sign(V_x).

Далее полагаем, что силы реакции основания распределены равномерно по опорной поверхности и движение тела происходит без отрыва от основания, то есть скорость тела в вертикальном направлении равна нулю. Из двух уравнений для описания движения твердого тела остается одно — для движения в горизонтальном направлении:

(1)

где T = qt — безразмерное время; V = V_xq/g — безразмерная скорость и безразмерная амплитуда возбуждения колебаний A = A₀/(mg).

Похожая задача о движении твердого тела, несущего несбалансированный ротор по наклонной плоскости, была рассмотрена в [15].

Уравнение (1) имеет тривиальное решение при V(t) = 0. Это означает то, что тело находится в покое на рассматриваемом промежутке времени. Тогда параметр силы трения меняется по следующему закону:

(2)

Тогда амплитудного значения проекции внешней силы на горизонтальную ось недостаточно для начала движения тела.

Движение с двумя мгновенными остановками. Решение уравнения (1) в случае проскальзывания между телом и основанием:

(3)

Здесь введены следующие обозначения: V₁ — для положительной скорости тела, которой соответствует s₁ = –1; V₂ — для отрицательной скорости; s₂ = 1. Здесь и далее будем рассматривать стационарные решения уравнения движения тела. Введем следующие обозначения для движения тела с положительной скоростью: j₁₁ обозначим время начала движения, а j₁₂ — время окончания движения тела. Через j₂₁ и j₂₂ — те же значения для движения с отрицательной скоростью. Для шести неизвестных получаем четыре уравнения:

(4)

(5)

Из условия отсутствия длительной остановки тела получаем еще два условия:

(6)

(7)

Константы интегрирования C₁ и C₂ могут быть исключены из уравнений (4) и (5). Из полученных уравнений численно находятся фазы j₁₁, j_12, j₂₁ и j₂₂. Полученные трансцендентные уравнения имеют по два решения. Для выбора правильного решения определяем вторую производную скорости:

(8)

которая должна быть положительна при k = 1 и отрицательна при k = 2.

Движение с двумя длительными остановками. В этом случае условия (6) и (7) несправедливы. При переходе от состояния покоя к движению ускорение тела должно быть равно нулю:

(9)

Из уравнения (9) получаем точное решение для фаз движения:

(10)

Нужный корень определяется аналогично предыдущему случаю. Константа C_k и фаза j_k2 находятся из (4) и (5). Если справедливо условие A > η / (cos β + η sin β), тело может двигаться со скоростью больше нуля, а при условии, что амплитуда возбуждения колебаний — A > η / (cos β + η sin β), движение тела происходит со скоростью меньше нуля.

Если время окончания движения тела с положительной скоростью j₁₂ меньше времени начала движения тела с отрицательной скоростью j₂₁, а j₂₁ меньше, чем j₁₁ + 2p, то движение твердого тела может иметь две продолжительные остановки.

Рассмотрим движение тела с мгновенной и продолжительной остановками. Реакция горизонтального основания, как и действующая на тело сила, меняется по гармоническому закону, здесь возможны периодические решения.

В случае движения твердого тела с положительной скоростью и мгновенного перехода к отрицательной, а от отрицательной к положительной, после продолжительной остановки получаем систему уравнений (4), (5) для k = 1, 2, (9) для k = 1 и условия j₁₂ = j₂₁. Фаза j₁₁ определяется выражением (10). Для остальных неизвестных также определяется точное решение. Полученное решение справедливо при выполнении условия j₂₂ < j₁₁ + 2p.

При мгновенном переходе от отрицательной скорости движения твердого тела к положительной, а от положительной к отрицательной, после длительной остановки, система уравнений (4–5) при k = 1, 2, остается без изменений. Уравнение (9) составляем для k = 2, а условие мгновенной остановки заменяем на j₂₂ = j₁₁ + 2p.

Таким образом, для всех возможных режимов стационарного движения твердого тела определяются четыре фазы и две константы интегрирования. На одном периоде движения, используя формулы (3), можно построить зависимость средней скорости движения твердого тела v_m от угла наклона линии действия внешней силы b. На интервале j₁₁ < t < j₁₂ движение твердого тела происходит со скоростью больше нуля, а при j₂₁ < t < j₂₂ движение твердого тела происходит со скоростью меньше нуля. На интервале j₁₂ < t < j₂₁ и j₂₂ < t< j₁₁ + 2p твердое тело не двигается. При совпадении j₁₂ и j₂₁ или j₂₂ и j₁₁ + 2p скорость тела в этих точках меняется мгновенно.

Построенное решение для трех типов движения и состояния покоя (2) за один период колебаний позволяет определить среднюю скорость движения твердого тела:

Результаты исследования. Результаты исследования получены при коэффициенте сухого трения h = 0,1 и амплитуде возбуждения A = 0,6. Зависимости четырех фаз j_kj(b), (j,k=1,2) от угла наклона внешней силы к горизонту представлены на рис. 1. Пунктирными кривыми обозначены точки мгновенного изменения скорости движения тела, сплошными кривыми — точки изменения скорости с продолжительной остановкой.

При малых углах наклона силы j₁₂ = j₂₁, j₂₂ = j₁₁ + 2p движение твердого тела происходит при двух моментальных остановках. Характер движения меняется при изменении угла b в большую сторону. В точке B₁ кривая разветвляется j₂₂(b) = j₁₁(b) + 2p. В результате имеем две кривые: j₂₂(b) и j₁₁(b), а в точке В₂ разветвляется кривая j₁₂(b) = j₂₁(b) на j₁₂(b) и j₂₁(b). Между точками В₁ и В₂ твердое тело может иметь продолжительную и мгновенную остановки. Между точками В₂ и В₃ движение может иметь две продолжительные остановки. В точке B₃ кривые j₂₂(b) и j₂₁(b) сливаются. Между точками B₃ и B₄ при движения твердого тела в пределах одного периода при скорости большей нуля может быть одна длительная остановка. При больших значениях угла наклона тело находится в покое.

На рис. 2 представлены зависимости средней скорости твердого тела v_m от угла наклона линии действия внешней силы b при коэффициенте трения 0,1 и нескольких амплитудах возбуждения. При любых значениях амплитуды возбуждения и горизонтальном действии силы (b = 0) средняя скорость твердого тела равна нулю. С увеличением b средняя скорость возрастает. Точки смены режимов движения обозначены только на кривой A = 0,6. Для каждого значения амплитуды силы существует оптимальный угол, при котором средняя скорость движения максимальна.

Обсуждение и заключение. Исследовано движение твердого тела по горизонтальной плоскости под действием гармонической силы, направленной под углом к горизонту. Аналитические и численные результаты показали, что для всех возможных режимов стационарного движения твердого тела определяются четыре фазы. Полученные зависимости фаз стационарного движения и средней скорости движения твердого тела от угла наклона линии действия внешней силы позволяют определить необходимые и оптимальные значения параметров задачи для достижения требуемой скорости движения твердого тела. Показано, что для каждого значения амплитуды силы существует оптимальный угол, при котором средняя скорость движения максимальна.

Полученные результаты могут быть использованы в разработке алгоритмов и проектировании движения робототехнических устройств при движении по горизонтальной плоскости с учетом действия гармонических нагрузок.