Достаточные условия сходимости положительных решений линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов

Введение. Транспорт наносов является одним из основных процессов, определяющих величины и темпы деформаций донных поверхностей водных объектов. Чаще всего прогностические исследования в этой области строятся на основе математических моделей, которые позволяют сократить, а в ряде случаев исключить дорогостоящие и опасные в экологическом отношении эксперименты. Для прогнозирования изменения рельефа дна в основном используются пространственно-одномерные модели. Для реальных прибрежных систем со сложной формой берега вектор потока наносов в общем случае не ортогонален касательной к береговой линии в каждой из ее точек. Также он может не совпадать с вектором ветровых напряжений. Поэтому для решения многих практически важных задач, связанных с прогнозированием динамики донной поверхности водоемов, необходимо применение пространственно-двумерных моделей транспорта наносов и эффективных численных методов их реализации. Материалы и методы. Авторами (А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко, В. В. Сидорякина) ранее была предложена пространственно-двумерная модель транспорта наносов, удовлетворяющая основным законам сохранения (материального баланса и импульса), которая представляет собой квазилинейное уравнение параболического типа. Были построены и исследованы линейные разностные схемы и решены модельные, а также практические задачи. Однако осталось в тени теоретическое исследование «близости» решений исходной нелинейной начально-краевой и линеаризованной непрерывной задач, на основе которой была построена дискретная модель (разностная схема). Особый интерес представляет исследование корректности линеаризованной задачи и определение достаточных условий положительности решений, т. к. только положительные решения задачи транспорта наносов имеют смысл в рамках рассматриваемых моделей. Результаты исследования. Исследуемая нелинейная двумерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов учитывает следующие физически значимые факторы и параметры: пористость грунта; критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов; турбулентный обмен; динамически изменяемая геометрия дна; ветровые течения и трение о дно. Линеаризация осуществляется на временной сетке - нелинейные коэффициенты параболического уравнения берутся с запаздыванием на один шаг временной сетки. Далее строится цепочка взаимосвязанных по начальным условиям - финальным решениям цепочки линеаризованных смешанных задач Коши на равномерной временной сетке, и таким образом осуществляется линеаризация в целом 2D нелинейной модели. Ранее авторами были доказаны существование и единственность решения цепочки линеаризованных задач, получена априорная оценка близости решения цепочки линеаризованных задач к решению исходной нелинейной задачи. В данной работе определены условия положительности ее решений и их сходимости к решению нелинейной задачи транспорта наносов в норме Гильбертова пространства L₁ со скоростью O(τ), где τ - временной шаг. Обсуждение и заключения. Полученные результаты исследования пространственно-двумерной нелинейной модели транспорта наносов могут быть использованы при прогнозировании нелинейных гидродинамических процессов, повышения их точности и надежности в силу наличия новых функциональных возможностей учета физически важных факторов, в том числе уточнения граничных условий.

пространственно-двумерная модель транспорта наносов, прибрежная зона, нелинейная задача, линеаризованная задача, положительность решения, spatially 2D model of sediment transportation, coastal zone, nonlinear problem, the linearized problem, solution positivity

1. Marchuk, G.I., Dymnikov, V.P., Zalesny, V.B. Matematicheskie modeli v geofizicheskoy gidrodinamike i chislennye metody ikh realizatsii. [Mathematical models in geophysical hydrodynamics and numerical methods for their implementation.] Leningrad: Gidrometeoizdat, 1987, 296 p. (in Russian).

2. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Alekseenko, E.V. Numerical realization of the three-dimensional model of hydrodynamics for shallow water basins on a high-performance system. Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, vol. 3, iss. 5, pp. 562-574.

3. Leontyev, I.O. Pribrezhnaya dinamika: volny, techeniya potoki nanosov. [Coastal dynamics: waves, moving streams, deposits drifts.] Moscow: GEOS, 2001, 272 p. (in Russian).

4. Xiaoying Liu, et al. Predictive modeling in sediment transportation across multiple spatial scales in the Jialing River Basin of China. International Journal of Sediment Research, 2015, vol. 30, iss. 3, pp. 250-255.

5. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, iss. 4, pp. 351-363.

6. Sukhinov, A.I., Sidoryakina, V.V. Sushchestvovanie i edinstvennost' resheniya linearizovannoy dvumernoy zadachi transporta nanosov. [Availability and uniqueness of solution to linearized two-dimensional sediment transportation problem.] Teoriya operatorov, kompleksnyy analiz i matematicheskoe modelirovanie: tezisy dokladov XIII mezhdunar. nauch. konf. [Theory of operators, complex analysis and mathematical modeling: Abstracts of XIIIth Int. Sci.Conf.] Vladikavkaz: YuMI VNTs RAN, 2016, pp. 184-185 (in Russian).

