Анализ управляемости и оптимизация формы сопла гидропушки на основе прямого экстремального подхода

Введение. Несмотря на значительное количество исследований в области теории управления, до сих пор отсутствует единый подход к анализу управляемости для систем с распределенными параметрами. Существующие работы, как правило, ограничиваются рассмотрением управляемости как возможности перевода системы из начального состояния в заданное финальное [1]. Однако такой подход оказывается недостаточным для задач оптимизации пространственно-распределенных систем, описываемых уравнениями в частных производных. Управляемость по финальному состоянию не гарантирует управляемость по условиям, заданным в целевом функционале, что делает анализ таких систем сложным и неочевидным. В данной работе авторы предлагают использовать понятие управляемости, предложенное Толстых В.К. [2], и применить его для поиска оптимальной формы сопла гидропушки.

Гидропушки, предназначенные для формирования импульсных струй жидкости высокого давления, находят широкое применение, например, в горной промышленности для разрушения горных пород [3]. Эффективность таких устройств во многом зависит от формы сопла [4], что делает задачу его оптимизации актуальной. Несмотря на значительный интерес к этой проблеме, существующие исследования, такие как работы Зуйковой З. Г. [5], Зубова В.И. [6] и Атанова Г. А. [7], носят преимущественно теоретический характер. Авторы этих работ формулировали необходимые условия оптимальности, однако численные результаты не подтверждались доказательствами их оптимальности. Более того, как будет показано в данной работе, ранее полученные «оптимальные» формы сопел не являются таковыми. Таким образом, несмотря на многолетние исследования, проблема дизайна оптимальной формы сопла остается нерешенной.

Решение этой сложной задачи возможно только при использовании прямого экстремального подхода с оригинальными адаптивными градиентными методами, описанными в работе Толстых В.К. [8]. Целью данной работы являлось применение нового подхода, предложенного в работе [2], к анализу управляемости системы с распределенными параметрами для задачи оптимального дизайна формы сопла гидропушки. Таким образом, статья направлена на развитие теории управляемости для систем с распределенными параметрами и демонстрацию ее практической применимости на примере оптимизации формы сопла гидропушки.

Материалы и методы. Суть прямого экстремального подхода заключается в непосредственной максимизации градиентными методами некоторого целевого функционала:

, (1)

Здесь управление (в нашем случае — функция формы сопла по длине x) u(x) ∈ U(S), S = (x_a, x_b) — область определения управления, U — допустимое множество управлений, v(x, t) ∈ V() — состояние нестационарного процесса формирования ультраструи на замкнутом пространственно-временном множестве {x, t} = . Оператор включает в себя конкретный вид дифференциальных уравнений течения воды в гидропушке и действует на v. Функция цели I(v, u) определена на множестве ω, а ее значение явно зависит от параметров v и u.

В прямом подходе не используются какие-либо промежуточные (например, необходимые условия оптимальности), а непосредственно решается задача:

(2)

где u_* — оптимальное управление.

Исходная задача с уравнениями распределенной системы (v, u)v = 0 характеризуется прямым отображением:

В то же время задача оптимизации (1) является обратной. Такие задачи, как правило, некорректны в классическом смысле [9]. Решение прямых и обратных задач существенно различается. Последние требуют регуляризации решения до сужения множества возможных решений U до компакта корректности ⊆ U что приводит к условной корректности по Тихонову. В прямом экстремальном подходе регуляризация осуществляется градиентными методами.

Согласно определению управляемости [2], распределенная система в задаче (1) будет управляема посредством u(x) ∈ U(S) относительно целевого функционала J, когда корректной по Тихонову будет обратная задача отображения элементов пространства V(ω) состояний модели в элемент u_* при условии max J:

Далее, при решении задачи (2), сделаем анализ управляемости и получим условия управляемости, которые позволят корректно поставить и решить задачу оптимизации формы сопла гидропушки градиентными методами [10].

В работе [8] подробно описана постановка рассматриваемой задачи для дозвуковых, осесимметричных течений сжимаемой жидкости в плавно меняющихся каналах. Напомним ее в форме, необходимой для дальнейших исследований. Изоэнтропическое движение воды в сопле описывается квазиодномерной, квазилинейной гиперболической системой уравнений [11]:

(3)

Состояние системы характеризуется вектор-функцией v = {ρ, w} ∈ V(), где ρ — плотность воды, w — скорость воды. Оператор его матрица и вектор φ = ρwuΘ(x – x_a), Θ — тета-функция Дирака, x_a — начало сопла в конце ствола гидропушки, — квадрат скорости звука в воде, B и n — постоянные в уравнении состояния воды в форме Тета.

Управление описывается формулой:

(4)

Здесь σ — площадь поперечного сечения сопла, , x ∈ [x_a, x_b], σ_a = σ(x_a). В стволе гидропушки при x ≤ x_a управление u(x) отсутствует, а свободный член φ = 0.

Граничные и начальные условия задачи (3):

Здесь m_p — масса поршня, ρ₀ — плотность воды при атмосферном давлении, w₀ — скорость воды и поршня до начала втекания в сопло. Границы процесса Г для области Ω показаны на рис. 1. Вид Ω важен для анализа управляемости.

Уточним Ω. Начало координат совмещено со входом в сопло x_a, a t₀ — время начала втекания воды в сопло. С одной стороны, вода ограничена поршнем, движущимся в стволе гидропушки по траектории Г_p, а с другой — свободной поверхностью втекания Г_b0 от t₀ до t₁ и истечения Г_b1 от t₁ до t₂. Линия начального состояния системы (3) — это Г₀, координаты x_p0 и x_p2 — начальное и конечное положение поршня. Указанные Г-линии для Ω образуют замыкание . Область определения управления т. е. при x > x_a S является проекцией части области Ω на ось x.

Задача оптимизации (оптимального дизайна формы сопла) формулируется следующим образом: необходимо найти управление u(x), доставляющее максимум функционалу:

(5)

Целевой функционал задается на ω = Г_b1, т. е. на срезе сопла гидропушки и определяет среднюю силу действия струи на возможную преграду [12].

Градиентный алгоритм для максимизации функционала (5) имеет вид:

(6)

где k — номер итерации; b^k— шаговый множитель, регулирующий подъем к max J в направлении градиента ∇J^k.

Градиент представляет собой функциональную производную Фреше которую можно найти из первой вариации целевого функционала . Здесь угловые скобки означают скалярное произведение, в данном случае — в сопряженном пространстве управлений U^*(S). Верхний индекс * означает сопряженность.

Следует отметить, что иногда градиент функционала на Гильбертовом пространстве путают с производной Фреше этого функционала [13]. Производная может быть нечувствительна к управлению u(x) на всем множестве S или на частях S ненулевой меры. Поэтому в общем случае в (6) не будет указывать достоверное направление коррекции u^k для направленного поиска оптимального решения u_*(x). Градиент из производной Фреше можно получить только при реализации условий управляемости.

Ранее упоминались подходы к решению задач оптимизации сопла гидропушки с целью максимизации средней силы импульса струи [5], функционала, зависящего от параметров течения [6], а также максимизации скорости истечения [7]. В этих работах после варьирования δJ получено формальное выражение для производной . Оно зависит от решения линейной сопряженной гиперболической задачи:

(7)

Верхний индекс T означает транспонирование, — производная свободного члена F по v. Граничные и начальные (терминальные на Г₂) условия:

Производную Фреше иногда называют невязкой или градиентом. Ее удобнее представить в операторном виде:

(8)

Здесь сопряженный неоднородный оператор ^*— сопряженный однородный оператор, точка означает место аргумента f операторов, κ — весовой коэффициент выравнивания вычислительных помех численного решения исходной и сопряженной задач [8]. В выражении (8) присутствует значение функционала в виде числа J. Это значение производной .

Неоднородность оператора — следствие зависимости целевой функции I(w, u) от управления u. Такая зависимость является редкой особенностью задач оптимизации и может заметно осложнить вычисление градиента.