7. Sukhinov, A.I., Sidoryakina, V.V. O edinstvennosti resheniya linearizovannoy dvumernoy nachal'no-kraevoy zadachi transporta nanosov. [On the uniqueness of solutions of the linearized two-dimensional bottom deposit transportation problem.] Taganrog Institute Journal, 2016, no. 2, pp. 270-274 (in Russian).

8. Sukhinov, A.I., Sidoryakina, V.V., Sukhinov, A.A. Apriornaya otsenka resheniya dvumernoy zadachi transporta nanosov. [A priori estimate of solution to two-dimensional sediment transportation problem.] Aktual'nye problemy prikladnoy matematiki i avtomatizatsii: mat-ly mezhdunar. konf.; Nelokal'nye kraevye zadachi i sovremennye problemy analiza i informatiki: mat-ly XIV shkoly molodykh uchenykh. [Challenging issues of applied mathematics and automation: Proc. Int. Conf.; Nonlocal boundary-value problems and current problems of analysis and informatics: Proc. XIV School of young scholars.] Terskol, 2016, 363 p. (in Russian).

9. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator. Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 4, iss. 4, pp. 398-409.

10. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnykh vodnykh sistemakh na mnogoprotsessornoy vychislitel'noy sisteme. [Sediment transport mathematical modeling in a coastal zone using multiprocessor computing systems.] Numerical Methods and Programming, 2014, vol. 15, iss. 4, pp. 610-620 (in Russian).

11. Sukhinov, A.I., et al. Sravnenie vychislitel'nykh effektivnostey yavnoy i neyavnoy skhem dlya zadachi transporta nanosov v pribrezhnykh vodnykh sistemakh. [Comparison of computational efficiency of explicit and implicit schemes.] Numerical Methods and Programming, 2015, vol. 16, iss. 3, pp. 328-338 (in Russian).

12. Godunov, S.K. Uravneniya matematicheskoy fiziki. [Equations of mathematical physics.] 2nd revised and enlarged ed. Moscow: Nauka, 1979, 392 p. (in Russian).

13. Марчук, Г. И. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации / Г. И. Марчук, В. П. Дымников, В. Б. Залесный. - Ленинград : Гидрометеоиздат, 1987. - 296 с.

14. Sukhinov, A. I. Numerical realization of the three-dimensional model of hydrodynamics for shallow water basins on a high-performance system / A. I. Sukhinov, A. E. Chistyakov, E. V. Alekseenko // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2011. - Vol. 3, is. 5. - P. 562-574.

15. Леонтьев, И. О. Прибрежная динамика: волны, течения потоки наносов / И. О. Леонтьев. - Москва : ГЕОС, 2001. - 272 с.

16. Predictive modeling in sediment transportation across multiple spatial scales in the Jialing River Basin of China / Xiaoying Liu [et al.] // International Journal of Sediment Research. - 2015. - Vol. 30, is. 3. - P. 250-255.

17. Sukhinov, A. I. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs / A. I. Sukhinov, A. E. Chistyakov, E. A. Protsenko // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Vol. 6, is. 4. - P. 351-363.

18. Сухинов, А. И. Существование и единственность решения линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов / А. И. Сухинов, В. В. Сидорякина // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование : тезисы докладов XIII междунар. науч. конф. - Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН, 2016. - С. 184-185.

19. Сухинов, А. И. О единственности решения линеаризованной двумерной начально-краевой задачи транспорта наносов / А. И. Сухинов, В. В. Сидорякина // Вестник Таганрог. ин-та им. А. П. Чехова. - 2016. - № 2. - С. 270-274.

20. Сухинов, А. И. Априорная оценка решения двумерной задачи транспорта наносов / А. И. Сухинов, В. В. Сидорякина, А. А. Сухинов // Актуальные проблемы прикладной математики и автоматизации : мат-лы междунар. конф. ; Нелокальные краевые задачи и современные проблемы анализа и информатики : мат-лы XIV школы молодых ученых. - Терскол, 2016. - 363 с.

21. Sukhinov, A. I. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator / A. I. Sukhinov, A. E. Chistyakov // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2012. - Vol. 4, is. 4. - P. 398-409.

22. Сухинов, А. И. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. А. Проценко // Вычислительные методы и программирование. - 2014 - Т. 15, вып. 4. - С. 610-620.

23. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах / А. И. Сухинов [и др.] // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т. 16, вып. 3. - С. 328-338.

24. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. - 2-е изд., исправл. и дополн. - Москва : Наука, 1979. - 392 с.