Значение однородного оператора ^* в производной (8) имеет вид:

где интегрирование производится от нижней нелинейной границы Г_b0 (рис. 1) при втекании воды в сопло.

Смысл и предназначение сопряженной задачи заключается в отображении производной (чувствительность J к w) из области ω в область S, где определены градиент и управление. Такое отображение при помощи f делается с использованием промежуточного множества , которое, согласно управляемости, задает корректную область V^*(Ω) определения однородного оператора ^*, чтобы в выражении (8) из получить градиент ∇J.

То есть сопряженная задача реализует отображение:

Далее при помощи оператора ^* : V^*(Ω) → U^*(S) можно получить градиент из производной Фреше :

Область Ω выявляется из анализа управляемости.

Результаты исследования. Требования к условиям управляемости в рамках прямого экстремального подхода сформулированы в следующей теореме (доказательство см. в [2]).

Теорема. Математическая модель (v, u)v = 0 в задаче (3) управляема посредством u(x) на S по функционалу J если:

1) существует областьV^*(Ω), корректного сопряженного состояния, которая является областью определения оператора ^* с его значениями в области градиентов U^*(S);

2) оператор ^* — невырожденный;

3) алгоритм (6) при u⁰∈ использует удовлетворительные параметры регуляризации b^k.

Начнем с первого и наиболее сложного требования теоремы. Сначала необходимо убедиться в классической корректности исходной и сопряженной задач. Исходная (3) и сопряженная (7) системы относятся к типу гиперболических. Собственные числа матриц A и A^T одинаковы. Поэтому в обеих системах будут одинаковыми характеристики ξ_1,2 — как траектории распространения возмущений в плоскости (x, t) вдоль характеристических направлений . Сопряженные волны, порождаемые производной на срезе сопла Г_b1 = ω, будут двигаться с теми же характеристиками, что и исходные, но в обратном направлении. Начальное условие для сопряженной задачи задано на терминальной линии Г₂.

Все характеристики в области Ω выходят из участков границы с известными решениями, заданными краевыми условиями. При течении безударных волн (именно такие течения рассматриваем в данном исследовании) характеристики одного и того же семейства не будут пересекаться, а на пересечении двух характеристик разного семейства ξ₁ и ξ₂ в любой точке может быть найдено решение гиперболической системы двух уравнений [14] в виде двумерных вектор-функций v и f.

Чтобы найти область определения оператора ^*, нужно провести анализ и выявить существование следующей последовательности отображений, начиная от управления u ∈ U(S) и заканчивая градиентом ∇J ∈ U^*(S):

(9)

Можно проще описать обсуждаемую проблему. Во-первых, целевой функционал J(u), заданный на ω, должен быть чувствителен к управлению, заданному на S (чувствительность характеризуется производной ). Во-вторых, из множества сопряженных решений на всем надо выделить такое подмножество Ω, где сопряженные решения будут однозначно зависеть от значений целевого функционала в виде . На всей области такой зависимости может и не быть. В-третьих, множество Ω должно обеспечивать оператору возможность отображения сопряженных состояний в U^*(S). Такое отображение представлено последней веткой, где оператор из полученной области определения V^*(Ω) может произвести отображение в область значений U^*(S), где существует градиент .

Из корректности исходной прямой задачи следует, что любые функции u(x) ∈ U(S) будут однозначно влиять на значение производной целевой функции на ω = Г_b1 через характеристики ξ₁, если хотя бы одна из них прошла через все сопло. Потеря такого влияния возможна при наличии диссипаций в системе, но при изоэнтропических течениях этого нет. То есть имеет место левая ветка отображений в (9):

Перейдем к выявлению множества Ω, необходимого для области V^*(Ω) определения оператора ^*. Член в граничном условии сопряженной задачи (7) вызывает возмущения сопряженного решения f. Они распространяются в виде волн по характеристикам первого семейства ξ₁ в обратном временном направлении от среза сопла в сторону поршня (рис. 2).

Эти возмущения распространяются вдоль всего сопла и переносят информацию о целевом функционале из точек ω в точки на S = (x_a, x_b). На поршне волны, описываемые характеристиками первого семейства ξ₁, отражаются и, меняя направление своего распространения, продолжают переносить информацию, полученную от ξ₁ о возмущениях , добавляя при этом новую информацию о движении поршня. Такой процесс отражений волн от поршня и от внутренней части сопла продолжается до момента t₀.

Начиная с момента t₃ и ниже, в одну и ту же точку некоторых участков множества S будут приходить две сопряженные волны ξ₁ и ξ₂, порожденные разными значениями и с ненужной информацией (помехами), как минимум, от поршня. А ниже характеристики ξ₁, вышедшей из сопла ниже t₁, будет добавлена еще и ненужная информация от сопла. Эта информация не нужна, т. к. не содержит сведений о цели оптимизации из .

На рис. 2 показан пример возможного множества Ω (вся заштрихованная с разной плотностью область под верхней характеристикой ξ₁ от x_a до x_b). В данном случае Ω соответствует производной Фреше . В области Ω, под характеристикой ξ₂ (отражение ξ₁, вышедшей при t₂) и под ξ₁ (вышедшей при t₁) образуется светлая область неоднозначного влияния значений функции на сопряженное состояние f. Очевидно, что бессмысленно решать сопряженную задачу и рассчитывать градиент в такой области Ω.

Разумно ограничиться рассмотрением (рис. 2) сопряженного состояния f на части Ω, заключенной в прямоугольнике:

При этом прямоугольник Ω₁ следует считать слишком большим, если поршень находится относительно близко к началу сопла, оказывая влияние на сопряженное состояние.

В таком прямоугольнике Ω₁ множество Ω (заштриховано с разной плотностью на рис. 2 от t₁ до t₂) будет соответствовать избыточному множеству ω. То есть в целевом функционале J интервал (t₁, t₂) будет избыточным. При этом в рассматриваемой области Ω могут присутствовать неприемлемые помехи слева (малая плотность штриховки в Ω₁) для вычисления градиента ∇J.

Избыточность ω устраняется дальнейшим сокращением Ω₁ до t₃ = t₁, т. е. когда t₃ соответствует началу истечения (рис. 3 а).

В этом случае вся область достаточного решения сопряженной задачи сужается до еще меньшего прямоугольника:

Здесь поршень не будет «мешать» отображению .

Если по техническим условиям конструирования гидропушки допускается еще большее сокращение времени истечения t₂ – t₁, то можно уменьшить прямоугольник решения сопряженной задачи еще сильнее, до прямоугольника Ω₃ с соответствующей треугольной областью Ω (рис. 3 б):

Здесь имеет место минимально достаточное множество ω_min для формирования области определения V^*(Ω) оператора ^*.

Именно в полученных областях Ω, находящихся внутри Ω₂ и Ω₃ (рис. 3), существует область определения V^*(Ω) оператора ^* с однозначным отображением производных посредством f в область значений градиента U^*(S).

Сопряженная задача (7) и ее решение в прямоугольниках Ω_2,3 становятся существенно проще:

(10)

Здесь Г_a = x_a × (t₁, t₂). Теперь нет влияния поршня с линии и нет втекания в сопло на границе Г_b0.

Формула (8) расчета градиента целевого функционала также принимает упрощенный вид (нет нелинейной границы интегрирования Г_b0):

(11)

Полученное множество Ω ⊂ Ω_2,3 будет корректно задавать область V^*(Ω) определения оператора ^*(Ω) с областью значений в U^*(S). Соответствующее выражение времени, необходимое для формирования такого Ω, зависит от характеристик первого семейства ξ₁ и имеет вид:

(12)

То есть, во-первых, верхняя характеристика ξ₁ должна пройти через всё сопло от x_b до x_a, во-вторых, начало истечения t₁ не должно быть меньше момента t₃ начала попадания в сопло волн, отражённых от поршня.

Данное выражение является условием управляемости в рассматриваемой задаче. При этом выполняются оставшиеся ветки отображений (9):

Теперь обсудим требование 2 в теореме о невырожденности оператора ^*. Начнем с оператора , задающего градиент (8). Если бы целевая функция I не зависела явно от управления u, то и множество сопряженных состояний в ядре f_ker = {f : ^*f = 0 на S} было бы нулевым при неограниченном оптимальном управлении u_*. В нашем же случае для значения элементов ядра f_ker не будут нулевыми, т. е. оптимальному управлению будут соответствовать ненулевые сопряженные состояния. Нижний индекс означает отсутствие нулевого ядра. Очевидно, что если ^* был невырожденным, то и оператор будет невырожденным. Неоднородность оператора в нашей задаче приводит всего лишь к смещению нулевого ядра однородного оператора ^*.

Оценим возможную вырожденность однородного оператора ^*. Очевидно, что при любых значениях ρ и w результат интегрирования в может стать нулевым на S только при f₁ = 0 на Ω. Это означает, что оператор ^* — невырожденный, а следовательно, и — невырожденный.

Начальное приближение u⁰(x) задавалось в виде трубы — как продолжение ствола пушки. На первых итерациях сужения сопла рост функционала J(u) происходил при его выпуклости (рост нормы ∇J). Далее выпуклость сменилась на вогнутость (убывание нормы ∇J), в конце которой находились очень малые области максимума (минимальная норма ∇J при вогнутости функционала) с последующим выпуклым минимумом. В локальном максимуме было получено сопло 1. Переход через эти локальные экстремумы сопровождался далее неограниченным выпуклым ростом J(u). Только добавление ограничения на управление позволило остановить неконтролируемое расширение сопла на границе с разумной формой 2.

Напомним, что ранее предпринимались попытки получить удовлетворительное решение с помощью классического вариационного исчисления. Для этого авторы работ [5] и [7] задействовали методы релаксации для поиска корня u_* из необходимого условия оптимальности (производная Фреше на некорректном Ω из рис. 2). Однако такой подход не дал желаемых результатов. Более того, он требует дополнительного ограничения на площадь среза сопла для предотвращения его схлопывания. Такое схлопывание также подтверждает некорректность использования для направленного поиска u_*(x) без выделения области управляемости Ω внутри Ω_2,3. Иными словами, вместо производной Фреше необходимо получить градиент с обоснованием.

Обсуждение и заключение. Результаты исследования демонстрируют, что применение анализа управляемости, предложенного в работе [2], позволило выявить ключевые условия управляемости (12), необходимые для корректной постановки и решения задачи оптимизации формы сопла гидропушки.

Согласно условиям управляемости, задачу оптимизации необходимо ставить и решать в малой прямоугольной области Ω₂ или даже Ω₃, а не в большой и сложной области Ω. Это связано с тем, что задача оптимизации формы сопла с постановкой в Ω не приводит производную Фреше к градиенту ∇J, что делает невозможным направленный поиск оптимального решения. Именно это обстоятельство стало причиной неудач предыдущих исследований, где оптимальность решений не была доказана.

Рекомендуем сначала делать анализ управляемости до выявления корректной области управляемости Ω, а потом для полученной Ω выделять область решения сопряженной задачи (в нашем случае — это Ω₂ или Ω₃) и находить вариацию . Затем можно продолжить анализ управляемости и из производной получить градиент ∇J. Именно с помощью Ω внутри Ω_2,3 можно найти значение градиента ∇J(u; x), которое распределено вдоль всего сопла и однозначно соответствует целевому функционалу задачи J(u). Далее можно целенаправленно искать оптимальную форму сопла.

Основное преимущество предложенного подхода заключается в использовании прямого экстремального метода, который позволяет непосредственно максимизировать целевой функционал с помощью градиентных алгоритмов. Это обеспечивает не только наглядность анализа управляемости, но и возможность получения численно подтвержденных оптимальных решений.

Теоретическая ценность исследования состоит в развитии методов анализа управляемости для систем с распределенными параметрами, что открывает новые перспективы для решения аналогичных задач в других областях. Дальнейшие исследования могут быть направлены на расширение метода для более сложных моделей течения жидкости, а также на оптимизацию других устройств, работающих на основе импульсных струй.